基于Voigt與Reuss模型的巖土二元介質(zhì)破損規(guī)律

楊瑞敏，丁建文，章振寧，吳偉東(.安徽科技學(xué)院建筑學(xué)院，安徽 滁州　3300； .東南大學(xué)巖土工程研究所，江蘇 南京　0096)

天然沉積軟黏土具有非均質(zhì)、多孔等結(jié)構(gòu)性特征。沈珠江等[1-6]認(rèn)為必須考慮土體變形中結(jié)構(gòu)的破壞，建立結(jié)構(gòu)性土模型是當(dāng)代土力學(xué)的核心問題，為此一種新的巖土力學(xué)分析理論——巖土破損力學(xué)被提出。巖土破損力學(xué)[3-9]是一種基于準(zhǔn)連續(xù)介質(zhì)進(jìn)行宏觀分析的力學(xué)理論，研究對(duì)象為破碎嚴(yán)重的巖體和結(jié)構(gòu)性土體。結(jié)構(gòu)性巖土體被抽象為由膠結(jié)元與摩擦元組成的二元介質(zhì)，加載過程中膠結(jié)元逐步破損，并向摩擦元轉(zhuǎn)化。沈珠江[4]基于非均勻材料的均勻化理論，推導(dǎo)出變形協(xié)調(diào)條件下巖土二元介質(zhì)的破損力學(xué)方程。而巖土二元介質(zhì)中，膠結(jié)元與摩擦元不僅變形是協(xié)調(diào)的，應(yīng)力也是連續(xù)的。復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下二元介質(zhì)破損規(guī)律的研究是巖土破損力學(xué)研究的熱點(diǎn)問題?？紤]膠結(jié)元與摩擦元的應(yīng)力連續(xù)性條件探討二元介質(zhì)的破損規(guī)律是破損力學(xué)的一個(gè)重要補(bǔ)充。在破損力學(xué)的理論框架下，本文將結(jié)構(gòu)性巖土體抽象為由膠結(jié)元和摩擦元組成的二元介質(zhì)，基于Voigt和Reuss模型分別導(dǎo)出滿足變形協(xié)調(diào)和應(yīng)力連續(xù)條件的張量形式的巖土破損力學(xué)本構(gòu)方程，探討三軸復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下巖土二元介質(zhì)的破損規(guī)律、荷載及變形分擔(dān)情況。

1　基于Voigt模型的巖土二元介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系

巖土體類似于復(fù)合材料，可借用復(fù)合材料的均勻化理論進(jìn)行分析[12-13]。從巖土體中取出一個(gè)代表單元，宏觀上無限小，在巖土體中可被當(dāng)作一個(gè)點(diǎn)，微觀上無限大，包含巖土體的所有力學(xué)與幾何統(tǒng)計(jì)信息。設(shè)代表單元的體積為V，膠結(jié)元與摩擦元的體積分別為VI和VF，則膠結(jié)元和摩擦元的平均應(yīng)力與應(yīng)變可定義為：

令λ=VF/V，為體積破損率，則二元介質(zhì)的平均應(yīng)力與平均應(yīng)變?yōu)椋?/p>

其中C為局部化應(yīng)變張量。

將式(5)代入式(4)可得

膠結(jié)元、摩擦元的平均應(yīng)力、應(yīng)變滿足如下關(guān)系：

其中DI、DF分別為膠結(jié)元與摩擦元的彈性剛度張量。

將式(5)、(6)代入式(7)得：

將式(8)、(9)代入式(3)可得

其中B=I-(1-λ)C為破損張量。將式(11)代入式(10)可得

式(13)為應(yīng)力張量表示的巖土破損力學(xué)本構(gòu)方程，破損張量B是與體積破損率、局部化應(yīng)變張量有關(guān)的內(nèi)變量，稱為應(yīng)力分擔(dān)率張量。σI、σF分別為膠結(jié)元和摩擦元中任意一點(diǎn)的應(yīng)力張量。

由式(11)可得應(yīng)力分擔(dān)率張量

2　基于Reuss模型的巖土二元介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系

將式(15)代入式(3)可得

其中SI、SF為膠結(jié)元與摩擦元的柔度張量。

由式(18)可得變形分擔(dān)率張量：

3　討　論

第1節(jié)中基于Voigt模型推導(dǎo)出以剛度張量表示的巖土二元介質(zhì)破損力學(xué)本構(gòu)方程和應(yīng)力分擔(dān)率張量B。若將局部化應(yīng)變張量C退化為標(biāo)量形式c，則B=I-(1-λ)C可退化為標(biāo)量形式b=1-(1-λ)c。單向壓縮時(shí)，式(14)可退化為：

