設(shè)置AMD的鐵路鋼橋魯棒控制研究

劉嘉，沈正松，周長超

(1. 武漢理工大學(xué) 道路橋梁與結(jié)構(gòu)工程湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430070；2. 武漢理工大學(xué) 土木工程與建筑學(xué)院，湖北 武漢 430070；3. 青島市市政工程管理處，山東 青島 266000)

鐵路鋼橋是鐵路客運(yùn)交通中的重要設(shè)施，其對當(dāng)前愈加嚴(yán)峻的客流運(yùn)輸形勢起著至關(guān)重要的緩解作用。然而，在大軸重及高速度的列車荷載作用下，鐵路鋼橋的振動(dòng)與疲勞壽命問題日益突出，并因此影響到了其安全性和耐久性。因此，有必要采取理論成熟且控制效果良好的主動(dòng)控制以抑制其振動(dòng)響應(yīng)，但是鐵路鋼橋結(jié)構(gòu)由于其粗大、自由度較多的特點(diǎn)使得該種結(jié)構(gòu)構(gòu)件物理參數(shù)具有不確定性以及易變性從而導(dǎo)致大多數(shù)主動(dòng)控制算法對鐵路鋼橋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)抑制效果并不理想，相對而言，魯棒控制算法能夠有效處理以上的不確定性，因此對采取魯棒控制下鐵路鋼橋的振動(dòng)響應(yīng)抑制效果展開深入研究非常必要。隨著振動(dòng)控制理論的不斷深入，國內(nèi)外學(xué)者對魯棒控制的研究亦取得了令人矚目的成就[1?5]。Oucheriah[6]針對具有時(shí)變時(shí)滯且承受功能特性確定的未知邊界這樣一類不確定動(dòng)力系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一個(gè)自適應(yīng)魯棒控制器，研究表明在與時(shí)滯相關(guān)的矩陣范數(shù)約束滿足的條件下，該控制器所求得的解收斂；Claudio等[7]對裝置MRD半主動(dòng)懸架系統(tǒng)采用 LQG/LTR魯棒控制算法，數(shù)值和試驗(yàn)結(jié)果表明系統(tǒng)的安全性和舒適性得以改善；WANG等[8]針對風(fēng)激勵(lì)下的高層建筑提出了一種魯棒濾波滑?？刂疲⑼ㄟ^對裝置有ATMD的76層建筑在風(fēng)激勵(lì)下的基準(zhǔn)問題應(yīng)用該方法來評估其性能，結(jié)果表明該方法與 LQG和其他滑?？刂品ㄏ啾葘τ诮Y(jié)構(gòu)剛度的不確定性具有更好的魯棒性；Luu等[9]為降低高速鐵路橋梁的共振響應(yīng)，提出了使用 H∞控制算法的半主動(dòng)磁流變阻尼器，為提高該 MR阻尼器控制力的循跡能力引入相應(yīng)的權(quán)函數(shù)，最后通過對具有不確定和時(shí)滯參數(shù)的鐵路橋梁模型控制效果的分析與比較驗(yàn)證所提方法的有效性。劉鵬飛等[10]研究了考慮土-結(jié)構(gòu)相互作用時(shí)橋梁結(jié)構(gòu)的MRD半主動(dòng)振動(dòng)控制，分別采用LQR和H∞控制算法對比分析橋梁響應(yīng)的控制效果，結(jié)果表明在場地條件較差時(shí)，使用 H∞控制算法時(shí)其魯棒性更好，能獲得較好的控制效果；李志軍等[11]針對LQR 主動(dòng)控制算法的缺陷，提出了對結(jié)構(gòu)參數(shù)和外部激勵(lì)的不確定性均有較好適應(yīng)性的魯棒 H∞最優(yōu)控制，結(jié)果表明其效果更好?；袅稚萚12]基于結(jié)構(gòu)參數(shù)的不確定性設(shè)計(jì)了 H∞魯棒控制器，將其應(yīng)用于裝置AMD的兩層結(jié)構(gòu)模型的振動(dòng)臺試驗(yàn)，最終證明了該控制器能有效處理結(jié)構(gòu)的不確定性。綜上所述，雖然魯棒控制理論與實(shí)踐比較成熟，但是對于采用AMD的鐵路鋼橋在列車荷載下的魯棒振動(dòng)控制研究相對較少。為此，對設(shè)置有AMD系統(tǒng)的鐵路鋼橋在不同速度列車荷載作用下使用魯棒控制算法的振動(dòng)特性展開了研究。以某鐵路鋼橋?yàn)楣こ瘫尘?，建立了該橋在裝置AMD系統(tǒng)時(shí)承受列車荷載作用下的受控狀態(tài)方程和魯棒控制算法，同時(shí)，為了后續(xù)的魯棒疲勞延壽控制的深入展開，本文選取橋梁相關(guān)節(jié)點(diǎn)的位移和應(yīng)變作為研究指標(biāo)，然而這兩個(gè)指標(biāo)又具有粗糙性和精確性不匹配等特點(diǎn)，因此本文采用多尺度模型建立了全橋殼體模型以及下弦節(jié)點(diǎn)實(shí)體子模型，研究其在使用未受控制、LQR控制、魯棒控制算法下跨中節(jié)點(diǎn)位移振動(dòng)響應(yīng)和危險(xiǎn)點(diǎn)最大正應(yīng)變的控制效果，得到魯棒控制的優(yōu)勢，進(jìn)而為后續(xù)的魯棒延壽控制做好準(zhǔn)備。

