異面壓縮下六邊形鋁蜂窩平均塑性坍塌應(yīng)力研究

榮吉利，朱宇博，宋乾強，張　濤，吳志培

(1. 北京理工大學(xué)宇航學(xué)院， 北京 100081；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所, 北京 100076)

0　引　言

六邊形鋁蜂窩作為吸能材料廣泛應(yīng)用于航天器。作為一種緩沖器材和防撞結(jié)構(gòu)，鋁蜂窩具有密度小、比剛度高、穩(wěn)定性好、緩沖吸能性能優(yōu)越、制造工藝成熟等特點[1]。鋁蜂窩應(yīng)用在航天著陸器中可吸收著陸沖擊能量[2-5]，在其它許多航天器上也有廣泛應(yīng)用，比如艙蓋、太陽電池殼體、整流罩等[6]。鋁蜂窩優(yōu)越的緩沖性能主要歸功于其良好的異面壓縮性能。

如圖1所示，當(dāng)鋁蜂窩的壓縮方向為z軸方向時，稱為異面壓縮；而當(dāng)加載方向位于xy平面內(nèi)時，稱為面內(nèi)壓縮。

圖1　鋁蜂窩異面示意圖Fig.1　Schematic of honeycomb’s out-of-plane direction

鋁蜂窩在異面壓縮下典型的應(yīng)力-應(yīng)變曲線如圖2所示，主要可分為三個階段：彈性變形段、坍塌平臺段以及密實段。在異面壓縮過程中，鋁蜂窩的坍塌平臺段會吸收大部分能量，因此往往是工程關(guān)注的重點，此階段的平均應(yīng)力就稱為鋁蜂窩的平均塑性坍塌應(yīng)力。本文的研究是圍繞異面壓縮下鋁蜂窩的平均塑性坍塌應(yīng)力展開。

圖2　異面壓縮下鋁蜂窩典型應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.2　Typical stress-strain curve of honeycombs under out-of-plane compression

Wierzbicki等人[7]于1983年給出了雙壁規(guī)則(單個鋁蜂窩的六個面中有兩個面具有雙倍壁厚)，并提出了“超折疊單元理論”。而Gibson等人[8]在此基礎(chǔ)上，通過對鋁蜂窩材料進(jìn)行一系列的理論與試驗研究后給出了六邊形鋁蜂窩受異面壓縮時平均塑性坍塌應(yīng)力的半經(jīng)驗計算公式

(1)

式中：σ0為鋁蜂窩的屈服應(yīng)力，t為鋁蜂窩壁厚，l為鋁蜂窩邊長。式(1)為鋁蜂窩異面壓縮中平均塑性坍塌應(yīng)力的經(jīng)典計算公式，但是與試驗應(yīng)力值對比，通過該半經(jīng)驗公式計算所得應(yīng)力值與試驗應(yīng)力值之間存在較大偏差(超過15%)。

Chen等人[9]為了將“超折疊單元理論”應(yīng)用于多胞薄壁結(jié)構(gòu)，將此理論進(jìn)行了簡化?；诤喕某郫B單元理論，他們分別對單胞、雙胞和三胞薄壁結(jié)構(gòu)的異面壓縮下的平均塑性坍塌應(yīng)力進(jìn)行了求解，并且借助有限元法驗證了理論解的準(zhǔn)確性。不過Chen等人并未將此理論應(yīng)用到六邊形鋁蜂窩上。

Bai等人[10]在Wierzbicki及Chen等人的研究基礎(chǔ)上，通過理論推導(dǎo)給出了一個帶參數(shù)的六邊形鋁蜂窩平均塑性坍塌應(yīng)力計算公式，并通過仿真數(shù)據(jù)確定了參數(shù)值。

為更加準(zhǔn)確地研究鋁蜂窩在異面壓縮時的平均塑性坍塌應(yīng)力，以指導(dǎo)鋁蜂窩吸能裝置的設(shè)計，本文基于簡化的超折疊單元理論，研究單個完整鋁蜂窩六邊形單元，根據(jù)能量守恒定律，給出了兩個準(zhǔn)靜態(tài)異面壓縮下鋁蜂窩平均塑性坍塌應(yīng)力的理論計算公式。

