從解構(gòu)到建構(gòu)
——“解決問題的策略——假設(shè)”教學(xué)片段與設(shè)計意圖

◇王 嵐

教學(xué)片段一：在“倍數(shù)關(guān)系”的研究中初步感知假設(shè)的策略

師：小明遇到了一個具有挑戰(zhàn)性的問題。（出示題目如下）面對“小杯和大杯的容量各有多少毫升”這個具有挑戰(zhàn)性的問題，你敢不敢自己嘗試一下？

小明把360毫升的果汁倒入6個小杯和1個大杯中，正好都倒?jié)M。已知大杯的容量是小杯的3倍。小杯和大杯的容量各是多少毫升？

1.獨(dú)立分析數(shù)量關(guān)系，自主嘗試解決問題，寫在白板上。（可以畫一畫、寫一寫、算一算）

2.在小組內(nèi)交流解題思路，再把有代表性的不同方法貼到大黑板上。

師：請大家獨(dú)立分析數(shù)量關(guān)系，并且自己嘗試解決，可以畫一畫、寫一寫、算一算，在白板上留下思維的痕跡。獨(dú)立完成后，和同組的小伙伴一起交流解題的思路。

設(shè)計意圖：大杯和小杯兩個未知量都需要學(xué)生求出，看似有一定的難度。但是，如果我們將視線放到學(xué)生的整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)歷程中，就會發(fā)現(xiàn)學(xué)生已經(jīng)有過解決此類問題的經(jīng)驗(yàn)。比如，五年級下冊教材已經(jīng)出現(xiàn)過和倍問題的實(shí)際問題,只不過當(dāng)時是用方程方法解答的。而將挑戰(zhàn)的權(quán)利還給學(xué)生，我們將會看到更多不同的思路與表達(dá)。

（各小組組員先理解題意，獨(dú)自思考，在白板上寫下解題過程后，相繼進(jìn)入討論環(huán)節(jié)。教師巡回指導(dǎo)，加入小組聆聽，指導(dǎo)同學(xué)將部分作品粘貼在黑板上)

師：現(xiàn)在黑板上有11份作品，這11份作品都不一樣嗎？有沒有一樣的？

生：有!

師：下面我們請四位同學(xué)到黑板前，把你們認(rèn)為相同的作品放在一起。

（四個學(xué)生上講臺對11種解題方法進(jìn)行分類）

師：看來很多同學(xué)遇到小杯和大杯都不知道的時候，就緊緊抓住數(shù)量之間的關(guān)系，運(yùn)用方程來解決問題。派一個代表來給大家分享一下你們是怎么想的。

生：我認(rèn)為當(dāng)兩個量都不知道的時候可以用方程算，首先題目給我們的條件是大杯的容量是小杯的3倍，我們可以把小杯設(shè)為x毫升，那大杯就是3x毫升，之后我們列方程：3x＋6x=360，解這個方程得x=40。再根據(jù)題意，得出小杯的容量是40毫升，大杯的容量是120毫升。

（教師對這個學(xué)生的解題方法給予肯定）

師：接下來我們一起把目光聚焦在沒有用方程方法解題的同學(xué)，我發(fā)現(xiàn)他們都不約而同地借助了一些工具，比如：示意圖和線段圖。要看懂需要智慧，要分析需要勇氣。誰來解釋這些算法？

生1：這些方法都是畫圖，題目中說大杯的容量是小杯的3倍，我們可以把1個大杯看成3個小杯。

師：我特別喜歡“看成”這個詞，就是把1個大杯假設(shè)成3個小杯。

生1：然后把假設(shè)成的3個小杯和題目中原有的6個小杯加在一起，一共就是9個小杯，它們的總量是360毫升，用360÷9=40（毫升），就求出每個小杯的容量。再根據(jù)題意，用小杯的容量乘3就能算出大杯的容量。你們聽懂了嗎？

（其他學(xué)生紛紛點(diǎn)頭，表示聽懂了）

師：都聽懂了？找一位同學(xué)來驗(yàn)證一下。

生2：根據(jù)3個小杯的容量等于1個大杯，合起來就是共有9個小杯，用總?cè)萘?60毫升除以9個小杯，就是每個小杯的容量。再用小杯的容量乘3，就得到1個大杯的容量。

師：其實(shí)他們用的方法完全一樣，都是把這里的大杯假設(shè)成小杯。我們可以把這種方法放在一起。

（教師走到黑板的另一邊，示意學(xué)生把目光轉(zhuǎn)移到右側(cè)）

師：這是哪位同學(xué)的作品？請說說你的想法。

生3：我是這樣想的，首先3個小杯的容量等于1個大杯的容量，一共有6個小杯和1個大杯，就相當(dāng)于一共有3個大杯。小明一共倒了360毫升的果汁，就要除以3，得到每個大杯的容量是120毫升。又因?yàn)?個小杯的容量等于1個大杯的，所以120除以3就是40。因此小杯的容量是40毫升，大杯的容量是120毫升。你們聽懂了嗎？有什么問題要問我嗎？