1　鐵路鋼橋魯棒控制理論

1.1　設(shè)置AMD系統(tǒng)的受控狀態(tài)方程

在列車荷載作用下，鐵路鋼橋以豎向振動(dòng)為主，且其跨中振動(dòng)位移最大，所以應(yīng)將AMD系統(tǒng)設(shè)置在跨中，圖1所示為該AMD系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型。在列車豎向荷載F(t)，以及AMD系統(tǒng)提供的控制力U(t)作用下，鐵路鋼橋結(jié)構(gòu)的受控運(yùn)動(dòng)方程可表示為[13]：

圖1　AMD系統(tǒng)模型Fig. 1　AMD system model

式中：M，C和K分別是結(jié)構(gòu)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；X，X˙和X˙分別是結(jié)構(gòu)的位移、速度和加速度向量。Ds和Bs分別表示相應(yīng)的位置向量。

式中：Y(t)為輸出向量；C0是輸出矩陣；D0和 B0是直接傳遞矩陣。

1.2　鐵路鋼橋魯棒控制

使用振型疊加法，則在正規(guī)坐標(biāo)下x=Φq，對方程(1)兩邊同乘TΦ可得[14]：

本文以頻率變化Δω作為不確定參數(shù)進(jìn)行研究，于是根據(jù)式(5)可得其受控下的運(yùn)動(dòng)方程為：

根據(jù)文獻(xiàn)[15]，可知鋼橋結(jié)構(gòu)的受控狀態(tài)方程為：

可得：

式中：ri為第i階頻率的變化參數(shù)；r(t)為對角矩陣，可令于是有：

推論 對系統(tǒng)(8)，存在狀態(tài)反饋-U=GZ，使閉環(huán)系統(tǒng)二次穩(wěn)定的充要條件為：存在一個(gè)常數(shù)ε＞0，使得下面代數(shù)Riccati方程：

如果解存在，則閉環(huán)系統(tǒng)二次穩(wěn)定的狀態(tài)反饋控制律，亦即魯棒控制的控制力為：

對于常數(shù) ε，其為任意小值，本身并無實(shí)際含義，其取值滿足方程(9)使其存在正定對稱解P，采用人為假設(shè)對其初始值進(jìn)行確定，在滿足方程(9)后，代入方程(11)進(jìn)行控制力的求解，由此可知控制后的振動(dòng)狀態(tài)，不斷對ε的取值進(jìn)行調(diào)整以得到優(yōu)良的控制效果，本研究中最終確定的 ε取值為1.0×10?4。

