基于廣義延拓逼近的GPS衛(wèi)星信號多普勒頻移估計方法

唐青松 王兆瑞

摘 要：對并行碼相位捕獲GPS衛(wèi)星信號時多普勒頻移的柵欄效應(yīng)進(jìn)行研究。為了減小柵欄效應(yīng)的影響，提高多普勒頻移的捕獲精度，提出用廣義延拓逼近法來提高多普勒頻移的估計精度，并在不增加算法運算量的基礎(chǔ)上，對此方法進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)一步降低了噪聲對捕獲多普勒頻移精度的影響，仿真結(jié)果驗證了該方法的有效性。

關(guān)鍵詞： 柵欄效應(yīng)； 多普勒頻移； 廣義延拓逼近； GPS； 衛(wèi)星信號； 捕獲精度

中圖分類號： TN911.7?34 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 1004?373X（2018）07?0024?05

Doppler shift estimation method of GPS satellite signals

based on generalized extended approximation

TANG Qingsong1， 2， WANG Zhaorui2

（1. University of Chinese Academy of Sciences， Beijing 100012， China；

2. National Astronomical Observatories， Chinese Academy of Sciences， Beijing 100012， China）

Abstract： The picket?fence effect of Doppler shift when the parallel code phase is utilized to capture the GPS satellite signal is studied. In order to reduce the influence of picket?fence effect and improve the acquisition precision of Doppler shift， a generalized extended approximation method is proposed to improve the estimation accuracy of Doppler shift. The method is optimized while maintaining the algorithm computation amount to further reduce the impact of noise on the acquisition accuracy of Doppler shift. The simulation results verify that the method is effective.

Keywords： picket?fence effect； Doppler shift； generalized extended approximation method； GPS； satellite signal； acquisition precision

0 引 言

為了提高計算效率，通常采用FFT算法對采樣信號的頻譜進(jìn)行計算，設(shè)數(shù)據(jù)點數(shù)為[N=Tdt=Tfs，]則計算得到的離散頻率點為[X（fi）， fi=ifsN，i=0，1，2，…，N2，]這樣就只能看到頻譜的一部分，因此會使一部分有用的頻率成分被漏掉，此種現(xiàn)象被稱為柵欄效應(yīng)。在導(dǎo)航信號的并行捕獲中，實際的多普勒頻移值不會恰好在信號的采樣點上，由于柵欄效應(yīng)的影響，實際的多普勒頻移值會被漏過去，在對采樣信號做FFT變換時就必然會產(chǎn)生較大誤差，影響最后多普勒頻移的估計值。廣義延拓逼近法是一種綜合了插值法和擬合法優(yōu)點、具有約束條件的數(shù)值逼近方法，本文嘗試將此方法應(yīng)用于捕獲過程中對多普勒頻移的精確估計，同時在基本廣義延拓逼近方法的基礎(chǔ)上，為了進(jìn)一步降低噪聲對捕獲精度的影響，提出一種優(yōu)化的廣義延拓多普勒頻移估計方法，實現(xiàn)了對多普勒頻移的精確捕獲。

1 廣義延拓逼近法

廣義延拓逼近法由施滸立首先提出[1]，在隨后的發(fā)展中得到不斷完善，文獻(xiàn)[2?5]分別將廣義逼近法用于GPS導(dǎo)航的高程擬合、定位增強和精密星歷等方面。相比于插值法和擬合法，其主要優(yōu)點是在分段邊界點上滿足插值條件，使得分段之間的變化具有一定的協(xié)調(diào)性，另外又利用分段周圍節(jié)點（包括內(nèi)點）將每個分段進(jìn)行延拓，實現(xiàn)分段最佳擬合，從而可以吸取插值法和擬合法的優(yōu)點，將兩者結(jié)合起來，提高數(shù)值逼近精度。

