論初中生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的培養(yǎng)

王瀟雅，夏吾才讓

王仲春教授認為，數(shù)學(xué)邏輯思維是指人類關(guān)于數(shù)學(xué)對象的理性認識過程，包括應(yīng)用數(shù)學(xué)具體解決各種實際問題的思考過程.［1］特級教師張乃達經(jīng)過多年教學(xué)實踐對數(shù)學(xué)邏輯思維的理解，是以數(shù)學(xué)問題為載體，通過發(fā)現(xiàn)問題、解決問題的形式，達到對現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系本質(zhì)的一般性認識的思維過程.［2］本文將數(shù)學(xué)邏輯思維界定為一種嚴(yán)密的理性思維能力，它以數(shù)學(xué)哲學(xué)為理論基礎(chǔ)，通過分析、綜合、歸納、演繹、類比等方法進行推理的過程，并在整個過程中表現(xiàn)出極強的抽象化、系統(tǒng)化特征，是數(shù)學(xué)思維能力的核心.

1　數(shù)學(xué)邏輯思維的作用

數(shù)學(xué)邏輯思維的形成就是使學(xué)生能夠在頭腦中自覺地進行邏輯的建構(gòu)，遇到數(shù)學(xué)問題能選擇合適的數(shù)學(xué)方法求解，能將新舊數(shù)學(xué)知識相結(jié)合形成知識塊，能夠?qū)?shù)學(xué)信息進行高效的檢索，學(xué)會合情推理，最后能將數(shù)學(xué)知識合理地應(yīng)用到現(xiàn)實生活的過程.

初中階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要較強的空間思維與轉(zhuǎn)換思維的能力，而邏輯思維恰恰扮演了這些思想的基礎(chǔ)，它以固有的抽象性、條理性及高度變通性對數(shù)學(xué)知識進行加工整理，使得思維在不同空間水平及反應(yīng)速度上得到了提升，從而促進了空間思維與轉(zhuǎn)換思維的形成.并且，通過反復(fù)的數(shù)學(xué)練習(xí)，在提高空間思維與轉(zhuǎn)換思維水平的同時也反作用于整體邏輯思維能力的增強，它們是相互作用、共同存在的.因此，數(shù)學(xué)邏輯思維對于初中生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)有著重要作用.

數(shù)學(xué)邏輯思維的形成還有著應(yīng)用數(shù)學(xué)以外的作用，即培養(yǎng)理性思想.學(xué)生步入社會后，在實際生活中可能很少使用數(shù)學(xué)公理化方法解決問題，而怎樣能夠有條理、有邏輯地行為處事，這種數(shù)學(xué)思想與方法會自覺地成為他們解決問題的核心，即理性行為的一種手段.因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中尤其要注重邏輯思維的培養(yǎng)，它不是在數(shù)學(xué)教育之外單獨的教育，而是貫穿于數(shù)學(xué)教與學(xué)過程中形成的一種數(shù)學(xué)思想.

2　反思數(shù)學(xué)思維培養(yǎng)中存在的問題

2.1　忽視學(xué)生思維差異，教學(xué)方式缺乏針對性

初中生處于形式運算發(fā)展的階段［3］，能夠脫離具體事物進行大腦的邏輯性假設(shè)，洞察事物內(nèi)部的一致性或邏輯聯(lián)系.這是每個學(xué)生都會經(jīng)歷的認知發(fā)展階段，但不是每個學(xué)生都能適時地進入相對應(yīng)的階段，因此就會出現(xiàn)同一班的學(xué)生進行不同階段思維活動的現(xiàn)象.在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師可能會由于學(xué)生數(shù)量較多而不能考慮到每個人的邏輯思維差異，教學(xué)上明顯表現(xiàn)為刻板劃一性.因而，導(dǎo)致認知水平強的學(xué)生能很快地融入數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，較好地形成邏輯思維能力，而認知水平相對落后的學(xué)生，在邏輯思維的轉(zhuǎn)換和反應(yīng)上相對較弱，不能很快地進行形式運算.例如，在學(xué)習(xí)了三角形、四邊形的內(nèi)角和求解后，邏輯思維較強的學(xué)生就會容易歸納出正多邊形的內(nèi)角和公式（n-2)×180°，而邏輯思維相對較弱的學(xué)生可能還需要教師進行一步步的講解才能掌握.