2　魯棒控制算例

2.1　工程背景

以某鐵路鋼橋?yàn)檠芯勘尘?，對不同速度列車荷載作用下使用魯棒控制算法時(shí)其豎向位移振動(dòng)響應(yīng)和下弦節(jié)點(diǎn)最大正應(yīng)變的抑制效果進(jìn)行了研究。該橋主體為焊接鋼桁架結(jié)構(gòu)，總長度為480 m，由四跨組成，各跨跨長均為120 m，高度和寬度分別為14.5 m和13 m，各跨桁架均有10個(gè)節(jié)間，節(jié)間長度為12 m，桁架主跨如圖2所示(圖中限于篇幅只畫出兩跨，對稱兩跨并未畫出)。桁架腹桿為寬翼緣H型鋼，上下弦桿為箱型截面，鋼橋縱橫梁以及上下平聯(lián)等構(gòu)件均采用H型鋼，上下弦節(jié)點(diǎn)為焊接整體式，各桿件與節(jié)點(diǎn)采用螺栓連接，跨中下弦大節(jié)點(diǎn)如圖2所示，其高度為1.5 m，長度3.5 m，板厚40 mm，下弦箱梁截面尺寸為800 mm×800 mm。

2.2　有限元模型

以該橋的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)圖紙為依據(jù)，使用有限元分析軟件ANSYS建立該鐵路鋼桁架橋梁的有限元模型，如圖3所示，模型構(gòu)件均采用實(shí)際尺寸，對該橋梁全橋模型采用shell63殼體單元模擬，模型總單元數(shù)為106 137，而對跨中下弦大節(jié)點(diǎn)采用solid185單元模擬，模型總單元數(shù)為28 834。采用模態(tài)分析法對該結(jié)構(gòu)的振型和自振頻率進(jìn)行求解。

圖2　鋼橋桁架主跨及下弦節(jié)點(diǎn)板示意圖Fig. 2　Diagrammatic sketch of main span of steel bridge truss and lower-chord node plate

圖3　鋼橋整體殼體模型及下弦節(jié)點(diǎn)實(shí)體子模型Fig. 3　Steel bridge integral shell model and lower-chord node entity submodel

2.3　AMD系統(tǒng)設(shè)置

在列車荷載作用下，鐵路鋼橋的豎向振動(dòng)與水平方向上的響應(yīng)相比其反應(yīng)更大，且豎向響應(yīng)最大部位位于每跨跨中部位，所以為減小列車荷載作用下主梁的豎向振動(dòng)位移，在鋼橋每跨跨中布置AMD系統(tǒng)，將跨中兩側(cè)各放置10個(gè)AMD系統(tǒng)，則在四跨主梁中AMD系統(tǒng)的總數(shù)為80個(gè)。參考喻梅等[16?17]結(jié)合鋼橋的工作環(huán)境，對AMD系統(tǒng)采取懸掛式進(jìn)行布置，其立面布置圖如圖4所示。

圖4　AMD系統(tǒng)立面布置圖Fig. 4　Elevation layout of AMD system

2.4　魯棒控制效果

2.4.1參數(shù)選取

由于實(shí)際參數(shù)的不確定性獲取非常困難，為驗(yàn)證魯棒控制的適應(yīng)性，顯示該算法在強(qiáng)烈變化作用下仍有良好的控制效果，所以選取時(shí)間相關(guān)型的正弦函數(shù)表示其變化規(guī)律，表達(dá)式為 r(t)=Aωsin(2π fωt)，式中，對于參數(shù)Aω和fω范圍的確定，到目前為止，并沒有相關(guān)的文獻(xiàn)說明結(jié)構(gòu)的變化幅度和頻率的取值規(guī)律，為了研究的方便以說明魯棒控制的有效性，人為選取較為可能的范圍進(jìn)行分析，因此本文 Aω的取值為 0～0.15，fω的取值為 0～1.0 Hz，為研究fω的取值，可首先對Aω取最大值0.15，因魯棒控制是與LQR控制進(jìn)行比較，所以對正弦式中fω應(yīng)首先研究其變化對 LQR控制性能的影響。圖 5給出了參數(shù)fω在不變和變化時(shí)，采用LQR算法時(shí)鋼橋跨中節(jié)點(diǎn)在列車荷載下的豎向位移響應(yīng)，容易看出，fω不變時(shí)，LQR主動(dòng)控制效果不變，fω發(fā)生變化且取值為 0.6時(shí)，位移響應(yīng)達(dá)到最大值 12.78 mm，LQR控制效果最差。因此，為研究魯棒控制對振動(dòng)響應(yīng)的抑制效果，應(yīng)取fω=0.6進(jìn)行對比分析，于是有r(t)=0.15sin(2π×0.6t)，利用該式可以對LQR主動(dòng)控制以及魯棒控制的效果進(jìn)行分析。鑒于該鐵路鋼橋線路主要用于進(jìn)行貨物的運(yùn)輸，其設(shè)計(jì)時(shí)速為100 km/h，本文為更好地驗(yàn)證魯棒振動(dòng)控制效果的有效性并使所得結(jié)果具有更廣的適用性，使用72，90和108 km/h 3種速度的列車荷載進(jìn)行對比分析并相互驗(yàn)證以獲得預(yù)期的目標(biāo)。