1　鋁蜂窩變形機制

圖3所示為鋁蜂窩在異面壓縮過程中的變形過程。鋁蜂窩在異面壓縮過程中會形成重復(fù)性的折疊單元[10]，一個折疊單元長度為2H(稱為折疊波長)，一般以折疊單元為研究對象分析鋁蜂窩的異面壓縮性能。

圖3　鋁蜂窩異面壓縮變形過程Fig.3　Deformation process of honeycombs under out-of-plane compression

Chen等人簡化了“超折疊單元理論”，簡化后在準(zhǔn)靜態(tài)壓縮過程中，形成一個基本折疊單元外力所做的功，由兩部分組成：1.屈曲能。如圖4(a)所示，由基本折疊單元在壓縮過程中三條鉸鏈線的屈曲能組成；2.膜能。如圖4(b)所示，角線處由于與鋁蜂窩的三個面相連，在壓縮過程中變形復(fù)雜且不易描述，將此部分的能量等效成圖中三個變形的三角形單元(即圖4(b)中陰影部分)的膜能。

圖4　簡化的基本折疊單元Fig.4　The simplified basic folding element

2　理論公式推導(dǎo)

以如圖5所示的六邊形鋁蜂窩單元為研究對象，包括4個雙倍壁厚的面和8個單倍壁厚的面。

圖5　單個完整鋁蜂窩單元Fig.5　A full unit of honeycomb

圖5中所示鋁蜂窩總的屈曲能記為Eb，總的膜能記為Em。由于鋁蜂窩的任何一個面均由兩個完整的鋁蜂窩單元共同使用，故在壓縮過程中單個鋁蜂窩吸收的總能量為(Eb+Em)/2。設(shè)鋁蜂窩的平均坍塌力為Pm，則在高度為2H的折疊過程中，根據(jù)能量守恒定律，有以下關(guān)系式成立

(2)

根據(jù)文獻(xiàn)[9]，屈曲能Eb可通過下式計算

(3)

式中m為一個折疊波長內(nèi)單個完整鋁蜂窩單元的鉸鏈線總數(shù)，M0為單位長度的塑性極限彎矩，θi為每條鉸鏈線彎曲的角度。令具有單倍壁厚的基本折疊單元的屈曲能為Eb1，具有雙倍壁厚的基本折疊單元的屈曲能為Eb2，則式(3)可等效為

Eb=8Eb1+4Eb2

(4)

從圖6可知鉸鏈線AB、EF在折疊過程中轉(zhuǎn)動角度為π/2，而鉸鏈線CD轉(zhuǎn)動角度為π。則單倍壁厚的基本折疊單元的屈曲能Eb1為

(5)

式中M1為單位長度的塑性極限彎矩(壁厚為t)。

同理可得雙倍壁厚的基本折疊單元的屈曲能Eb2為

(6)

式中M2為壁厚為2t條件下的單位長度的塑性極限彎矩。

圖6　基本折疊單元折疊過程Fig.6　The folding process of basic folding element

將式(5)和式(6)代入式(4)可得總屈曲能Eb為

Eb=8M1πl(wèi)+4M2πl(wèi)

(7)

膜能Em可通過下式計算[11]

(8)

式中A為總的變形面積，σ0為鋁蜂窩材料的屈服應(yīng)力。

Em=8Em1+4Em2

(9)

如圖4(b)所示，Chen等人在計算基本折疊單元膜能時，假設(shè)圖中陰影部分三角形的角度為45°，而Bai等人[10]指出：由于折疊過程的不確定性，Chen等人對陰影部分面積的描述并不準(zhǔn)確，并引入系數(shù)γ，用γH2描述陰影部分面積。故可得單倍壁厚的基本折疊單元的膜能Em1為

Em1=σ0t·γH2

(10)

雙倍壁厚的基本折疊單元的膜能Em2為

Em2=σ0·2t·γH2

(11)

將式(10)和式(11)代入式(9)可得總膜能Em為

Em=8σ0tγH2+4σ0·2tγH2=16σ0tγH2

(12)

將式(7)和式(12)代入式(2)可得

(13)

故平均坍塌力Pm為

(14)

采用不同的屈服準(zhǔn)則，塑性極限彎矩M1、M2取值不同。目前，對于彈塑性材料，最為廣泛使用的是Tresca屈服準(zhǔn)則和Mises屈服準(zhǔn)則。

