BCK-代數(shù)的廣義 (∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想*

彭家寅

內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641199

1　引言

人工智能的一個重要任務(wù)就是使計算機(jī)模擬人腦去處理確定的與不確定的信息。邏輯的形式化推理在演繹證明中突顯強(qiáng)勁的優(yōu)勢。邏輯規(guī)則在計算機(jī)科學(xué)和數(shù)學(xué)中既是應(yīng)用的工具，又是奠定理論基礎(chǔ)的技術(shù)手段。特別地，非經(jīng)典邏輯已成為計算機(jī)科學(xué)處理模糊信息與不確定信息的有力工具。BCK-代數(shù)類是一種重要的模糊邏輯代數(shù)類[1]，它被Imai和Iseki[2-3]提出，隨后得到了許多學(xué)者的深入研究[4-6]。其中Iseki和Tanaka引入了BCK-代數(shù)的理想的概念，并討論了它的性質(zhì)[4]；Meng[6]引入了BCK-代數(shù)的蘊(yùn)涵理想的概念，并研究了它與正蘊(yùn)涵理想、交換理想之間的關(guān)系。

1965年，Zadeh[7]提出了模糊集的概念，成為描述現(xiàn)實(shí)世界中不確定問題的一種方法。至今，模糊集理論被廣泛地應(yīng)用于許多數(shù)學(xué)分支中，如群、函數(shù)論、概率論、拓?fù)鋵W(xué)等。1991年，Xi[8]將模糊集用于BCK-代數(shù)中。此后Meng和Guo[9]引入了BCK/BCI-代數(shù)的模糊理想的概念。Jun和Roh等人[10-11]提出了BCK-代數(shù)的模糊交換理想和模糊正蘊(yùn)涵理想的概念并研究了它們的性質(zhì)。Peng[12]和Meng等人[13]分別研究了BCK-代數(shù)的不分明化蘊(yùn)涵理想和模糊蘊(yùn)涵理想。自Pu和Liu[14]于1980年引入了模糊點(diǎn)與模糊集的屬于與重于關(guān)系后，Zhang等人[15]將Pu與Liu的思想應(yīng)用于BCK/BCI-代數(shù)結(jié)構(gòu)的討論中，提出了BCK/BCI-代數(shù)的(∈,∈∨q)模糊理想的概念。Liu和Xin[16]引入BCK-代數(shù)的 (∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想。Liu[17]討論BCK-代數(shù)的(∈,∈∨q)-模糊理想的一般形式，提出了 (∈,∈∨qδ)-模糊理想的概念。此外，他還將軟集用于BCK/BCI-代數(shù)中，引入了 (∈,∈∨q)-模糊軟理想的概念并研究其性質(zhì)[18]。本文在文獻(xiàn)[17]的基礎(chǔ)上，將文獻(xiàn)[16]中BCK-代數(shù)的 (∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想進(jìn)行推廣，引入BCK-代數(shù)的 (∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想的概念，并討論其性質(zhì)，研究它與(∈,∈∨qk)-模糊理想間的關(guān)系，探究(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想的等價刻畫，研究基于蘊(yùn)涵的BCK-代數(shù)之模糊蘊(yùn)涵理想。

2　預(yù)備知識

一個(2,0)型代數(shù)(X;?,0)叫作BCK-代數(shù)，如果它滿足對任意x,y,z∈X，有：

在BCK-代數(shù)中定義自然序“≤”：x≤y當(dāng)且僅當(dāng)x?y=0。這樣(X;≤)便是一個以0為最小元的偏序集，且對任一BCK-代數(shù)X及任意x,y,z∈X，下列結(jié)論成立：

BCK-代數(shù)X的一個非空子集I叫作X的一個理想，如果滿足（i）0∈I，（ii）x?y∈I且y∈I蘊(yùn)涵x∈I。BCK-代數(shù)X的非空子集I稱為X的一個蘊(yùn)涵理想，如果它滿足（i）和（iii）x∈I當(dāng) (x?(y?x))?z∈I且z∈I；稱它為交換理想，如果它滿（i）和（iv）x?(y?(y?x))∈I當(dāng)(x?y)?z∈I且z∈I；稱它為正蘊(yùn)涵理想，如果它滿足（i）和（v）x?z∈I僅當(dāng)(x?y)?z∈I且y?z∈I。

