探討高中數(shù)學數(shù)列試題的解題方法與技巧

馬海生

(陜西省榆林市靖邊中學 718500)

一、什么是“數(shù)列”

“數(shù)列”是指按照一定次序進行排列的一列數(shù).其中，數(shù)列中的每一個數(shù)稱為這個數(shù)列的“項”，排在第一位的數(shù)叫做這個數(shù)列的“首項”(也叫第一項)，排在第二位叫做第二項，以此類推，排在第n位稱之為第n項，通常以an表示.

二、探討高中數(shù)學數(shù)列試題解題方法及技巧必要性

數(shù)列作為高中生數(shù)學高考重要考查內容，目前已受到廣泛關注.教師對于高中數(shù)列知識點的教授，不能僅局限于使學生了解其理論概念，更應該使學生通過一定技巧與方法對習題進行透徹的研究，以更好地理解數(shù)列教學內容，提升自身綜合解題能力.

三、有關高中數(shù)學數(shù)列解題方法與技巧具體研究

1.有關數(shù)列基本概念及基礎性質的考查

(1)直接運用數(shù)列通項及求和公式.對于此種題目，通常沒有特殊解題技巧，需要學生對基本數(shù)列概念和相關公式進行熟悉掌握，能夠在審題之后迅速利用公式進行運算.因此，教師在講授數(shù)列知識內容時，應強調學生對數(shù)列基本概念及公式的理解掌握，使學生有一個良好的知識積累.

(2)有關數(shù)列基本性質的考查.在歷年數(shù)學高考中，都考查了學生對于數(shù)列基本性質的理解.高考試題中通常以變換說法的形式，考查學生對數(shù)列基礎性質的理解程度以及能否靈活運用，因此，教師在教學中，應注意對數(shù)列性質進行推導演繹，以幫助學生更好地理解和運用.

2.有關數(shù)列通項公式的考查

(1)合并求和法：在數(shù)列試題中，有一些較為復雜和特殊的數(shù)列，需要在解題過程中對數(shù)列進行一定的整合工作，才能從中發(fā)現(xiàn)其特殊性.因此，在進行這一類試題的學習中，教師應引導學生化難為易，找出試題中隱含的組合項并求出特殊項，進行求和，然后再進行整體求和，解決題目.

(2)分組求和法：在許多數(shù)列試題中，有一些數(shù)列本身并不是我們常見的等差數(shù)列或等比數(shù)列，需要學生在解題過程中進行數(shù)列拆分，使原數(shù)列拆分為幾個不同的等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后根據(jù)不同數(shù)列應用不同的求和方法進行求和.

例如：設數(shù)列{an}滿足a1=2,an+1-an=3×2n-1.

(1)求數(shù)列{an}的通項公式;

(2)令bn=nan,求數(shù)列{bn}的前n項和Sn.

通過審題可知，此題為遞推求和問題，第一問中，通過累加法求數(shù)列{an}通項公式，第二問中則運用了分組求和法進行求和.

具體解題過程為：(1)an+1=[(an+1-an)+(an-an-1)+…+(a2-a1)]+a1=3(22n-1+22n-3+…+2)+2=22(n+1)-1.而a1=2,故數(shù)列的通項公式為an=22n-1.

(2)由bn=nan可得，Sn=1×2+2×23+3×25+…+n×22n-1①.

從而22×Sn=1×23+2×25+3×27+…+n×22n+1②.

①-②，可得(1-22)Sn=2+23+25+…+22n-1-n22n+1.即Sn=1/9[(3n-1)22n+1+2].

錯位相減法：近年來數(shù)學高考試題中，均考察了學生對錯位相減法的掌握及運用能力.主要是在等差或等比數(shù)列求和中得以體現(xiàn).

例如:設數(shù)列an為等比數(shù)列，a1=1,a2=3.

(1)求最小的自然數(shù)n,使an≥2007;

(2)求和：T2n=1/a1-2/a2+3/a3-…-2n/a2n.

由題干明顯可知此題主要考查錯位相減法，具體解題步驟為：

(1)有已知條件可得，an=1×(a2/a1)n-1=3n-1.因為36<2007<37,所以使原不等式成立的最小n為n=8.

(2)因為T2n=1/1-2/3+3/32-4/33+…-2n/32n-1,……①

1/3T2n=1/3-2/32+3/33-4/34+…+(2n-1)/32n-1-2n/32n,……②

①+②得：4/3T2n=1-1/3+1/32-1/33+…-1/32n-1-2n/32n=(1-1/32n)/(1+1/3)-2n/32n=1/4(3×32n-3-8n)×32n.

所以=1/16(32n+2-9-24n)×32n.

3.有關傳統(tǒng)數(shù)列題型考查

對于傳統(tǒng)數(shù)列考查題型，在傳統(tǒng)高中數(shù)學課堂上，教師對于習題的講解多為灌輸式講解，使學生產生正確的解題思路和解題方法.然而，對于高中生而言，最重要的還是依靠自身的努力，在對數(shù)列基本概念和基礎知識掌握扎實的前提下，通過進行大量習題的演練，尋求其中所蘊含的解題技巧和方法.對于許多傳統(tǒng)數(shù)列題型，一般不會存在題型轉換等較為復雜的問題，命題人一般采用直接提問的方式，學生只要對基本概念和公式熟練掌握，就能很好地完成題目.

4.有關經(jīng)典數(shù)列題型考查

面對許多經(jīng)典數(shù)列題型，在新課改要求下，教師應合理改進教育理念，使學生明白數(shù)列知識在數(shù)學科學發(fā)展史上的重要作用，幫助學生樹立正確的數(shù)學價值觀念，在傳授知識的同時，也應體現(xiàn)知識的文化價值.在許多數(shù)列知識講授中，都包含著許多較為深層次的數(shù)學背景，如斐波那契數(shù)列、楊輝三角等.

總而言之，高中數(shù)學數(shù)列知識作為學生學習過程中的重點難點以及數(shù)學高考必考點，應充分受到高中數(shù)學教師重視.學生可以通過研究一些叫深層次的習題進行數(shù)列知識深化練習，循序漸進，最終實現(xiàn)學好數(shù)列的最終目的，進一步提高數(shù)列知識學習水平.