式中E、EI、EF分別為二元介質(zhì)、膠結(jié)元和摩擦元的彈性模量。純剪切時(shí)，式(14)可退化為

式中μ、μI、μF分別為二元介質(zhì)、膠結(jié)元及摩擦元的剪切模量。

對(duì)于各向同性材料，當(dāng)ν=νI=νF時(shí)有[4]

式(11)可退化為[4]

式(10)可退化為[4]

當(dāng)ν≠νI≠νF時(shí)，bE≠bμ，此時(shí)式(24)為

式(28)中ν、νI、νF分別為二元介質(zhì)、膠結(jié)元及摩擦元的泊松比。

對(duì)于正交各向異性材料，分別在3個(gè)主方向(j=1,2,3)上進(jìn)行單向壓縮時(shí)，則式(14)可退化為

純剪切時(shí)，式(14)可退化為

式(29)、(30)中Ej、EIj、EFj與μjk、μIjk、μFjk，k=1,2,3,j=1,2,3,j≠k分別為二元介質(zhì)、膠結(jié)元和摩擦元的3個(gè)主方向進(jìn)行單向壓縮的彈性模量和純剪切的剪切模量。

式(25)—(27)與沈珠江等推導(dǎo)的結(jié)果[1-9]是一致的，但沈珠江等的結(jié)果僅滿足膠結(jié)元與摩擦元變形協(xié)調(diào)條件，且?guī)r土破損力學(xué)基本方程為標(biāo)量形式，沒有考慮膠結(jié)元與摩擦元應(yīng)力的連續(xù)性，不能直接用于實(shí)際復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)巖土實(shí)際邊值問題的有限元計(jì)算。

純剪切時(shí)，式(22)可退化為

對(duì)于各向同性材料，當(dāng)ν=νI=νF時(shí)可得

式(18)可退化為

式(19)可退化為

對(duì)于正交各向異性材料，分別在3個(gè)主方向(j=1,2,3)上進(jìn)行單向壓縮時(shí)，有

純剪切時(shí)，有

式(37)、(38)中下標(biāo)j=1,2,3,k=1,2,3,j≠k。

Reuss模型滿足膠結(jié)元與摩擦元應(yīng)力的連續(xù)性條件，但沒有考慮變形的協(xié)調(diào)性。實(shí)際的巖土二元介質(zhì)中，膠結(jié)元與摩擦元不僅需要滿足變形協(xié)調(diào)條件，而且還要滿足應(yīng)力連續(xù)性條件，要得到一個(gè)能同時(shí)考慮膠結(jié)元與摩擦元變形協(xié)調(diào)和應(yīng)力連續(xù)性的嚴(yán)格意義的巖土二元介質(zhì)本構(gòu)關(guān)系幾乎不可能。Hill[14-15]、Budinansky等[16]利用自洽法可使二元介質(zhì)中膠結(jié)元與摩擦元的變形協(xié)調(diào)和應(yīng)力連續(xù)性條件在弱形式下得到滿足。本文推導(dǎo)的巖土破損力學(xué)本構(gòu)方程，可為結(jié)構(gòu)性巖土體實(shí)際邊值問題的有限元計(jì)算提供理論依據(jù)，同時(shí)為進(jìn)一步研究實(shí)際復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下各向異性巖土體的破壞機(jī)制提供有效的途徑。

4　算例分析

假定膠結(jié)元為各向同性、理想脆彈性體，彈性模量與泊松比分別為EI、νI(均為常量)；摩擦元的彈性模量與泊松比分別為EF、νF(均為變量)。摩擦元的彈性模量隨著圍壓的增加而增加，即

EF=kFσ3。

(39)

其中：kF為比例系數(shù)；σ3為周圍壓力。

摩擦元的泊松比與應(yīng)力水平有關(guān)，且隨著應(yīng)力水平s的增加而增加[17]，即

νF=νFi+(νFf-νFi)s。

(40)

其中：DF、FF為試驗(yàn)參數(shù)；Pa為大氣壓力，取Pa=105Pa。

Viogt模型[10]認(rèn)為：膠結(jié)元與摩擦元并聯(lián)，二元介質(zhì)表現(xiàn)為脆彈性，彈性模量與泊松比分別為E、ν；Ruess模型認(rèn)為[11]：膠結(jié)元與摩擦元串聯(lián)，二元介質(zhì)表現(xiàn)為線性硬化。二元介質(zhì)的彈性模量滿足

E=kσ3。

(42)