圖5　參數(shù)fω與豎向振動(dòng)位移控制效果的關(guān)系Fig. 5　Relationship between parameter fω and control effect of vertical vibration displacement

2.4.2全橋殼體模型跨中節(jié)點(diǎn)豎向振動(dòng)控制效果

圖6給出了在不確定性r(t)=0.15 sin(2π×0.6t)下，設(shè)置AMD系統(tǒng)的鐵路鋼橋當(dāng)采用魯棒控制算法、LQR主動(dòng)控制算法和不控制時(shí)，在速度為 72 km/h的列車荷載作用下，其跨中節(jié)點(diǎn)豎向位移響應(yīng)的時(shí)程曲線?？梢钥闯?，在列車荷載作用下，該橋梁結(jié)構(gòu)因?yàn)椴捎昧薃MD系統(tǒng)進(jìn)行抑制，2種主動(dòng)控制算法下跨中節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)與原結(jié)構(gòu)的相比均得到明顯的控制，從數(shù)據(jù)上看，使用 LQR主動(dòng)控制算法后跨中節(jié)點(diǎn)豎向位移的最大值由控制前的15.44 mm減少到12.75 mm，而魯棒控制算法下其對應(yīng)的最大值從15.44 mm降低到9.83 mm，二者的控制率分別為17.42%和36.33%。

為了驗(yàn)證魯棒控制的有效性，從平均角度說明魯棒控制的效果，取相應(yīng)位移最大值的均方根(RMS)值進(jìn)行輔助性分析，通過不同算法下的位移時(shí)程曲線可以求得，不受控制、主動(dòng)控制、魯棒控制時(shí)位移最大值對應(yīng)的RMS值分別為8.1，4.6和4.3 mm。

綜上可以看出，在列車荷載作用下，該鐵路鋼橋跨中節(jié)點(diǎn)豎向位移響應(yīng)最大值的魯棒控制效果明顯優(yōu)于LQR主動(dòng)控制，且從RMS值也可以看出魯棒控制效果略優(yōu)于LQR控制。

圖6　跨中節(jié)點(diǎn)豎向振動(dòng)位移時(shí)程曲線Fig. 6　Vertical vibration displacement time history curve of midspan node

圖7　不確定參數(shù)Aω與豎向位移最大值的關(guān)系Fig. 7　Relationship between Aω and maximum value of vertical displacement

對于以上的分析，其不確定性r(t)中Aω取為固定值0.15，為進(jìn)一步說明該鐵路鋼橋在不確定性參數(shù)變化時(shí)魯棒控制的效果優(yōu)于 LQR主動(dòng)控制，所以應(yīng)分析當(dāng) Aω發(fā)生變化時(shí)，該橋梁在 2種主動(dòng)控制算法下跨中節(jié)點(diǎn)豎向位移最大值的變化規(guī)律，選取不確定性參數(shù) r(t)=Aωsin(2π×0.6t)，其中，fω=0.6時(shí)，LQR主動(dòng)控制的效果最差，作為對比，fω取為固定值0.6，而對于Aω其變化范圍是0～0.15，可將其變化幅度取為0.03進(jìn)行分析。圖7給出了兩種主動(dòng)控制算法下該鐵路鋼橋跨中節(jié)點(diǎn)豎向位移最大值與Aω之間的變化規(guī)律，容易看出：隨著Aω的增大，2種主動(dòng)控制算法下的最大位移均不斷增加，在 LQR主動(dòng)控制算法下跨中節(jié)點(diǎn)豎向最大位移變化范圍是10.26～12.75，變化幅度平均為0.50，而在魯棒控制算法下對應(yīng)的變化范圍是7.99～9.83，變化幅度平均為0.37，且在同一Aω下，LQR控制下的最大位移始終大于魯棒控制的最大位移，由此可以說明魯棒控制的效果優(yōu)于 LQR主動(dòng)控制，且之前對于豎向振動(dòng)位移的分析選取 Aω=0.15是符合邏輯的。