按照Tresca屈服準(zhǔn)則，則M1=σ0t2/4,M2=σ0(2t)2/4=σ0t2。式(14)可化簡為

(15)

(16)

將式(16)代入式(15)得

(17)

圖5中鋁蜂窩的面積為

(18)

結(jié)合式(17)和式(18)可得Tresca屈服準(zhǔn)則下的平均塑性坍塌應(yīng)力σm2為

(19)

文獻(xiàn)[10]中為確定參數(shù)γ，對材料為5052鋁和3003鋁的鋁蜂窩共進(jìn)行了98種不同工況下的仿真(壁厚范圍從0.04 mm～0.12 mm，邊長范圍從4.04 mm～12.5 mm)，最終確定參數(shù)γ等于1.292。在此鋁蜂窩幾何尺寸范圍內(nèi)，式(19)可改寫為

(20)

(21)

半波長H為

(22)

將式(22)代入式(21)，可求得

(23)

3　試驗驗證

為了驗證本文所推導(dǎo)兩個理論公式的正確性，從文獻(xiàn)[12]中獲取了5052 鋁蜂窩異面壓縮試驗結(jié)果。如表1所示，給出了5052 鋁蜂窩試件在異面壓縮下的平均塑性坍塌應(yīng)力的試驗值，并按照鋁蜂窩壁厚與邊長比值(后簡稱為厚邊比)從小到大進(jìn)行排列。表中σm1、σm2和σm3分別通過式(1)、式(20)和式(23)計算得出，而σm4=2.686σ0(t/l)3/2+7.946σ0(t/l)2，由Bai等人[10]所推導(dǎo)得出。Bai等人還給出了5052鋁蜂窩的屈服應(yīng)力σ0為231.8 MPa。為了便于比較與分析，表中還給出理論計算值與試驗應(yīng)力值之間的誤差，誤差計算公式為：(試驗應(yīng)力值-σmi)/試驗應(yīng)力值×100%(i=1,2,3,4)。

從表中可以看出： 由半經(jīng)驗公式σm1=6.6σ0(t/l)5/3計算得到的應(yīng)力值與試驗應(yīng)力值相比較，其誤差范圍為17.00%～37.26%，誤差的平均值為23.55%；Bai等人所推導(dǎo)的應(yīng)力計算公式σm4=2.686σ0(t/l)3/2+7.946σ0(t/l)2計算得到的應(yīng)力值與試驗應(yīng)力值相比較，其誤差范圍為3.12%～22.42%，誤差的平均值為12.7%；基于Tresca屈服準(zhǔn)則得到的塑性平均坍塌應(yīng)力的計算公式σm2=3.798σ0(t/l)3/2計算得到的應(yīng)力值與試驗應(yīng)力值相比較，其誤差范圍為-10.66%～18.75%，誤差的平均值為6.01%；而基于Mises屈服準(zhǔn)則得到的塑性平均坍塌應(yīng)力的計算公式計算得到的應(yīng)力值σm3=4.081σ0(t/l)3/2與試驗應(yīng)力值相比較，其誤差范圍為-18.90%～12.69%，誤差的平均值為-0.99%。總體來說，本文給出的兩個鋁蜂窩平均塑性坍塌應(yīng)力計算公式的計算精度均高于Gibson等人所提出的半經(jīng)驗公式，也高于Bai等人所提出的計算公式。

表1　四種計算應(yīng)力值與試驗應(yīng)力值誤差分析Table 1　Error analysis between four calculation results and test stress value

4　厚邊比冪次討論

4.1　厚邊比冪次的由來

Gibson等人[8]所推導(dǎo)的應(yīng)力計算公式為σm1=6.6σ0(t/l)5/3，而Bai等人[10]所推導(dǎo)的應(yīng)力計算公式為σm4=2.686σ0(t/l)3/2+7.946σ0(t/l)2，再與本文所推導(dǎo)的公式對比，忽略系數(shù)以及σ0，僅考慮厚邊比的冪次，可以發(fā)現(xiàn)厚邊比t/l的冪次有2次方、3/2次方和5/3次方三種形式，現(xiàn)分析其由來。

從上述分析可以看出，不管能量通過何種方式計算，能量總和都具有一樣的形式E=∑Ei∝Ml，從量綱分析的角度也可以驗證此式的正確性。所以，式(2)可以寫成

Pm·2H∝Ml

(24)