其中：k為比例系數(shù)；σ3為周圍壓力。巖土二元介質(zhì)的泊松比滿足

ν=νi+(νf-νi)s。

(43)

其中：νf為破壞時(shí)的切線泊松比，可取νf=0.49；νi為初始切線泊松比，可由下式確定：

其中G、F為試驗(yàn)參數(shù)。

膠結(jié)元為各向同性材料時(shí)，彈性剛度張量DI與柔度張量SI可分別由下式計(jì)算：

(DI)ijkl=λIδijδkl+μI(δikδjl+δilδjk)。

(45)

(46)

式(45)、(46)中：λI、μI為拉梅常數(shù)；δij為Kronecker符號(hào)。拉梅常數(shù)與彈性模量、泊松比滿足如下關(guān)系：

已知膠結(jié)元和二元介質(zhì)的彈性模量、泊松比分別為EI=8 200 kPa，E=4 600 kPa，νI=0.22，ν=0.26，式(41)中參數(shù)GF=0.36，F(xiàn)F=0.6，(ν1-ν3)f=600 kPa。令kF=10，則摩擦元的彈性模量為EF=10ν3，利用Maple軟件計(jì)算可得應(yīng)力分擔(dān)率張量B的非零分量：Biiii,Biijj,Bijij，i≠j，i,j=1,2,3的演化規(guī)律如圖1—3所示，而其他分量均為0。

圖1　不同σ3下Biiii與s關(guān)系曲線

由圖1可知，在圍壓σ3一定時(shí)，Biiii,i=1,2,3隨著應(yīng)力水平s的增大而增大，當(dāng)應(yīng)力水平s一定時(shí)，Biiii均隨著圍壓σ3的增大而增大，表明在3個(gè)主應(yīng)力方向膠結(jié)元均逐步破損，在抵抗軸向壓力中發(fā)揮的作用逐漸減小。由圖2可知，在圍壓σ3一定時(shí)，Biijj,i≠j,i,j=1,2,3隨著應(yīng)力水平s的增大而增大，當(dāng)s=0時(shí)Biijj為負(fù)數(shù)，是由于在某一主應(yīng)力(如大主應(yīng)力σ1)方向施加主壓應(yīng)力會(huì)在其他2個(gè)主應(yīng)力(如σ2,σ3)方向上產(chǎn)生拉應(yīng)力；但是隨著大主應(yīng)力方向應(yīng)力水平s的增大，σ2、σ3方向上膠結(jié)元由受拉狀態(tài)轉(zhuǎn)化為受壓狀態(tài)，并逐漸破損。應(yīng)力水平s一定時(shí)，隨著圍壓σ3的增大，Biijj,i≠j,i,j=1,2,3逐步減小。由圖3可知，圍壓σ3一定時(shí)，隨著應(yīng)力水s的增大，Bijij,i≠j,i,j=1,2,3逐步減小，表明膠結(jié)元在抵抗剪切力中發(fā)揮的作用逐漸增大；當(dāng)應(yīng)力水平s一定時(shí)，隨著圍壓的增大，Bijij,i≠j,i,j=1,2,3逐步增大，表明膠結(jié)元在抵抗剪切力中發(fā)揮的作用逐漸減小。

圖2　不同σ3下Biijj與s關(guān)系曲線

圖3　不同σ3下Bijij與s關(guān)系曲線

圖4　不同σ3下與s關(guān)系曲線

圖5　不同σ3下與s關(guān)系曲線

圖6　不同σ3下與s關(guān)系曲線

5　結(jié)　論

基于Voigt和Reuss模型推導(dǎo)出巖土二元介質(zhì)破損參數(shù)為張量形式的破損力學(xué)方程，得到如下結(jié)論：

1)巖土二元介質(zhì)的破損行為與膠結(jié)元、摩擦元的物理力學(xué)特性、圍壓和應(yīng)力水平有關(guān)。

2)應(yīng)力分擔(dān)率Biiii隨應(yīng)力水平s和圍壓σ3的增大而增大，表明在主應(yīng)力方向由于膠結(jié)元的破損，在抵抗軸向壓力中發(fā)揮的作用逐漸減小。

3)應(yīng)力分擔(dān)率Biijj在s=0時(shí)為負(fù)值，隨應(yīng)力水平s的增大而增大，當(dāng)s>0.6后逐漸變?yōu)檎?，表明隨著大主應(yīng)力施加，在中、小主應(yīng)力方向膠結(jié)元由受拉轉(zhuǎn)化為受壓，并逐步破損；Bijij隨應(yīng)力水平s的變化不大。

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