定義1X的模糊子集μ是指映射μ:X→[0,1]，并稱U(μ;t)={x∈X|μ(x)≥t}為模糊集μ的t-水平集。

定義2BCK-代數(shù)X的模糊子集μ叫作X的一個模糊理想，如果它滿足x,y∈X，有：

定義3BCK-代數(shù)X的一個模糊子集μ叫作X的一個模糊蘊(yùn)涵理想，如果它滿足（F1）且x,y,z∈X，有：

定義4模糊集μ：

叫作以x為支點(diǎn)、值為t的模糊點(diǎn)，并記為xt。

對于模糊點(diǎn)xt與模糊集μ，Pu和Liu[14]引入符號xtα μ，其中α∈{∈,q,∈∨q,∈∧q}。說模糊點(diǎn)xt屬于（重于）模糊集μ，記為xt∈μ(xtqμ)，如果μ(x)≥t(μ(x)+t>1)。如果xt∈μ或xtqμ，則記為xt∈∨qμ，而符號意味著∈∨q不成立。

定義5[17]BCK-代數(shù)X的模糊子集μ叫作X的(∈,∈∨qk)-的模糊理想，如果它滿足：

（I-1）對任意x∈X和t∈(0,1]，xt∈μ蘊(yùn)涵0t∈∨qkμ。

（I-2）對任意x,y∈X和t,r∈ (0,1]，(x?y)t∈μ與yr∈μ蘊(yùn)涵xmin{t,r}∈∨qkμ。

3　BCK-代數(shù)的廣義 (∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想

定義6設(shè)除特殊聲明外，文中X總是表示一個BCK-代數(shù)，而且k表示[0,1]任意一個實(shí)數(shù)。符號xtqkμ是指μ(x)+t+k>1；xt∈∨qkμ意味著xt∈μ或xtqkμ。對于意味著xtα μ不成立。

定義7BCK-代數(shù)X的模糊子集μ叫作X的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想，如果它滿足：

（I1）對任意x∈X和t∈(0,1]，xt∈μ蘊(yùn)涵 0t∈∨qkμ。

（I2）對任意x,y,z∈X和t,r∈(0,1]，zr∈μ與 ((x?(y?x))?z)t∈μ蘊(yùn)涵xmin{t,r}∈∨qkμ。

當(dāng)k=0時，X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想就是X的(∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想。

例1設(shè)X={0,1,2,3,4}為一個BCK-代數(shù)，其中Cayley表如表1。

Table 1　“?”operator table inX表1　X中的“?”運(yùn)算表

定義X上的模糊子集μ為μ(0)=0.5，μ(1)=μ(2)=0.35且μ(3)=μ(4)=0.7。容易驗(yàn)證，μ是X的一個(∈,∈∨q0.4)-模糊蘊(yùn)涵理想。但它既不是X的模糊蘊(yùn)涵理想，也不是(∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想，因?yàn)棣?0)=0 0.5<0.7=μ(2)，40.7∈μ并且 ((1?(2?1))?4)0.5∈μ，可是定理1設(shè)μ為BCK-代數(shù)X的模糊子集，則下列結(jié)論成立：

（1）每個模糊蘊(yùn)涵理想都是 (∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想。

（2）每個 (∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想都是 (∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想。

證明（1）設(shè)μ是X的一個模糊蘊(yùn)涵理想。一方面，令x∈X且t∈(0,1]使得xt∈μ，則μ(x)≥t。結(jié)合（F1）有μ(0)≥μ(x)≥t，因此 0t∈μ，進(jìn)而 0t∈∨qkμ。另一方面，設(shè)x,y,z∈X且t,r∈(0,1],使得 ((x?(y?x))?z)t∈μ且zr∈μ，則μ((x?(y?x))?z)≥t且μ(z)≥r。由（F3）可得μ(x)≥min{μ((x?(y?x))?z),μ(z)}≥ min{t,r}，故xmin{t,r}∈μ，于是xmin{t,r}∈∨qkμ。綜上所述μ是X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想。

