理想和濾子的S-收斂

潘　偉，徐振國(guó)

(1.牡丹江師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，黑龍江 牡丹江 157000； 2.國(guó)家科技基礎(chǔ)條件平臺(tái)中心，北京 100862)

1　預(yù)備知識(shí)

收斂理論不僅在拓?fù)浜头治龇矫嬗兄匾膽?yīng)用，在推理和其他學(xué)科中也有重要應(yīng)用.文獻(xiàn)[1]在I-拓?fù)渲幸肓司哂虚_(kāi)創(chuàng)性的重域概念，由此確立了完整的網(wǎng)的Moore-Smith收斂理論.王國(guó)俊[2]借助分子的閉遠(yuǎn)域?qū)⒃摾碚撏茝V到L-拓?fù)渲?隨后又出現(xiàn)了多種收斂理論.[3-7]文獻(xiàn)[8]引入了半開(kāi)L-集、半閉L-集和半連續(xù)映射的概念.基于文獻(xiàn)[2]的思想，借助于文獻(xiàn)[8]中半閉L-集概念并利用半閉遠(yuǎn)域，本文引入了理想的S-極限點(diǎn)、S-聚點(diǎn)，濾子的S-極限點(diǎn)、S-聚點(diǎn)等概念，并給出了網(wǎng)的S-極限點(diǎn)、S-聚點(diǎn)，理想的S-極限點(diǎn)、S-聚點(diǎn)和濾子的S-極限點(diǎn)、S-聚點(diǎn)之間的關(guān)系，確立了理想和濾子的S-收斂理論.

定義1.1[8]設(shè)(X，τ)是L-拓?fù)淇臻g，A∈LX.則：A稱(chēng)為半開(kāi)L-集，當(dāng)且僅當(dāng)A≤cl(int(A))；A稱(chēng)為半閉L-集，當(dāng)且僅當(dāng)int(cl(A))≤A.記LX中所有半開(kāi)L-集的集合為SO(X)，所有半閉L-集的集合為SC(X).

定義1.2[8]令(X，τ)是L-拓?fù)淇臻g，A∈LX.則：scl(A)=∧{B|B≥A，B是半閉L-集}；sint(A)=∨{B|B≤A，B是半開(kāi)L-集}.

定義1.4[10]Γ?LX稱(chēng)為是X上的濾子，如果：(1)P1∈Γ，P2≥P1意味著P2∈Γ；(2)P1，P2∈Γ意味著P1∧P2∈Γ.一個(gè)濾子Γ稱(chēng)為超濾子，如果?！?.

定義1.5[2]設(shè)(X，≤)是偏序集，a∈X，A?X，規(guī)定↑a={x∈X|a≤x}，↑A=∪{↑a|a∈A}.當(dāng)A=↑A時(shí)，A稱(chēng)為上集；若對(duì)A中任意兩個(gè)元素a，b，?c∈A使得a≤c，b≤c，則稱(chēng)A為上定向集.對(duì)偶地，可以定義下集與下定向集.

定義1.6[2]設(shè)L是完備格，I是L的非空子集.若I是上定向集且1∈I，則稱(chēng)I為L(zhǎng)中的理想基.此外若I是下集，則稱(chēng)I為L(zhǎng)的理想.

2　理想的S-收斂

證明簡(jiǎn)單，故略去.

證明令P∈ηS(xλ)，則由ηS(xλ)?I且I是下集，有G≤P，所以xλ是G∈I的S-附著點(diǎn)，從而xλ≤scl(G).

證明令P∈ηS(xλ)，則ηS(xλ)?I，從而P∈I.因?yàn)镮是下集，有G-x1≤P，所以G≤P∨xG(x).特別地，對(duì)每一個(gè)xμ∈M(IX)滿足xλ≤xμ≤P，有G≤P∨xμ，因此xλ是G中S-聚點(diǎn).

定理2.5令(X，τ)是L-空間，I是LX中理想.則limSI和adSI是半閉L-集.

該結(jié)論證明較簡(jiǎn)單，此處略去.

3　濾子的S-收斂

證明由于結(jié)論(2)可以由結(jié)論(1)推導(dǎo)出來(lái)，結(jié)論(5)和(6)的證明類(lèi)似于定理2.4的證明，因此只證明結(jié)論(1)和(3).

定義3.3令(X，τ)是L-空間，Γ，Φ是LX中超濾子，e∈M(LX).稱(chēng)Φ比Γ細(xì)(或Γ比Φ粗)，如果Γ?Φ.

此定理的證明較為簡(jiǎn)單，此處略去.

4　網(wǎng)、理想和濾子之間的關(guān)系

定義4.1[10]設(shè)(X，τ)是L-空間.則：

(1) 若I是LX中理想，定義D(I)={(e，G)|e∈M(LX)，G∈I，e≤G}.對(duì)于D(I)中的點(diǎn)(e1，G1)，(e2，G2)，定義(e1，G1)≤(e2，G2)當(dāng)且僅當(dāng)G1≤G2.那么(G(I)，≤)是定向集，S(I)={S(I)(e，G)=e|(e，G)∈D(I)}是LX中的網(wǎng)，稱(chēng)為由I誘導(dǎo)的網(wǎng).

(2) 若N是LX中網(wǎng)，那么I(N)={G∈LX|N最終不在G中}是LX中理想，稱(chēng)為由N誘導(dǎo)的理想.

(4) 令N是LX中網(wǎng)，那么Γ(N)={G∈LX|N最終和G相重}是LX中濾子，稱(chēng)為由N誘導(dǎo)的濾子.

證明結(jié)論(1)的證明較簡(jiǎn)單故略去.

根據(jù)《扎賚特旗國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展第十二個(gè)五年規(guī)劃綱要》，對(duì)2015年區(qū)域內(nèi)各行業(yè)需水進(jìn)行預(yù)測(cè)（見(jiàn)表3）。由表3可見(jiàn)，項(xiàng)目區(qū)地下水可開(kāi)采量能夠滿足節(jié)水增糧行動(dòng)項(xiàng)目對(duì)地下水的需求。

[參考文獻(xiàn)]

[1]PU B M，LIU Y M.Fuzzy topology I：neighborhood structure of a fuzzy point and Moore-Smith convergence[J].J Math Anal Appl，1980，765：71-99.

[2]王國(guó)俊.L-fuzzy拓?fù)淇臻g理論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社，1988：1-428.

[3]BAI S Z.Q-convergence of fuzzy nets and weak separation axioms in fuzzy lattices[J].Fuzzy Sets and Systems，1997，88：379-386.

[4]GEORGIOU D N，PAPADOPOULOS B K.On fuzzyθ-convergences[J].Fuzzy Sets and Systems，2000，116：385-399.

[5]SHI F G，ZHENG C Y.O-convergence of fuzzy nets and its applications[J].Fuzzy Sets and Systems，2003，140：499-507.

[6]YANG X F，LI S G.Net-theoretical convergence in (L，M)-fuzzy cotopological spaces[J].Fuzzy Sets and Systems，2012，204：53-65.

[7]PANG B.On (L，M)-fuzzy convergence spaces[J].Fuzzy Sets and Systems，2014，238：46-70.

[8]AZAD K K.On fuzzy semi-continuity fuzzy almost continuity and fuzzy weakly continuity [J].Journal of Mathematical Analysis and Applications，1981，82：14-32.

[9]GIERZ G，HOFMANN K H，KEIMEL K.A compendium of continuous lattices[M].Berlin：Springer Verlag，1980：1-371.

[10]ZHAO D S.TheN-compactness inL-topological spaces[J].J Math Anal Appl，1987，128：64-79.