傳統(tǒng)教學(xué)采用“灌輸式”“填鴨式”教學(xué)方式，并沒有完全與初中生的身心發(fā)展特點緊密結(jié)合，沒有較好地遵循因材施教的原則.因此，由于教師的教學(xué)方式缺乏針對性及過于傳統(tǒng)性，可能會導(dǎo)致學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的止步不前.

2.2　學(xué)生思維定勢的消極影響

思維定勢可以理解為人的思維活動在過去知識經(jīng)驗影響下，心理上處于一種準(zhǔn)備狀態(tài)，在解決當(dāng)前問題時經(jīng)常有一定的傾向性，從而決定后繼活動的趨勢.合理地使用思維定勢可以通過類比建立相似問題間的聯(lián)系，把未知轉(zhuǎn)變成已知條件解決問題.而不適當(dāng)?shù)乃季S定勢，仍會讓人用習(xí)慣的方式解決不同的問題，特別是對于一些形似而質(zhì)異的問題，思維定勢往往會給解題者較大的迷惑性.初中生的學(xué)習(xí)，特別是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，大多通過操作模仿完成，這便于數(shù)學(xué)思維定勢的形成，但難以將知識靈活應(yīng)用、舉一反三，即便形成了一定的邏輯思維能力，也會缺乏較強的應(yīng)用能力.例如，化簡，由于受分?jǐn)?shù)約分運算思維定勢的影響，學(xué)生會錯誤的化簡為

2.3　數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維與邏輯思維的“矛盾”對教學(xué)的影響

在數(shù)學(xué)發(fā)展中形成的問題——“策略智慧”與“邏輯刻板”之間的矛盾，即數(shù)學(xué)在發(fā)展中需要創(chuàng)造性思維與發(fā)散思維，而數(shù)學(xué)在表達上又強調(diào)條理和邏輯.這種矛盾的形成使得人們錯誤地認為，創(chuàng)造性思維的發(fā)展就要摒棄數(shù)學(xué)邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)與刻板性.通過查閱文獻，我們發(fā)現(xiàn)，在新課改的大力倡導(dǎo)下，初中數(shù)學(xué)教師開始更多注重學(xué)生創(chuàng)造思維的發(fā)展，將邏輯思維視為思維狹隘的象征.他們可能會為了使學(xué)生能夠在學(xué)習(xí)上進行創(chuàng)新而簡化數(shù)學(xué)本身的邏輯關(guān)系，減弱了該有的嚴(yán)謹(jǐn)性，卻忽視了邏輯思維本身的創(chuàng)造性，它既是創(chuàng)新思維的出發(fā)點，又是其歸宿和工具.

3　數(shù)學(xué)邏輯思維能力的培養(yǎng)途徑

3.1　形成問題意識，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力

數(shù)學(xué)的核心在于問題的發(fā)現(xiàn)，而數(shù)學(xué)的發(fā)展在于問題的解決.問題的不斷提出與解決有利于提高學(xué)生思維的活躍性，培養(yǎng)學(xué)生的求知心理，增強學(xué)生的自我效能感.教師要注重培養(yǎng)初中生的問題意識，在質(zhì)疑中由表及里、由淺入深厘清數(shù)學(xué)問題，形成數(shù)學(xué)邏輯思維，建構(gòu)數(shù)學(xué)知識體系.

案例1在學(xué)習(xí)一元二次方程求解后，通過鞏固練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的問題意識.

分析：師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元二次方程的求解，誰能告訴我一共有幾種求解方法？

生：四種，有配方法、公式法、因式分解法與開平方法.

