基于預(yù)測(cè)-校正內(nèi)點(diǎn)法ATC計(jì)算

王永貴，孫超，厲超(南京南瑞繼保電氣有限公司，江蘇 南京　211100)

0　引　言

快速、準(zhǔn)確地評(píng)估可用輸電能力(Available Transfer Capability, ATC)對(duì)系統(tǒng)的輸電可靠性和電力市場(chǎng)交易順利進(jìn)行有著重要的作用。因此國(guó)內(nèi)外專家學(xué)者就ATC問(wèn)題展開了深入的研究[1]。

目前ATC的計(jì)算方法大致可分為兩類：概率型算法和確定型算法。概率型算法利用概率理論知識(shí)來(lái)求解系統(tǒng)的ATC，其計(jì)算量較大[2-3]。確定型算法主要有：連續(xù)潮流法[4]、靈敏度分析法[5]和最優(yōu)潮流法[6]。其中最優(yōu)潮流法對(duì)復(fù)雜非線性規(guī)劃問(wèn)題具有較強(qiáng)的處理能力，廣泛應(yīng)用于ATC的計(jì)算。

本文從提高ATC計(jì)算速度及可靠性的角度出發(fā)，基于預(yù)測(cè)校正內(nèi)點(diǎn)法計(jì)算速度快、魯棒性好、快速收斂等優(yōu)點(diǎn)，將預(yù)測(cè)校正內(nèi)點(diǎn)法(Predictor-corrector Primal-dual Interior-point Method，PCPDIPM)應(yīng)用于電力系統(tǒng)ATC計(jì)算。通過(guò)對(duì)模型進(jìn)行仿真分析，與傳統(tǒng)原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法(Primal-dual Interior-point Method，PDIPM)計(jì)算ATC進(jìn)行比較，驗(yàn)證模型的實(shí)用性和算法的有效性及快速收斂性。

1　ATC求解模型

1.1　目標(biāo)函數(shù)

本文將ATC計(jì)算的目標(biāo)函數(shù)定義為送電區(qū)域?qū)ν馑新?lián)絡(luò)線輸出功率累加達(dá)到最大，忽略輸電可靠性裕度和容量效益裕度，即目標(biāo)函數(shù)為[7]:

(1)

1.2　等式約束

等式約束方程包括發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)潮流方程和非發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)潮流方程，對(duì)于發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)：

(2)

式中:k∈i表示第k個(gè)發(fā)電機(jī)接在節(jié)點(diǎn)i上;Pgk、Qgk為發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)k的有功功率和無(wú)功功率；PLi、QLi為節(jié)點(diǎn)i的有功功率和無(wú)功功率；Vi為節(jié)點(diǎn)i電壓幅值；Vj為與節(jié)點(diǎn)i相連節(jié)點(diǎn)的電壓幅值；θij為節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j相角差；Gij、Bij為節(jié)點(diǎn)i與節(jié)點(diǎn)j間電導(dǎo)和電納。

對(duì)于非發(fā)電機(jī)節(jié)點(diǎn)：

(3)

1.3　不等式約束

不等式約束包含發(fā)電機(jī)輸出功率、負(fù)荷、節(jié)點(diǎn)電壓和線路功率約束，即:

(4)

式中:Pga、Qga分別為發(fā)電機(jī)a的有功出力和無(wú)功出力;PLi為節(jié)點(diǎn)i的有功功率;QLi為節(jié)點(diǎn)i無(wú)功功率;Vi為節(jié)點(diǎn)i的電壓;Pij為線路功率;j∈i表示節(jié)點(diǎn)j與節(jié)點(diǎn)i相連。

2　預(yù)測(cè)-校正內(nèi)點(diǎn)法數(shù)學(xué)模型描述

2.1　原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法概述

假設(shè)x∈Rn，h(x)∈Rm，g(x)∈Rr，PDIPM算法求解最優(yōu)解問(wèn)題的基本原理如下幾個(gè)步驟[8-12]：

(1)設(shè)置松弛變量l、u，均為r維列向量，且滿足l>0、u>0，使不等式約束等式化：

(5)

(6)

(2)將原優(yōu)化問(wèn)題變換為如下新的優(yōu)化問(wèn)題：

(7)

s.t.h(x)=0

式中：μ′為擾動(dòng)因子。式(7)后面兩項(xiàng)為懲罰項(xiàng)，當(dāng)li→0或者ui→0，目標(biāo)函數(shù)值趨于無(wú)窮大，為此要使式(7)與原目標(biāo)函數(shù)具有相同最優(yōu)目標(biāo)值，則在最優(yōu)運(yùn)行點(diǎn)上必須滿足兩個(gè)條件：一是li>0并且ui>0；二是μ′→0。

優(yōu)化問(wèn)題(7)的拉格朗日函數(shù)：

(8)

式中：y∈Rm，z∈Rr，w∈Rm，且z>0、w<0，y、z、w均為拉格朗日乘子。為了求得函數(shù)的極小值，需對(duì)函數(shù)變量求一次偏導(dǎo)，偏導(dǎo)值為零。

聯(lián)立求解可得：

(9)