已知函數(shù)[u]的一組離散數(shù)據(jù)[uj，xjuj=u（xj），xj∈Ω，][j =1，2，…，n，]運用分片逼近的思想，將[Ω]劃分為[m]個互不重疊的子區(qū)域[Ωe，]子區(qū)域有[r]個節(jié)點。在[Ω]上構(gòu)造一個近似函數(shù)[U，]滿足條件[U（X）=ui，i=1，2，…，n。]根據(jù)廣義延拓的思想，將單元域[Ωe]進(jìn)行延拓，得到延拓域[Ω′e。]設(shè)延拓域[Ω′e]內(nèi)有[s]個節(jié)點，其中屬于單元域[Ωe]內(nèi)的有[r]個節(jié)點，且[r

[Ue（x）=j=1tkejbej（x）] （1）

式中：[be1，be2，…，bet]是[Ωe]上的一組基函數(shù)；[ke1，ke2，…，ket]為待定系數(shù)；[t]為逼近函數(shù)項數(shù)，且[r

式中：[bij=bj（xi）；η]為[r]個拉格朗日乘數(shù)法參數(shù)列向量；[k]為[t]個待定參數(shù)列向量；[u]為廣義延拓域內(nèi)[s]個節(jié)點的值組成的列向量；[uI]為單元域內(nèi)[r]個節(jié)點值組成的列向量。

對式（4）進(jìn)行矩陣求逆運算，可以解出逼近函數(shù)中的待求系數(shù)，確定單元域上的插值函數(shù)，之后在單元域內(nèi)進(jìn)行插值計算。對每個子區(qū)域[Ωe]均按上述方法求解，最后將各個分片函數(shù)拼接起來，就可以得到總域上的逼近函數(shù)[U（X）。]

2 基于廣義延拓逼近的多普勒頻移估計方法

2.1 算法思想

由對頻偏進(jìn)行一維搜索的精捕獲可以看到，要逼近的圖形接近一個拋物線，不失一般性，可以假設(shè)廣義差值函數(shù)為二次型[6]：

最后得到總域的逼近函數(shù)為：

由粗捕獲可以得到誤差較大的多普勒頻移值[fr，]然后在臨近的區(qū)域[fr-500 Hz， fr+500 Hz]內(nèi)選取[f0=fr-500， f1=fr-250， f2=fr， f3=fr+250， f4=fr+500，]分別設(shè)為[xi-2，xi-1，xi，xi+1，xi+2，]分別計算對應(yīng)的相關(guān)值[y（xi-2），y（xi-1），y（xi），y（xi+1），y（xi+2），]如圖1所示，以單元域[Ω]為例，在單元域[Ω]上的點為[xi，xi+1，]在擴展域[Ω]上的點為[xi-1，xi+2，]根據(jù)廣義延拓逼近函數(shù)的定義可知，所求函數(shù)[Ui（x）]在單元域[Ω]上的延拓需要滿足以下條件：

式（8）可以采用拉格朗日乘數(shù)法，即求解帶條件約束的極值。

即：

2.2 算法的優(yōu)化

經(jīng)過精確捕獲后的相關(guān)函數(shù)值與頻率誤差的關(guān)系是辛格函數(shù)[6]，在最大值周圍的函數(shù)圖形是凸函數(shù)，峰值點落在樣值點的最大值和次大值點之間[7?8]。由于噪聲的存在，樣值點的取值一定會存在誤差，如果嚴(yán)格通過存在誤差的點，會降低結(jié)果的精度。由于只是求最大值，所以只要求在最高值點左右兩個單元域內(nèi)構(gòu)造的函數(shù)平滑不出現(xiàn)斷層即可。可以讓求取的逼近函數(shù)[Ui（x）]只通過最大值點，這樣雖然會使左右單元域和其他單元域的連接處產(chǎn)生斷層，但最大值點左右兩側(cè)的單元域內(nèi)構(gòu)造的函數(shù)依然平滑，不影響對峰值點的估算，而且這種改進(jìn)會降低噪聲對構(gòu)造函數(shù)的影響，提高峰值點的估算精度。

優(yōu)化后的廣義延拓進(jìn)行逼近需滿足如下條件：

式中[xmax]是所有樣值點中[y（x）]取得最大值的頻點。

3 數(shù)字仿真實驗

3.1 運算量的對比分析

目前，GPS接收機中精捕獲的方法最有代表性的有：加長數(shù)據(jù)FFT法和相位檢測法，按照復(fù)數(shù)乘法的次數(shù)進(jìn)行運算量對比[9]。