（2）假設(shè)μ是X的一個 (∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想，則①對任意x∈X和t∈(0,1]，xt∈μ蘊(yùn)涵0t∈ ∨q μ；②對任意x,y,z∈X且t,r∈(0,1]，((x?(y?x))?z)t∈μ并且zr∈μ蘊(yùn)涵xmin{t,r}∈∨q μ?，F(xiàn)考慮①：如果 0t∈μ，則0t∈∨qkμ；如果 0tq μ，那么μ(0)+t>1，因此μ(0)+t+k>1，這表明 0t∈∨qkμ，即條件①蘊(yùn)涵條件（I1）。類似地，可得條件②蘊(yùn)涵條件（I2），故（2）為真。□

定理2BCK-代數(shù)X的模糊子集μ是X的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想的充分必要條件是對任意x,y,z∈X，有：

證明假設(shè)μ是X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想。如果（I3）不成立，則存在a∈X使得μ(0)<當(dāng)有μ(0)<μ(a)，進(jìn)而存在使得μ(0)

假設(shè)（I4）不成立，則存在a,b,c∈X使得μ(a)<如果 min{μ((a?(b?a))?c),那么存在使得 min{μ((a?(b?因此 ((a?(b?a))?c)t∈μ且cr∈μ。但因且μ(a)+min{t,r}<2t<1-k，有且，即它與（I2）矛盾。如果那么且因此且故這與（I2）矛盾，因此（I4）成立。

反之，設(shè)μ是X的一個模糊子集且滿足（I3）和（I4）。令t∈(0,1]使得xt∈μ，那么μ(x)≥t。結(jié)合（I3）有：

條件μ(0)≥t蘊(yùn)涵 0t∈μ。由可得μ(0)+t>即 0tqkμ。因此 0t∈∨qkμ，故（I1）成立。

假定x,y,z∈X且t,r∈(0,1]使得 ((x?(y?x))?z)t∈μ且zr∈μ，則μ(z)≥r并且μ((x?(y?x))?z)≥t。結(jié)合（I4）有：

條件μ(x)≥min{t,r}蘊(yùn)涵由條件可推得即因此xmin{t,r}∈∨qkμ，這表明（I2）成立，故μ為X的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想?！?/p>

推論1設(shè)μ為BCK-代數(shù)X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想，如果，則μ必為X的一個模糊蘊(yùn)涵理想。

證明設(shè)μ為X的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想且如果存在a∈X使得μ(0)<μ(a)，則由可得μ(0)

因此μ是X的一個模糊蘊(yùn)涵理想。□

下面討論 (∈,∈∨qk)-模糊理想與 (∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想的關(guān)系。

定理3BCK-代數(shù)X的任何(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想必是X的(∈,∈∨qk)-模糊理想。

證明令μ為X的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想，則在（I2）式中用x替代y便有 (x?z)t=((x?0)?z)t=((x?(x?x))?z)t∈μ且zr∈μ蘊(yùn)涵xmin{t,r}∈∨qkμ，這表明μ滿足（I-2）。結(jié)合（I1），μ為X的一個(∈,∈∨qk)-模糊理想?！?/p>

下例說明定理3的逆不真。

例2設(shè)X是例1中的BCK-代數(shù)。定義模糊子集μ:X→[0,1]如下：μ(0)=μ(2)=0.5 且μ(1)=μ(3)=μ(4)=0.3?？梢则?yàn)證模糊子集μ為(∈,∈∨q0.1)-模糊理想，但它不是 (∈,∈∨q0.1)-模糊蘊(yùn)涵理想，因?yàn)?((1?(3?1))?2)0.4=00.4∈μ，20.5∈μ，1min{0.4,0.5}?μ且μ(1)+min{0.4,0.5}+0.1=0.8<1，于是即

