考慮漿液稠度變化的盾構(gòu)壁后注漿擴散模型

周佳媚，劉歡，張遷，戴龍欽，曹國棟

(西南交通大學 交通隧道工程教育部重點實驗室，四川 成都 610031)

隨著地下工程的快速發(fā)展，盾構(gòu)法施工技術(shù)可在不干擾城市正常功能的前提下快速完成隧道建設(shè)，已成為城市地下鐵道及越江隧道施工的主流方法。盾構(gòu)推進過程中，由于盾構(gòu)外殼直徑比管片直徑大，盾尾脫離管片后，在土體與盾構(gòu)隧道管片間形成一個環(huán)形柱狀空隙。若不及時充填盾尾空隙，勢必會導致管片上方土體產(chǎn)生較大沉降，嚴重影響隧道周邊建筑物的安全[1?3]。對盾尾空隙進行壁后注漿是控制地層應力釋放和地層變形的重要手段，且硬化后的注漿體可起到防水作用，使土壓力作用均勻及確保隧道襯砌管片的早期穩(wěn)定[4]。注漿壓力作為壁后注漿的重要控制參數(shù)，直接決定了漿液在盾尾空隙中的充填速率、充填程度以及注漿過程中及注漿完成后漿體的壓力大小和分布形式，并最后影響壁后注漿效果[5]。此外，在壁后注漿過程中，漿液對管片產(chǎn)生壓力，壓力達到一定程度時，可能引起管片整體或局部上浮、錯臺、開裂等破壞[6]。所以對水泥漿液壁后注漿擴散半徑及其對管片造成的壓力的研究是注漿技術(shù)能否成功應用的關(guān)鍵因素。注漿流體因不同的流變方程可分為牛頓流體、賓漢姆流體及冪律型流體。近年來，許多學者通過理論分析、數(shù)值模擬、模型試驗等方法對水泥漿液的擴散形式、漿體壓力分布、管片受力進行了大量的研究。阮文軍[7]建立了基于漿液黏度時變性賓漢姆漿液的巖體裂隙注漿擴散模型；楊志全等[8]建立黏度時變性賓漢姆漿液的球形、柱半球形滲透擴散機制；白云等[9]借助牛頓流體模型，推導出盾尾空隙橫斷面內(nèi)漿液的分布模型，該模型計算結(jié)果并與工程實測值吻合良好；袁小會等基于賓漢姆及牛頓流體，探討了盾構(gòu)壁后注漿壓力在盾尾空隙的傳遞過程，導出注漿壓力的傳遞公式；葉飛等[10]將漿液的擴散過程簡化為其在土體中大量孔徑不均勻的毛細管的滲流運動，建立了漿液滲透擴散力學模型。從目前檢索的文獻中來看，很少有學者對冪律型漿液滲透擴散進行研究，且上述研究成果基本上是基于漿液擴散區(qū)域內(nèi)黏度不變或者漿液黏度時變性來開展研究的，未考慮漿液黏度空間分布的不均勻性。為解決上述問題，本文以冪律型漿液為研究對象，建立恒定注漿速率條件下管片壁后注漿滲透擴散模型，分別考慮了漿液稠度時空變化與空間稠度不變時的隧道管片注漿漿液滲透擴散規(guī)律，并推導了盾構(gòu)壁后壓力時空分布方程及因注漿造成的管片壓力計算公式，為盾構(gòu)隧道壁后注漿參數(shù)的選擇提供了一定的計算依據(jù)。

1　盾構(gòu)隧道管片注漿滲透擴散模型

1.1　基本假定

本文在分析盾構(gòu)隧道管片注漿冪律型漿液的擴散過程時提出如下假定：

1) 被注介質(zhì)和漿液滿足均質(zhì)、各向同性；

2) 在管片注漿過程中，漿液在注漿過程中流型保持不變，保證流體連續(xù)性方程成立；

3) 漿液為冪律型流體；

4) 漿液與盾尾、土體、管片接觸面為不透水邊界，不考慮在地下水的作用下不發(fā)生稀釋的現(xiàn)象；

5) 管片注漿滲透過程中，不考慮漿體自重及管片曲率的影響，即認為盾構(gòu)管片外表面為平面，漿液在被注介質(zhì)中呈柱面滲透擴散。

1.2　冪律型漿液流變方程

冪律型漿液基本流變方程為：

式中：τ為剪應力；c(t)為冪律型漿液稠度系數(shù)，可以通過對漿液的時變曲線進行函數(shù)擬合得到；γ為剪切速率；v為剪切速率；n為流變指數(shù)。