師：對，下面我們來看這樣一道題，已知關(guān)于x的方程（m-2)x2-2x+1=0有實根，則m的取值范圍是什么？我的求解過程是這樣的，因為m-2≠0，以及 a2-4ac=4-4(m-2)≥0，所以m的取值范圍為m≤3，且m≠2.

生：這個結(jié)果不正確.

師：為什么呢？計算沒有錯誤啊.

生：因為題目只是說方程有實根，并沒有說有幾個實根.所以兩種情況，第一種是此方程為一元二次方程時，解為m≤3,且m≠2；第二種情況是此方程為一元一次方程時，m-2=0,，有實根.綜上，m≤3.

師：同學(xué)們解答得非常正確，我們在思考問題時，要從宏觀角度出發(fā)，全面地思考問題，想一切可能的結(jié)果進行一一驗證，再下結(jié)論.

通過培養(yǎng)學(xué)生的問題意識與質(zhì)疑精神，運用啟發(fā)式教學(xué)法，不僅可以以問題為啟發(fā)的基點，也可以用問題作為教學(xué)的結(jié)束，轉(zhuǎn)變成學(xué)生獨立思考的過程，最終促進問題意識的形成.［4］此外，數(shù)學(xué)邏輯思維的抽象性要求學(xué)生不僅能夠在頭腦中用內(nèi)部語言進行知識的重組，而且能夠用外部語言進行知識的概述.綜上，問題意識能夠促進學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維的形成，同時，數(shù)學(xué)邏輯思維能力的提升也會反作用于數(shù)學(xué)問題的理解.

3.2　利用歸納法，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力

歸納法源于歸納推理，是其思維的結(jié)果是培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯思維的主要手段.

案例2是否存在a、b、c使得等式

假設(shè)存在a、b、c使題設(shè)的等式成立.這時令 n=1,2,3，有，于是得出a=3,b=11,c=10.則對n=1,2,3下面的等式成立

記Sn=1·22+2·32+…+n·(n+1)2，設(shè)n=k時上式成立，即那么

即等式對n=k+1也成立.

綜上所述，當(dāng)a=3，b=11,c=10時，題設(shè)對一切自然數(shù)n均成立.

歸納法就是把個體的本質(zhì)特征提取出來，進行普遍推廣應(yīng)用，從而把個性進行共性化的過程.以上題為例，在解題過程中，運用了分析（找聯(lián)系、抓本質(zhì)）、假設(shè)、綜合、歸納、演繹的方法，從而得出結(jié)論.它是以歸納法為主，其他方法為輔，共同促進學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的發(fā)展.

3.3　建立數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力

初中生建立數(shù)學(xué)模型的過程就是提取已知條件，通過與問題之間的關(guān)聯(lián)，以數(shù)字為基點，搭建圖形，轉(zhuǎn)換成幾何求解的過程.這種以分析概括、形式轉(zhuǎn)換進行思維的過程，也是鍛煉數(shù)學(xué)邏輯思維能力的過程.

案例3某商場準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把傾斜角由原來的40°減至35°，已知原樓梯長4m，調(diào)整后的樓梯會加長多少米？（結(jié)果精確到0.01m）

針對該問題，可以采用建立圖形的方法求解，圖形如圖1所示.

圖1　樓梯長度變化圖

我們可以把問題轉(zhuǎn)換成已知 ∠C=35°,AD=4m,求AC-AD.

以上就是使用了建模的方法，將文字表述轉(zhuǎn)換成圖形求解，圖形的解也就是問題的解.看似簡單，其中卻包含了觀察、分析、轉(zhuǎn)換、類比、作圖、求解的過程.這樣一種層層遞進，根據(jù)條件之間的邏輯關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型解決問題的方式，也是培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的另一種途徑.