2.4.3下弦大節(jié)點(diǎn)實(shí)體子模型危險(xiǎn)點(diǎn)正應(yīng)變控制效果

為了驗(yàn)證魯棒控制效果的正確性，同時(shí)為了后續(xù)的魯棒延壽控制研究做好準(zhǔn)備，對該鐵路鋼橋下弦大節(jié)點(diǎn)實(shí)體子模型中危險(xiǎn)點(diǎn)使用魯棒控制算法、LQR主動(dòng)控制算法和不控制時(shí)的最大正應(yīng)變狀態(tài)進(jìn)行分析，以上一節(jié)作為參照，首先取不確定性r(t)=0.15sin(2π×0.6t)，圖8給出了車速為72 km/h下2種控制算法下最大正應(yīng)變時(shí)程曲線。容易看出，相比于不受控制的情況，2種主動(dòng)控制算法下危險(xiǎn)點(diǎn)最大正應(yīng)變均得到一定的抑制效果。具體而言，當(dāng)不受控制時(shí)，其最大值為 5.54×10?4，最小值為3.28×10?4，使用LQR主動(dòng)控制算法時(shí)其最大值為5.35×10?4，最小值為 3.74×10-4，而魯棒控制算法下最大值為 5.17×10?4，最小值為 3.53×10?4。通過不同算法下的最大正應(yīng)變時(shí)程曲線可以求得，不受控制、主動(dòng)控制、魯棒控制時(shí)最大正應(yīng)變對應(yīng)的RMS 值分別為 4.69×10?4，4.61×10?4和 4.56×10?4。對比可知，對于危險(xiǎn)點(diǎn)最大正應(yīng)變的控制，魯棒控制的效果比LQR主動(dòng)控制更好。

與上一節(jié)的分析內(nèi)容一致，為了進(jìn)一步說明該鐵路鋼橋在不確定性參數(shù)變化時(shí)其下弦大節(jié)點(diǎn)實(shí)體子模型危險(xiǎn)點(diǎn)最大正應(yīng)變的魯棒控制效果優(yōu)于LQR主動(dòng)控制，仍需對Aω的變化進(jìn)行分析，其變化范圍是0～0.15，則變化幅度仍取為0.03。圖9給出了2種主動(dòng)控制算法下危險(xiǎn)點(diǎn)最大正應(yīng)變的最大值與Aω之間的變化規(guī)律，容易看出：隨著Aω的變化，2種主動(dòng)控制算法下正應(yīng)變最大值均不斷增加，在 LQR主動(dòng)控制算法下正應(yīng)變最大值的變化范圍是 3.75×10?4～5.35×10?4，平均變化幅度為 0.32，而在魯棒控制算法下對應(yīng)的變化范圍是3.67×10?4～5.17×10?4，平均變化幅度為 0.30，且在同一Aω下，LQR控制下的正應(yīng)變最大值始終大于魯棒控制下的最大值，所以魯棒控制的效果優(yōu)于LQR主動(dòng)控制，且本節(jié)開始對于最大正應(yīng)變控制的分析中選取Aω=0.15是符合邏輯的。

圖8　臨界面最大正應(yīng)變時(shí)程曲線Fig. 8　Maximum normal strain time history curve of critical plane

圖9　不確定參數(shù)Aω與正應(yīng)變最大值的關(guān)系Fig. 9　Relationship between parameter Aω and maximum of normal strain