（學(xué)生似懂非懂，并不舉手，教師似乎看出來他們的疑慮）

師：沒有人提問的話，我來問一個：360÷3中除號后的“3”是什么意思？我不知道“3”是從哪里來的。

1.3.1 消解動態(tài)試驗(yàn)。根據(jù)廠家推薦，70%甲基硫菌靈可濕性粉劑防止馬鈴薯環(huán)腐病拌種用藥量為0.42～0.70 g a.i./kg種薯，播種時拌種使用一次。按照《農(nóng)藥殘留試驗(yàn)準(zhǔn)則》要求，于2015—2016年在山東省濟(jì)南市、湖南省長沙市開展試驗(yàn)。

（其他學(xué)生紛紛點(diǎn)頭，好像這也就是他們理解上的困惑）

生3：每3個小杯等于1個大杯，6里面有2個3，因此6個小杯就等于2個大杯，再加上原來的1個大杯，就是3個大杯，所以“3”來自3個大杯。

師：有沒有跟他思路是一樣的？

（兩個學(xué)生舉起了手，教師把他們的作品也作了展示）

師：他們有什么相同點(diǎn)呢？

生：都是把小杯全部假設(shè)成大杯。

師：接下來請同學(xué)們看黑板，看起來好像分成了三類：第一類是方程，第二類是把大杯假設(shè)成小杯，第三類是把小杯假設(shè)成大杯。請你仔細(xì)思考，方程的方法其實(shí)是把所有的什么假設(shè)成什么呢？

生：方程就是把大杯轉(zhuǎn)化成小杯。

師：請大家再仔細(xì)觀察，左邊全部假設(shè)成小杯，右邊全部假設(shè)成大杯?？瓷先シ殖闪藘深?，這兩類有什么相同的地方？

生：它們都是把兩個不同的類型，轉(zhuǎn)化成一個相同的類型。

師：我非常佩服這位同學(xué)，他說得特別棒。一開始，大杯也不知道，小杯也不知道，也就是兩個量都不知道，那就把兩個未知量通過假設(shè)轉(zhuǎn)化成一個未知量。

設(shè)計意圖：分類比較，聚焦差異。從方程解法、算術(shù)解法的大杯假設(shè)為小杯，算術(shù)解法的小杯假設(shè)為大杯，逐步到分為兩類假設(shè)為大杯、假設(shè)為小杯，最后統(tǒng)一到都是把兩個未知量轉(zhuǎn)化為一個未知量。在觀察、比較、分類中，學(xué)生對于假設(shè)策略的認(rèn)知也越來越深入。

教學(xué)片段二：在兩個量關(guān)系的聚焦中逐步深化假設(shè)的策略

師：同學(xué)們想一想，這些算法都是把兩個未知量通過假設(shè)轉(zhuǎn)化成一個未知量。那么，是不是所有的兩個未知量我們都可以轉(zhuǎn)化成一個未知量呢？

生：這兩個未知量必須有一定的關(guān)系。

師：那我們來看一看，屏幕上這道題的兩個未知量有什么關(guān)系？

生：（齊）倍數(shù)關(guān)系。

師：這樣的倍數(shù)關(guān)系只能用題目中的這句話來表達(dá)嗎？可不可以換一種說法？

生：1個大杯的容量等于3個小杯的容量。

師：無論怎么表達(dá)，這兩個量之間都是倍數(shù)關(guān)系。題目中40和120這兩個量，除了用倍數(shù)關(guān)系來表達(dá)，還可以用什么關(guān)系來表達(dá)呢？

生：大杯比小杯多80毫升，小杯比大杯少80毫升。

設(shè)計意圖：教材中例1是倍數(shù)關(guān)系，例2是相差關(guān)系，教學(xué)時，一般用兩課時完成這部分內(nèi)容。例1假設(shè)前后總量不變，份數(shù)在變。例2假設(shè)前后總量在變，份數(shù)不變。對于學(xué)生而言，例1有相關(guān)經(jīng)驗(yàn)與基礎(chǔ)，而例2可借鑒的經(jīng)驗(yàn)較少。在教學(xué)時，我以關(guān)系為切入點(diǎn)，將兩個例題通過關(guān)系的表達(dá)方式變化而整合為一課時，從結(jié)構(gòu)化的角度給學(xué)生提供了很好的思維支架。兩者的不同是關(guān)系的表達(dá)方式，而相同的則是都要將有關(guān)系的兩個未知量轉(zhuǎn)化為同一個未知量。