3.4　合理使用信息技術(shù)，有效培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力

中學(xué)的課堂中，多媒體已經(jīng)成為必備的輔助工具，這種以動態(tài)演示的形式展現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容的教學(xué)模式，既能方便教師備課，又能吸引學(xué)生注意，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，成為教師們的“得力助手”.但是相對的，多媒體演示以直接呈現(xiàn)解題過程與結(jié)果的方式，簡化了教師的教學(xué)操作，同時也簡化了學(xué)生邏輯思考的過程，造成學(xué)生脫離了具體形象就無從下手的狀況.合理使用信息技術(shù)進行教學(xué)，對于學(xué)生邏輯思維的培養(yǎng)大有幫助，它能幫助學(xué)生建立知識間的聯(lián)系，促使學(xué)生達到頓悟狀態(tài)，提供學(xué)生問題解決的方向.

多媒體導(dǎo)課能夠激發(fā)學(xué)生的積極思維，縮短學(xué)生進入學(xué)習(xí)情境的時間.在教學(xué)中以信息技術(shù)為媒介，啟發(fā)式教學(xué)為手段，將觀察、分析、比較、綜合、概括運用在教學(xué)的過程中，逐步引導(dǎo)學(xué)生歸納出“垂直平分線”的定義，整個過程要注意遵守“開而弗達”的原則.多媒體教學(xué)以一種更加直觀的方式提升學(xué)生的邏輯思維能力，它可以將以上的問題式、歸納式、建模式的培養(yǎng)方法都納入到自身體系中，通過教師靈活運用，共同作用于學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的培養(yǎng).

最后，關(guān)注初中生數(shù)學(xué)邏輯思維能力的培養(yǎng)，除了其培養(yǎng)過程外，還要對階段性成果進行及時的反饋.這個過程僅僅是穿插在數(shù)學(xué)教學(xué)活動中就可以進行，不一定是單獨的教育活動.此外，改變傳統(tǒng)的單一以成績作為評價載體的形式，轉(zhuǎn)為采用定性與定量相結(jié)合的方式進行教學(xué)評價.在上課時，可以根據(jù)學(xué)生回答問題的情況，判斷學(xué)生思維的靈活性；根據(jù)學(xué)生動手操作能力，檢驗他們思維的邏輯性；最后，根據(jù)解題的嚴(yán)謹(jǐn)性與條理性，評判他們整體的邏輯思維能力.上述的過程也可以使用統(tǒng)計分析軟件對學(xué)生的邏輯思維水平進行客觀評價，把相關(guān)的問題數(shù)字化，以量化的方式表現(xiàn)出來，從而分析邏輯思維能力的表現(xiàn)強度，并通過定性描述豐富數(shù)據(jù)的現(xiàn)實性.結(jié)合這樣一種科學(xué)、有效的方式對學(xué)生的邏輯思維能力進行評價，進而有針對性地改進培養(yǎng)方案，提升培養(yǎng)學(xué)生邏輯思維能力的效率.

4　結(jié)論

培養(yǎng)初中生的數(shù)學(xué)邏輯思維能力，數(shù)學(xué)教師就要抓好邏輯思維培養(yǎng)的主干線，針對學(xué)生不同的數(shù)學(xué)邏輯思維水平，找到相應(yīng)的培養(yǎng)方法，將邏輯思維視為提高學(xué)生整體思維水平的基礎(chǔ)與工具.并且教師在整個培養(yǎng)過程中要經(jīng)常進行教學(xué)反思，及時地調(diào)整培養(yǎng)方案，作出科學(xué)合理的評價，才能更好地促進數(shù)學(xué)的教與學(xué).

參考文獻：

［1］王仲春，李元中，孫名符，等.數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)方法論［M］.北京：高等教育出版社，1989.

［2］張乃達.數(shù)學(xué)思維教育學(xué)［M］.南京：江蘇教育出版社，1990.

［3］皮亞杰.兒童的心理發(fā)展［M］.傅統(tǒng)先，譯.濟南：山東教育出版社，1987.

［4］張英伯，曹一鳴，徐利治，等.數(shù)學(xué)方法論選讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.