下列定理說明對于蘊(yùn)涵BCK-代數(shù)而言，定理3之逆是成立的。

定理4如果X是蘊(yùn)涵BCK-代數(shù)，則X的每一個(∈,∈∨qk)-模糊理想都是X的 (∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想。

證明因?yàn)閄是一個蘊(yùn)涵BCK代數(shù)，所以由文獻(xiàn)[2]知，對任意x,y∈X，有x=x?(y?x)。設(shè)μ為X的一個 (∈,∈∨qk)-模糊理想，則依（I-2）可知，對任意x,y∈X和t,r∈(0,1]，zr∈μ與 (x?z)t∈μ可蘊(yùn)涵xmin{t,r}∈∨qkμ。因?yàn)閤?z=x?z=(x?(y?x))?z，所以 ((x?(y?x))?z)t=(x?z)t∈μ與zr∈μ蘊(yùn)涵xmin{t,r}∈∨qkμ，故（I2）成立。結(jié)合（I-1）有，μ是X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想?！?/p>

定理5BCK-代數(shù)X的模糊子集μ是X的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想當(dāng)且僅當(dāng)：

證明假設(shè)μ是X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想且是得U(μ;t)≠? 。令x∈U(μ;t)，則μ(x)≥t，因此由（I3）可知，從而得0∈U(μ;t)。令(x?(y?x))?z∈U(μ;t)，z∈U(μ;t)，則μ((x?(y?x))?z)≥t且μ(z)≥t。按照（I4）得t，進(jìn)而x∈U(μ;t)，因此U(μ;t)是X蘊(yùn)涵理想。

反之，假設(shè)μ是滿足（I5）的X之模糊子集。如果（I3）不成立，則存在a∈X使得于是對某些成立，由此可得a∈U(μ;t)，所以U(μ;t)≠? 且U(μ;t)是X的蘊(yùn)涵理想。但由μ(0)

若在定理5中取k=0，則有如下推論：

推論2BCK-代數(shù)X的模糊子集μ為X的(∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想X當(dāng)且僅當(dāng)對任意t∈(0,0.5]，當(dāng)U(μ;t)≠?時，U(μ;t)是X的蘊(yùn)涵理想。

定理6如果I是BCK-代數(shù)X的一個蘊(yùn)涵理想，定義X的模糊子集μ如下：

證明注意到

為X的一個蘊(yùn)涵理想。由定理6知，μ是X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想?！?/p>

推論3如果I是BCK-代數(shù)X的一個蘊(yùn)涵理想，定義X的模糊子集μ如下：

其中，t1∈[0.5,1]且t2∈(0,0.5)，則μ為X的一個(∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想。

定理7對任意k1,k2∈(0,1]且滿足k1

證明結(jié)論是顯然的。□

下例說明定理7的逆不成立。

例3考慮例2中X的模糊子集μ，容易驗(yàn)證μ是X的一個(∈,∈∨q0.8)-模糊蘊(yùn)涵理想。但由例2可知，它不是X的(∈,∈∨q0.1)-模糊蘊(yùn)涵理想。

對于X的任一模糊子集μ及t∈(0,1]，定義X的兩個子集如下：

定理8設(shè)μ為BCK-代數(shù)X的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想，則對任意當(dāng)Qk(μ;t)≠? 時，Qk(μ;t)為X的一個蘊(yùn)涵理想。

證明假設(shè)μ是X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想，令使得若x∈Qk(μ;t)，則即μ(x)+t+k>1。由（I3）并注意到有：

即μ(0)+t+k>1，于是 0tqkμ，因此 0∈Qk(μ;t)。令 (x?(y?x))?z∈Qk(μ;r)并且z∈Qk(μ;r)，則 ((x?(y?x))?z)tqkμ，ztqkμ，即μ(z)+t+k>1且μ((x?(y?x))?z)+t+k>1。利用（I4）并注意到，并記，那么：

即μ(x)+t+k>1，于是xtqkμ，因此x∈Qk(μ;t)。綜上所述，對任意當(dāng)Qk(μ;t)≠? 時，Qk(μ;r)是X的蘊(yùn)涵理想?！?/p>