1.3　冪律型漿液盾構(gòu)管片注漿稠度時空分布

根據(jù)張慶松等[11]的研究成果，在恒定注漿速率條件下，注漿孔處的漿液稠度維持恒定，引入3個時間參數(shù)，注漿時間 t；漿液質(zhì)點由注漿孔進入裂隙的時刻 ts，其與注漿孔的距離一一對應；漿液質(zhì)點黏度增長時間tg，其漿液質(zhì)點以進入裂隙ts為起點，以注漿時間t為終點。即設(shè)定注漿孔處漿液稠度為初始黏度值，漿液質(zhì)點從注漿孔進入裂隙的時刻為漿液稠度增長的時間起點，并根據(jù)漿液注入量等于裂隙內(nèi)擴散的漿液量，推求出漿液擴散區(qū)內(nèi)的黏度時空分布方程。

現(xiàn)將其理論推廣到盾構(gòu)隧道管片注漿，并沿注漿孔形成柱形的滲透擴散方式，如圖1所示。

圖1　盾構(gòu)隧道管片注漿柱形滲透擴散模型Fig. 1　Cylindrica penetration and diffusion model of shield tunnel segment grouting

依據(jù)質(zhì)量守恒，漿液注入量與漿液滲透擴散量相等，可得：

式中：q為注漿速率；D為漿液柱形擴散體的厚度；φ為被注介質(zhì)的孔隙率；l1為注漿時間t時的擴散半徑。

由式(3)可得漿液的擴散半徑l1為：

漿液質(zhì)點由注漿孔進入盾尾間隙的時刻ts與其黏度增長時間tg之間的關(guān)系為：

依據(jù)質(zhì)量守恒，對于漿液滲透擴散區(qū)中任一漿液質(zhì)點而言，其從進入盾尾間隙時刻ts到注漿時間t時間段內(nèi)的注漿量與該注漿質(zhì)點離注漿孔距離 l的關(guān)系為：

將式(5)代入式(6)，可得l處所對應漿液黏度增長時間為：

故注漿時間為t時，l處所對應漿液黏度時空分布方程：

1.4　冪律型漿液滲流公式(廣義達西定律)

在一個具有時空型冪律型水泥漿液圓管中，取與管軸為對稱軸，半徑為r的流體柱，長度為dl，圓管半徑為r0，半徑r＜r0，如圖2所示。

圖2　冪律型漿液在圓管中的流動示意圖Fig. 2　Sketch of exponential fluid flow in a circular tube

在忽略冪律型漿液重力的條件下，流體柱受力滿足以下的平衡關(guān)系：

式中：p與p+dp分別為流體柱段dl左右兩端壓力；τ為流體柱環(huán)表面所受的剪切力。

由式(9)可推求流體柱環(huán)表面剪切力為：

將式(10)代入冪律型漿液流變方程中得：

對式(11)采用分離變量法積分，并考慮邊界條件 r=r0，v=0，得冪律型漿液在圓管截面的速度表達式：

半徑為r0的圓管單位時間流量為：

將式(12)代入式(13)中得：

冪律型漿液在圓管的平均流速v為：

由Dupuit-Forchheimer關(guān)系式可得冪律型漿液在被注介質(zhì)中運動的平均滲透速度為：

1.5　冪律型漿液盾構(gòu)管片注漿滲透擴散規(guī)律

1.5.1考慮盾構(gòu)管片注漿稠度時空分布不均勻性

冪律型漿液在滲透過程中的單位時間注漿量滿足：

將式(8)與式(16)代入式(17)可得：

對式(18)進行恒等變換，可得漿液擴散區(qū)內(nèi)的壓力梯度：

對式(19)在(l0,l)范圍內(nèi)積分且考慮注漿的邊界條件：即 l=l0時，p=p0，從而得到擴散區(qū)內(nèi)任一半徑l處的注漿壓力：

令 l=l1時，p=pw，代入式(20)，可得注漿壓力差與擴散半徑的關(guān)系為：

其中：pw為注漿孔處地下水壓力。

冪律型漿液稠度時間函數(shù)的表達形式不一，阮文軍等[12]通過對冪律型漿液的時變曲線進行函數(shù)擬合得到稠度系數(shù)與時間呈冪指數(shù)變化關(guān)系。本文中為利用前人的冪律型漿液試驗結(jié)果，得到可以解答的壓力時空分布方程，并在不影響盾構(gòu)壁后注漿滲透擴散參數(shù)影響關(guān)系的討論的情況下，采用如下的稠度時間函數(shù)：