在仿真中，1 ms中采樣[N=]5 000點的數(shù)據(jù)。

1） 由于之前的粗捕獲已經(jīng)計算過[f0=fr-500， ][f2=fr， f4=fr+500]的值，所以廣義延拓逼近只需要計算[f1=fr-250， f3=fr+250]兩個頻點的值即可。復(fù)數(shù)乘法的次數(shù)是[2N=]10 000次。

2） 加長數(shù)據(jù)FFT法，為了達(dá)到想要的估計精度，必須將粗捕獲的步長進(jìn)行細(xì)化，要達(dá)到10 Hz的分辨率需要100 ms的連續(xù)數(shù)據(jù)。在1 ms中采樣5 000點的數(shù)據(jù)，100 ms中包含500 000個數(shù)據(jù)點，在末尾添上24 288個0，構(gòu)成[N=524 288]長的序列。所需復(fù)數(shù)乘法運算次數(shù)為[N2log2N=]4 980 736。

3） 相位檢測法：該方法所需復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為[8N=]40 000次。

三種精捕獲方法的計算量見表1。

由表1可見，基于廣義延拓逼近的多普勒頻移估計方法的運算量比目前常用的兩種方法都要少，如果以1 ms采樣5 000點的數(shù)據(jù)為例，可以得到其減少比例分別為498倍和4倍，計算效率提高得非常明顯。

3.2 仿真實驗

由于對頻偏進(jìn)行一維搜索的精捕獲雖然計算量很大，不適合用于真正的接收機，但是由于這種方法可以通過控制步長從而控制得到多普勒頻移值的估計精度，所以將這種方法設(shè)為廣義延拓插值法的對比組。對PRN#2的衛(wèi)星信號進(jìn)行仿真，在信噪比SNR=-20 dB的情況下，對標(biāo)稱[Fif=]2 MHz的中頻信號進(jìn)行精捕獲，設(shè)置多普勒頻移為4 859.3 Hz。圖2為在最大樣值點左右兩個單元域內(nèi)用廣義延拓逼近法構(gòu)造的函數(shù)圖形。

分別對頻偏一維搜索的精捕獲（步長為10 Hz）、廣義延拓逼近法精捕獲、優(yōu)化的廣義延拓逼近法精捕獲仿真100次，并分別計算與真實多普勒頻移的誤差、方差等，結(jié)果分別如圖3和表2所示。

通過圖3和表2可知，優(yōu)化后的廣義延拓逼近法誤差值遠(yuǎn)低于以10 Hz為步長對頻率進(jìn)行一維搜索的誤差值，且得到的估計頻率能夠使衛(wèi)星信號落到跟蹤環(huán)路的搜索范圍內(nèi)。

信噪比為-20 dB時，在0～10 kHz的多普勒頻移中隨機選取20個值，并分別對這些多普勒頻移值進(jìn)行100次估計，結(jié)果取與真實多普勒頻移誤差的絕對值的均值，其仿真結(jié)果如圖4所示。信噪比從-25～-10 dB變化時，分別對上述三種精捕獲方法進(jìn)行100次仿真，取結(jié)果絕對值的均值，其仿真結(jié)果如圖5所示。

由圖4和圖5可以看到多普勒頻移值在0～10 kHz隨機變化，信噪比在-25～-10 dB隨機變化時，優(yōu)化后的廣義延拓逼近法得到的多普勒頻移估計值的誤差最小。

4 結(jié) 語

本文針對并行捕獲多普勒頻移存在的柵欄效應(yīng)，采用廣義延拓逼近法提高捕獲的多普勒頻移的精度，在不增大運算量的基礎(chǔ)上對廣義延拓逼近算法進(jìn)行優(yōu)化，降低了噪聲對捕獲精度的影響。并對優(yōu)化前后的兩種方法進(jìn)行仿真，仿真結(jié)果證明了廣義延拓逼近方法得到的估計頻率能夠使衛(wèi)星信號落到跟蹤環(huán)路的搜索范圍內(nèi)，而且優(yōu)化后方法的抗噪聲能力得到了較大的增強。

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