定理9BCK代數(shù)X的模糊子集μ為X的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想當(dāng)且僅當(dāng)對任意t∈(0,1]，當(dāng)是X的蘊(yùn)涵理想。

證明假設(shè)μ是X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想，且令t∈ (0,1]使得如果則根據(jù)定理5可知，為X的蘊(yùn)涵理想。如果則依據(jù)定理6可知，是X的一個蘊(yùn)涵理想?？傊瑢θ我鉃閄的蘊(yùn)涵理想。

反之，假設(shè)μ是X的一個滿足題設(shè)的模糊子集。如果存在a∈X使得對某些成立，則但 0?U(μ;t)。因此故，即矛盾，所以對任意x∈X成立。若存在a,b,c∈X使得那么對某些成立。因?yàn)榍?(a?(b?a))?c∈U(μ;r)?所以這表明是X的蘊(yùn)涵理想。但從μ(a)

根據(jù)定理2可知，μ是X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想?！?/p>

在定理9中令k=0，可得如下推論。

推論4對于BCK-代數(shù)X的模糊子集μ，下列條件是等價的：

（1）μ是X的一個(∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想。

（2）對任意t∈(0,1]，當(dāng)是X的蘊(yùn)涵理想。

下面給出(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想的一個刻畫。

定理10如果μ是BCK-代數(shù)X的一個(∈,∈∨qk)-模糊理想，則μ是X的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想當(dāng)且僅當(dāng)對任意x,y∈X，有：

證明假設(shè)μ是X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想，則依定理2有：

對任意x,y∈X成立，從而（I6）成立。

反之，設(shè)μ是滿足（I6）的 (∈,∈∨qk)-模糊理想，則依文獻(xiàn)[16]中的定理 2（F-4）可知，μ(x?(y?x))≥結(jié)合（I6）可知，對任意x,y,z∈X，有：

從而（I4）成立。因?yàn)棣淌荴的(∈,∈∨qk)-模糊理想，所以依文獻(xiàn)[17]中的定理2（F-3）可知，（I3）成立。總之，μ為X的一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想?！?/p>

4　基于蘊(yùn)涵的BCK-代數(shù)的模糊蘊(yùn)涵理想

模糊邏輯是多值邏輯理論的一個延伸。模糊邏輯中的一些算子，如∨、∧、?、→，是通過真值表來定義的，并且擴(kuò)展原理可以應(yīng)用于派生出算子的定義。在模糊邏輯中，模糊命題ψ的真值表示為[ψ]。對于給定的論域X，本文要用到的模糊邏輯和相應(yīng)的集理論符號如下：

（2）中的真值規(guī)則是基于Lukasiewicz蘊(yùn)涵算子的連續(xù)值邏輯系統(tǒng)。當(dāng)然，還存在許多其他蘊(yùn)涵算子，最常用的蘊(yùn)涵算子列舉如下：

Ying在文獻(xiàn)[19]中引入了不分明化拓?fù)涞母拍?，并研究了其相關(guān)性質(zhì)。本文將他的思想應(yīng)用于BCK-代數(shù)的結(jié)構(gòu)討論中，定義不分明化蘊(yùn)涵理想。

定義8BCK-代數(shù)X的模糊子集μ叫作X的不分明化蘊(yùn)涵理想，如果它滿足：

（1）對任意x∈X，有╞(x∈μ)→(0∈μ)。

（2）對任意x,y,z∈X，有╞ (((x?(y?x))?z∈μ)∧(z∈μ)→(x∈μ))。

顯然，定義8中的條件（1）和（2）分別等價于（F1）和（F3）。在文獻(xiàn)[20]中引入了t-重言式的概念，即╞t ψ當(dāng)且僅當(dāng)[ψ]≥t對所有賦值都成立。