式中：c0為k冪律型漿液稠度時間函數(shù)的系數(shù)。

將式(22)代入式(20)～(21)中，可得任一半徑 l處的注漿壓力：

注漿壓力差與擴散半徑的關(guān)系：

冪律型水泥漿液對管片產(chǎn)生的壓力為：

1.5.2不考慮盾構(gòu)管片注漿稠度空間分布不均勻性

不考慮冪律型漿液稠度空間分布不均時，漿液質(zhì)點的稠度只與注漿時間有關(guān)，而與離注漿孔的距離無關(guān)，則任一半徑l處的注漿壓力：

注漿壓力差與擴散半徑的關(guān)系：

冪律型水泥漿液對管片產(chǎn)生的壓力為：

2　相關(guān)參數(shù)確定

冪律型漿液在盾尾壁后滲透擴散中的公式參數(shù)D，φ和r0確定如下：

漿液擴散厚度D為：

式中：λ為注入率；d為盾尾間隙厚度。

冪律型漿液滲透擴散中孔隙率φ是考慮盾構(gòu)壁后空隙與被注土層本身孔隙率后的等效孔隙率η′[6]。

被注土層的孔隙率為：

式中：r為漿液擴散半徑；γ1為被注土體的天然容重；γs為土粒重度；w為土的含水量。

冪律型漿液滲流公式r0可采用如下公式進行確定[13]：

式中：K為水在土層中的滲透系數(shù)；μ為水的黏度。

3　算例分析

某盾構(gòu)管片注漿孔半徑l0=2.5 cm，漿液擴散范圍內(nèi)的土層滲透系數(shù)K=0.01 cm/s，注入率λ=1.5，盾尾間隙d=10 cm，孔隙度η=0.4，注漿孔附近地下水壓力pw=0，注漿速率q=75 L/min，溫度20 ℃時，水的黏度 μ=1.01×10?3(N·s)/m2[6,9,14]。

冪律型水泥漿液流變方程與流變參數(shù)的時變性特征采用楊志全[15]的結(jié)論，水灰比W/C改變時，其冪律型漿液的流變方程也隨之改變，水灰比為0.5，0.6工況下流變方程與流變參數(shù)如表1所示：

表1　冪律型水泥漿液流變方程與流變參數(shù)的時變性特征Table 1　Rheological equation and time-dependent behavior of rheological parameters on exponential fluid

3.1　管片注漿滲透擴散區(qū)內(nèi)稠度時空分布比較

取注漿時間 300 s，將式(29)與式(3)代入式(4)中可得管片注漿滲透擴散半徑l1=1 m，將相關(guān)參數(shù)代入式(8)與(22)中，可得冪律型漿液擴散區(qū)內(nèi)稠度時空分布曲線，如圖3所示。

圖3　冪律型漿液擴散區(qū)內(nèi)稠度空間分布曲線Fig. 3　Spatial distribution curves of consistency in exponential fluid diffusion zone

從圖3可以看出，考慮稠度空間分布不均時，冪律型漿液稠度隨離注漿孔的距離的增加呈非線性增長，這是由于離注漿孔越遠的漿液質(zhì)點有更多的稠度增長時間。并且離注漿孔越遠，稠度增長速率也隨之加快。不考慮稠度空間分布不均時，隨離注漿孔的距離的增加，冪律型漿液稠度為一定值，且不考慮稠度空間分布不均所計算得到的稠度值與考慮稠度空間分布不均所計算得到的稠度值在離注漿孔1 m處(即擴散鋒面)大小相等。

水灰比W/C=0.6的冪律型漿液稠度分布曲線在W/C=0.5的冪律型漿液稠度分布曲線的下方。且考慮稠度空間分布不均(W/C=0.5)時擴散鋒面與注漿孔處的稠度差值是考慮稠度分布不均(W/C=0.6)時擴散鋒面與注漿孔處的稠度差值的2.6倍。說明考慮稠度空間分布不均時，水灰比W/C=0.5的冪律型漿液稠度增長速率比水灰比W/C=0.6的冪律型漿液稠度增長速率快。

3.2　不同的注漿壓力大小

以冪律型漿液的注漿終壓為注漿結(jié)束的標準，不同的注漿壓力下(0.1～0.5 MPa)管片注漿漿液擴散半徑及漿液對管片產(chǎn)生的壓力變化如圖4～5所示。

圖4　冪律型漿液擴散半徑與注漿壓力的關(guān)系曲線Fig. 4　Relation curves between the diffusion radius of exponential fluid and the grouting pressure

從圖4和圖5可以看出，相同水灰比下，考慮冪律型漿液稠度空間分布不均時的擴散半徑及管片所受壓力隨注漿壓力變化的曲線高于不考慮漿液稠度空間分布不均時所得曲線。這是由于考慮漿液稠度空間分布不均時，計算所得黏滯阻力偏小，導致擴散半徑及管片所受壓力偏大。