2.4.4不同車速下的控制效果

圖10給出了在不確定性r(t)=0.15sin(2π×0.6t)下，設(shè)置AMD系統(tǒng)的鐵路鋼橋當(dāng)采用魯棒控制算法、LQR主動(dòng)控制算法和不控制時(shí)，在90 km/h和108 km/h(圖中由上至下)2種不同速度的列車荷載作用下，其跨中節(jié)點(diǎn)豎向位移響應(yīng)的時(shí)程曲線?？梢钥闯?，在不同車速荷載下，該橋梁結(jié)構(gòu)因?yàn)椴捎昧薃MD系統(tǒng)進(jìn)行抑制，2種主動(dòng)控制算法下跨中節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)與原結(jié)構(gòu)的相比均得到明顯的控制，從數(shù)據(jù)上看，當(dāng)車速為90 km/h時(shí)，使用LQR主動(dòng)控制算法后相對應(yīng)的最大值由控制前的15.57 mm減少到 12.66 mm，而魯棒控制算法下該最大值從15.57 mm降低到 9.81 mm，二者的控制率分別為18.69%和36.99%；當(dāng)車速為108 km/h時(shí)，使用LQR主動(dòng)控制算法后對應(yīng)的最大值由控制前的 15.47 mm減少到12.75 mm，而魯棒控制算法下該最大值從15.47 mm降低到9.55 mm，二者的控制率分別為17.58%和38.27%。通過以上對比分析可知，對于參數(shù)不確定的鐵路鋼橋承受不同時(shí)速的列車荷載時(shí)，其節(jié)點(diǎn)豎向位移的響應(yīng)在魯棒控制算法下的控制效果明顯優(yōu)于LQR主動(dòng)控制；結(jié)合圖6可知，對于不同時(shí)速下的列車荷載作用，魯棒控制的效果相差較小。

圖10　不同車速下跨中節(jié)點(diǎn)豎向振動(dòng)位移時(shí)程曲線Fig. 10　Time history curve of vertical vibration displacement node under different vehicle speeds

圖11給出了在不確定性r(t)=0.15sin(2π×0.6t)下，設(shè)置AMD系統(tǒng)的鐵路鋼橋當(dāng)采用魯棒控制算法、LQR主動(dòng)控制算法和不控制時(shí)，在90 km/h和108 km/h(圖中由上至下)2種不同速度的列車荷載作用下，危險(xiǎn)點(diǎn)正應(yīng)變最大值的時(shí)程曲線。容易看出，當(dāng)車速為90 km/h時(shí)，相應(yīng)的最大正應(yīng)變在不受控制時(shí)，其最大值為5.55×10?4，最小值為3.25×10?4，使用LQR主動(dòng)控制算法時(shí)其最大值為5.35×10?4，最小值為 3.74×10?4，而魯棒控制算法下最大值為 5.17×10?4，最小值為 3.54×10?4；當(dāng)車速為108 km/h時(shí),該最大正應(yīng)變不受控制時(shí)，其最大值為5.53×10?4，最小值為 3.31×10?4，使用 LQR 主動(dòng)控制算法時(shí)其最大值為 5.35×10?4，最小值為3.74×10?4，而魯棒控制算法下最大值為 5.17×10-4，最小值為3.53×10?4。對比可知：LQR主動(dòng)控制與魯棒控制算法均能在一定程度上抑制危險(xiǎn)點(diǎn)最大正應(yīng)變，且魯棒控制相比 LQR主動(dòng)控制而言，控制效果更好；結(jié)合圖8可知，魯棒控制的效果對速度變化不敏感。

圖11　不同車速下臨界面最大正應(yīng)變時(shí)程曲線Fig. 11　Time history curve of maximum of critical plane positive strain under different vehicle speeds

3　結(jié)論

1) 對于參數(shù)不確定的鐵路鋼橋，應(yīng)采取魯棒控制以應(yīng)對其在列車荷載作用下產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)。

2) 在列車荷載作用下，LQR主動(dòng)控制與魯棒控制均能夠有效抑制鋼橋節(jié)點(diǎn)的豎向位移以及下弦大節(jié)點(diǎn)危險(xiǎn)點(diǎn)的最大正應(yīng)變，但魯棒控制的效果明顯比 LQR主動(dòng)控制的效果更好，而且其效果對速度變化不敏感。

3) 本文所做的研究工作對后續(xù)的魯棒疲勞延壽的研究具有重要的先導(dǎo)與準(zhǔn)備作用，相關(guān)設(shè)置AMD的鐵路鋼橋疲勞裂紋萌生魯棒延壽控制的研究將另文專述。

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