定義9設(shè)X是BCK-代數(shù)且t∈(0,1],X的模糊集μ叫作X的t-蘊(yùn)涵的模糊蘊(yùn)涵理想，如果它滿足：

（1）對任意x∈X，有╞t(x∈μ)→(0∈μ)。

（2）對任意x,y,z∈X，有╞t(((x?(y?x))?z∈μ)∧(z∈μ)→(x∈μ))。

設(shè)R是一個蘊(yùn)涵算子，顯然μ是X的t-蘊(yùn)涵的模糊蘊(yùn)涵理想當(dāng)且僅當(dāng)它滿足對任意x,y,z∈X，有：

定理11對BCK-代數(shù)X的任一模糊子集μ,下列結(jié)論成立：

（1）若R=RGR，則μ是X的一個0.5-蘊(yùn)涵的模糊蘊(yùn)涵理想當(dāng)且僅當(dāng)μ是X的模糊蘊(yùn)涵理想。

①對任意x∈X，有成立；

②對任意x,y,z∈X，有(y?x)?z),μ(z),1}。

證明（1）是明顯的。

（2）假設(shè)μ是X的一個-蘊(yùn)涵的模糊蘊(yùn)涵理想，則對任意x,y,z∈X，有且對于第一個不等式，有μ(0)≥μ(x)或，因此對任意x∈X有成立。第二個不等式蘊(yùn)涵著 min{μ((x?(y?x))?z),μ(z)}≤μ(x)或者從而對任意x,y,z∈X成立。由定理2可知，μ是X的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想。

反之，假設(shè)μ是X的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想。由（I3），若則R(μ(x),μ(0))=1≥G否則由（I4），如果

則μ(x)≥ min{μ((x?(y?x))?z),μ(z)}，進(jìn)而對任意x,y,z∈X成立。若

（3）假設(shè)μ是X的一個-蘊(yùn)涵的模糊蘊(yùn)涵理想，則（i）對任意x∈X成立，并且（ii）對任意x,y,z∈X，有RcG(min{μ((x?(y?x))?z),μ(z)},成立。條件（i）蘊(yùn)涵著μ(0)≥μ(x)或1-故從而由 條件（ii）可 知 min{μ((x?(y?x))?z),μ(z)} ≤μ(x) 或 者。因此對任意x,y,z∈X,有：

反之，假設(shè)模糊集μ滿足條件①和②。對于條件①，若μ(x)=1，則故R(μ(x),cG如果μ(x)<1，則③成立。

推論5對于BCK-代數(shù)X的模糊子集μ，下列結(jié)論成立：

（1）若R=RG，則μ是X的一個0.5-蘊(yùn)涵的模糊蘊(yùn)涵理想當(dāng)且僅當(dāng)μ是X的一個(∈,∈∨q)模糊蘊(yùn)涵理想。

（2）若R=RcG，則μ是X的一個模糊蘊(yùn)涵理想當(dāng)且僅當(dāng)μ滿足下列條件：

①max{μ(0),0.5}≥min{μ(x),1}對任意x∈X都成立；

②對任意x,y,z∈X，有 max{μ(x),0.5}≥min{μ((x?(y?x)?z),μ(z),1}。

5　結(jié)論

隨著數(shù)學(xué)和計算機(jī)科學(xué)的發(fā)展，作為非經(jīng)典模糊邏輯代數(shù)類的BCK-代數(shù)類被人們深入而廣泛地研究。本文建立了模糊點(diǎn)與模糊集之間的屬于與重于更一般關(guān)系，從而推廣了BCK-代數(shù)的(∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想，引入了(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想的概念，研究了它的相關(guān)性質(zhì)，證明了任何模糊蘊(yùn)涵理想和任何 (∈,∈∨q)-模糊蘊(yùn)涵理想都是 (∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想，例證表明反之則不必然；指出了每個(∈,∈∨qk)-模糊理想都是 (∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想，通過實(shí)例說明了其逆不真，并進(jìn)一步說明了蘊(yùn)涵BCK-代數(shù)的 (∈,∈∨qk)-模糊理想與 (∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想是等價的；闡明了對一個(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想而言，當(dāng)k在區(qū)間[0,1]由小變大時，它仍是(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想，反之則不然；給出了BCK-代數(shù)的(∈,∈∨qk)-模糊蘊(yùn)涵理想的幾個等價刻畫，其中包含了水平子集在內(nèi)的3個普通集合的關(guān)系；引入了基于蘊(yùn)涵的BCK-代數(shù)的模糊蘊(yùn)涵理想的概念，討論了3個特殊蘊(yùn)涵算子誘導(dǎo)的模糊蘊(yùn)涵理想的特征，獲得了有意義的結(jié)論，這些豐富結(jié)論足以說明這種關(guān)于代數(shù)結(jié)構(gòu)的研究是非常有價值的。