考慮冪律型漿液稠度空間分布不均，漿液擴散半徑隨注漿壓力的增加呈近似線性增長，管片所受的漿液壓力隨注漿壓力的增大而快速增大，呈較明顯的非線性特征。由此可見，單純的增加注漿壓力雖能保證漿液擴散半徑，但也會導致漿液對管片產(chǎn)生的壓力過大而使管片發(fā)生錯臺、開裂等現(xiàn)象，即在實際工程中不能通過增加注漿壓力來改善注漿效果。

圖5　管片所受壓力與注漿壓力的關(guān)系曲線Fig. 5　Relation curves between segment pressure and grouting pressure

當注漿壓力相同時，水灰比W/C=0.6的冪律型漿液較W/C=0.5有更大的漿液擴散半徑及管片所受壓力。此外，水灰比W/C=0.6的管片所受壓力增加速率大于水灰比 W/C=0.5的管片所受壓力增加速率，而擴散半徑增長速率則較為接近。綜合考慮盾構(gòu)隧道襯砌管片的受力安全，不能單純的增加水灰比來增加漿液擴散半徑，改變注漿效果。

3.3　不同的注漿時間大小

以冪律型漿液的注漿時間為注漿結(jié)束的標準，將式(4)代入式(24)，(25)，(27)和(28)中，不同的注漿時間(0～600 s)下管片注漿壓力及漿液對管片產(chǎn)生的壓力變化如圖6和圖7所示。

從圖6和圖7可以看出，注漿壓力及漿液對管片產(chǎn)生的壓力隨注漿時間的增大而增大。相同水灰比下，不考慮冪律型漿液稠度空間分布不均勻性所得的漿液注漿壓力及管片所受壓力隨注漿時間變化的曲線高于考慮漿液稠度空間分布不均時所得的曲線。這是由于注漿時間與漿液擴散半徑有一一對應關(guān)系，注漿時間為一定值時，考慮漿液稠度空間分布不均時，黏滯阻力偏小，計算所得的注漿壓力和管片所受壓力也隨之減小，這對工程是有利的因素。

圖6　冪律型漿液注漿壓力與注漿時間的關(guān)系曲線Fig. 6　Relation curves between the grouting pressure and the grouting time

圖7　管片所受壓力與注漿時間的關(guān)系曲線Fig. 7　Relation curves between segment pressure and grouting time

考慮冪律型漿液稠度空間分布不均，注漿壓力隨注漿時間的增加而增加，注漿壓力前期增加速度較快，而后逐漸變得緩慢；管片所受的漿液壓力隨注漿的增大而快速增大，呈較明顯的非線性特征。由此可見，單純的增加注漿時間亦會導致漿液對管片產(chǎn)生的壓力過大而使管片發(fā)生錯臺、開裂等現(xiàn)象。

當注漿時間相同時，水灰比W/C=0.6的冪律型漿液較 W/C=0.5有較小的注漿壓力及管片所受壓力。此外，水灰比W/C=0.5時管片所受壓力的增加速率大于水灰比 W/C=0.6時管片所受壓力增加速率，而注漿壓力增長速率則較為接近。

4　結(jié)論

1) 本文以冪律型漿液為研究對象，建立恒定注漿速率條件下管片壁后注漿滲透擴散模型，分別考慮了漿液稠度時空變化與空間稠度不變時的隧道管片注漿漿液滲透擴散規(guī)律，并推導了盾構(gòu)壁后壓力時空分布方程及因注漿造成的管片壓力計算公式。此外對漿液擴散區(qū)內(nèi)稠度時空變化與空間稠度不變的計算結(jié)果進行了相應的比較，說明了盾構(gòu)壁后注漿考慮稠度時空變化的必要性。

2) 分析了以冪律型漿液的注漿終壓為注漿結(jié)束的標準，冪律型漿液稠度空間分布不均時，漿液擴散半徑隨注漿壓力的增加呈近似線性增長，管片所受的漿液壓力隨注漿壓力的增大而快速增大，呈較明顯的非線性特征。當注漿壓力相同時，隨著水灰比的增大，漿液擴散半徑及管片所受壓力也隨之增大。

3) 分析了以冪律型漿液的注漿時間為注漿結(jié)束的標準，冪律型漿液稠度空間分布不均時，注漿壓力隨注漿時間的增加而增加，注漿壓力前期增加速度較快，而后逐漸變得緩慢；管片所受的漿液壓力隨注漿時間的增大而快速增大，呈較明顯的非線性特征。當注漿時間相同時，隨著水灰比的增大，注漿壓力及管片所受壓力隨之減小。綜合考慮盾構(gòu)隧道襯砌管片的受力安全，不能單純的增加或減少水灰比來增加來改變注漿效果。

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