式中：Gap=lTz-uTw稱為對(duì)偶間隙，也稱補(bǔ)償間隙。研究證明當(dāng)Gap→0,μ′→0時(shí)，優(yōu)化問(wèn)題能獲得最優(yōu)解。為了使算法具有更好的收斂性，對(duì)式(9)進(jìn)行修改得如下表達(dá)式：

(10)

式中：σ∈(0,1)稱為中心參數(shù)。

(3)利用庫(kù)恩-塔克(Karush-Kuhn-Tucker，KKT)條件得到一系列的非線性方程。

(4)最后用牛頓-拉弗森法來(lái)求解非線性方程組并通過(guò)對(duì)偶間隙判斷收斂性。

綜上所述，原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法求解ATC的算法流程如圖1所示，圖中kmax為最大迭代次數(shù)，ε為收斂精度，本文取ε=10-6。

圖1　原對(duì)偶內(nèi)點(diǎn)法求解ATC的流程圖

2.2　預(yù)測(cè)-校正內(nèi)點(diǎn)法概述

PCPDIPM是在PDIPM基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，PDIPM在求解障礙函數(shù)擾動(dòng)因子m時(shí)，中心參數(shù)s是固定不變的，而PCPDIPM在每次迭代時(shí)都對(duì)中心參數(shù)s進(jìn)行修正，提高收斂速度[13-15]。

(11)

(12)

整理可得：

(13)

于是修正方程變?yōu)椋?/p>

(14)

式中：

Lx-co=xg(x)[L-1(-μe+ΔLafΔzaf)+U-1(μe+ΔUafΔwaf)]

整個(gè)等式可記作：

(15)

預(yù)測(cè)步求出仿射方向的修正量：

3.1.3 未按要求總結(jié)液體出入量記錄 入量錯(cuò)誤調(diào)查中，腸外營(yíng)養(yǎng)液記錄不準(zhǔn)確128例次占76.65%。對(duì)于進(jìn)行腸內(nèi)外營(yíng)養(yǎng)支持治療或靜脈輸液時(shí)，護(hù)理人員往往在更換液體時(shí)即將所更換的液體記錄在護(hù)理監(jiān)護(hù)單入量這一欄內(nèi)，交接班以后，總結(jié)液體入量時(shí)，下一班護(hù)士往往只根據(jù)護(hù)理監(jiān)護(hù)單上的記錄值，將記錄的液體總量相加，而實(shí)際入量與記錄量可能并不一致，致使總結(jié)的液體入量與實(shí)際的液體入量不統(tǒng)一，影響了對(duì)患者病情的觀察和判斷。

(16)

校正步求出校正方向的修正量：

(17)

因此總牛頓法方向的修正量為：

Δω=Δωaf+Δωco

(18)

PCPDIPM求解ATC問(wèn)題的算法流程如圖2所示，其在預(yù)測(cè)步和校正步的計(jì)算步驟如下：

(1)預(yù)測(cè)步

①設(shè)定中心參數(shù)σ=0。

②求解仿射方向修正量。

③確定迭代步長(zhǎng)。

⑤求得擾動(dòng)因子μ：

(19)

(2)校正步

①根據(jù)仿射方向修正量求得校正方向的常數(shù)項(xiàng)。

②求得校正方向的修正量。

圖2　預(yù)測(cè)—校正內(nèi)點(diǎn)法求解ATC的流程圖

3　算例分析

圖3　IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

本文以IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、IEEE 57節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例驗(yàn)證算法的有效性和實(shí)用性。區(qū)域劃分以IEEE 14、IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，劃分情況如圖3和圖4所示。

IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)區(qū)域劃分圖

IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)區(qū)域劃分圖

圖4　IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)

在相同的ATC目標(biāo)函數(shù)及約束條件下，分別使用PDIPM和PCPDIPM兩種算法計(jì)算不同算例系統(tǒng)的可用輸電能力，計(jì)算結(jié)果及迭代次數(shù)如表1所示。

表1　PDIPM與PCPDIPM迭代次數(shù)比較與區(qū)域聯(lián)絡(luò)線功率

由表1可知， PDIPM算法和PCPDIPM算法均能快速收斂，內(nèi)點(diǎn)法對(duì)于提高ATC計(jì)算速度方面有著積極作用，對(duì)比收斂迭代次數(shù)可知，在同等條件下，改進(jìn)后的PCPDIPM算法的迭代次數(shù)比PDIPM算法少，收斂速度更快，PCPDIPM在提升ATC計(jì)算速度上有著更大的優(yōu)勢(shì)。

4　結(jié)束語(yǔ)

本文建立了基于PCPDIPM算法計(jì)算ATC的模型，通過(guò)對(duì)IEEE 14節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、IEEE 30節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)、IEEE 57節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例驗(yàn)證了算法的有效性和實(shí)用性，并與PDIPM算法計(jì)算ATC的方法進(jìn)行比較，對(duì)比仿真結(jié)果可知，PCPDIPM和PDIPM兩種算法均能快速收斂，內(nèi)點(diǎn)法對(duì)于提高ATC計(jì)算速度方面有著積極作用；對(duì)比收斂迭代次數(shù)可知，在同等條件下，改進(jìn)后的PCPDIPM算法的迭代次數(shù)比PDIPM算法少，收斂速度更快，PCPDIPM算法在提升ATC計(jì)算速度上有著更大的優(yōu)勢(shì)。

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