[1]Bunder W M.BCK and related algebras and their corresponding logics[J].Journal of Non-Classical Logic,1983,1:15-24.

[2]Imai K,Iséki K.On axiom system of propositional calculus[J].Proceedings of the JapanAcademy,1966,42:19-22.

[3]Iséki K,Tanaka S.An introduction to the theory of BCK-algebras[J].Mathematica Japonicae,1978,23:1-26.

[4]Iséki K,Tanaka S.Ideas theory of BCK-algebras[J].Mathematica Japonicae,1976,21:351-366.

[5]Peng Jiayin.Normed BCI-algebras[J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics,2011,26(4):543-548.

[6]Meng Jie.On ideals in BCK-algebras[J].Mathematica Japonicae,1994(1):143-154.

[7]Zadeh L A.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965,8(3):338-353.

[8]Xi O G.Fuzzy BCK-algebras[J].Mathematica Japonicae,1991,36:935-942.

[9]Meng Jie,Guo Xiu'e.On fuzzy ideals in BCK/BCI-algebras[J].Fuzzy Sets and Systems,2005,149(3):509-525.

[10]Jun Y B,Hong S M,Meng Junna,et al.Characterizations of fuzzy positive implicative ideals in BCK-algebras[J].Mathematica Japonicae,1994,40:503-507.

[11]JunYB,Roh E H.Fuzzy commutative ideals of BCK-algebras[J].Fuzzy Sets and Systems,1994,64:401-405.

[12]Peng Jiayin.Fuzzifying implicative ideals of BCK-algebras based on continuous-valued logic[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2015,29(5):1-10.

[13]Meng Jie,Jun Y B,Kim H S.Fuzzy implicative ideals of BCK-algebras[J].Fuzzy Sets and Systems,1997,89(2):243-248.

[14]Pu Paoming,Liu Yingming.Fuzzy topology I,neighborhood structure of a fuzzy point and Moore-Smith convergence[J].Journal of Mathematical Analysis&Applications,1980,76(2):571-599.

[15]Zhang Guangji,Zhang Cheng,Liu Zixin,et al.New kinds of fuzzy ideals in BCI-algebras[J].Fuzzy Optimization&Decision Making,2006,5(2):177-186.

[16]Liu Yinping,Xin Xiaolong.(∈,∈ )((∈,∈ ∨q),(-∈,-∈ ∨ -q))-fuzzy implicative ideals of BCK-algebras[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2010,24(6):48-54.

[17]Liu Chunhui.Generalized(∈,∈∨q)-fuzzy ideals in BCK-algebras[J].Chinese Quarterly Journal of Mathematics,2015,30(3):373-380.

[18]Liu Chunhui.(∈,∈∨q)-fuzzy soft ideals in BCK/BCI-algebras[J].Journal of Zhejiang University:Science Edition,2015,42(3):256-260.

[19]Ying Mingsheng.A new approach for fuzzy topology I[J].Fuzzy Set and Systems,1991,39(3):303-321.

[20]Ying Mingsheng.On standard models of fuzzy modal logics[J].Fuzzy Sets and Systems,1988,26(3):357-363.

附中文參考文獻(xiàn)：

[12]彭家寅.基于連續(xù)值邏輯之BCK-代數(shù)的不分明蘊(yùn)涵理想[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2015,29(5):1-10.

[16] 劉 銀 萍, 辛 小 龍.BCK-代 數(shù) 的 (∈,∈)((∈,∈∨q),-模糊蘊(yùn)涵理想[J].模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué),2010,24(6):48-54.