由于計算應(yīng)力時鋁蜂窩的面積和邊長的關(guān)系為s∝l2，所以可以得到

(25)

至此得到了平均塑性坍塌應(yīng)力計算公式的通式σm=kσ0t2/(Hl)。其中k為常系數(shù)，其余符號同上文。

4.2　厚邊比冪次討論

由于實際的鋁蜂窩材料壁厚與邊長比值t/l一般不超過0.1[13]，圖7給出了厚邊比t/l∈(0,0.1]時四種關(guān)于鋁蜂窩平均塑性坍塌應(yīng)力計算公式的對比曲線圖，從圖中可以看出各公式所計算的坍塌應(yīng)力隨厚邊比變化的趨勢。

圖7　四種鋁蜂窩塑性平均坍塌應(yīng)力計算公式的對比Fig.7　Comparison among four types of formulae for mean crushing stresses

根據(jù)圖7，對比σm1和σm2，當(dāng)t/l<0.0363時，σm2>σm1，而當(dāng)t/l>0.0363,σm1>σm2。分析其原因，不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t/l<0.0363時，σm1=6.6σ0(t/l)5/3和σm2=3.798σ0(t/l)3/2相比，冪次造成的影響大于系數(shù)造成的影響，稱之為冪次占優(yōu)；而當(dāng)t/l>0.0363時，系數(shù)的影響將超過冪次的影響，稱之為系數(shù)占優(yōu)。σm1與σm3也有相似的情況，只不過臨界值變成了0.0559。

為定量分析不同厚徑比下本文提出的兩種公式與經(jīng)典算法之間的誤差，繪制了圖8所示的相對誤差對比圖，相對誤差計算方式為|σm1-σmi|/σm1×100%(i=2,3)。需要說明的是，當(dāng)t/l較小時，σm1<σmi(i=2,3)。

圖8　半經(jīng)驗公式與提出公式的相對誤差Fig.8　Relative error between semi-empirical formula and presented formulae

從上圖可以看出，當(dāng)t/l<0.02時公式間的相對誤差超過10%，且厚邊比值越小相對誤差越大；當(dāng)t/l∈[0.0271,0.0494]時，σm1與σm2的相對誤差不超過5%；而當(dāng)厚邊比t/l∈[0.0417,0.076]時，σm1與σm3的相對誤差小于5%，因此在此兩區(qū)間內(nèi)，可分別認(rèn)為σm1與σm2、σm1與σm3等價。隨著厚邊比值的增大，本文提出的兩個理論公式與半經(jīng)驗公式之間的相對誤差逐漸增大，不過增長較為緩慢。再與上一節(jié)的試驗結(jié)果對比可知，當(dāng)t/l<0.02時，半經(jīng)驗公式計算值小于試驗應(yīng)力值且誤差較大，而試驗應(yīng)力值與本文推導(dǎo)公式計算值的誤差卻不大。這也從側(cè)面反應(yīng)了本文推導(dǎo)公式在鋁蜂窩厚邊比較小時比半經(jīng)驗公式具有更高的精度。

再將本文提出的σm2與Bai等人提出的σm4對比，可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)t/l∈[0.0138,0.0272]時，兩者的誤差在5%以內(nèi)。而本文提出的基于兩個屈服準(zhǔn)則的公式σm2和σm3的誤差恒為6.9%。

將上述分析與第3節(jié)的試驗結(jié)果相結(jié)合，可以總結(jié)如下：

(1)當(dāng)厚邊比t/l∈(0,0.0078]時，σm2與試驗結(jié)果誤差最小，從表中讀出平均誤差僅為-1.29%，因此在此區(qū)間范圍內(nèi)，推薦使用σm2來計算鋁蜂窩的平均塑性坍塌應(yīng)力；

(2)當(dāng)厚邊比t/l∈(0.0078,0.0139]時，推薦使用σm3，與試驗結(jié)果相比，平均誤差為0.045%。

(3)當(dāng)厚邊比t/l∈(0.0139,0.0277]時，仍然推薦使用σm3，與試驗結(jié)果相比，其平均誤差為5.16%。而在此區(qū)間內(nèi)，σm2與σm4之間的誤差很小，與試驗值的誤差在10%左右，在計算鋁蜂窩的平均塑性坍塌應(yīng)力時若對精度要求不高亦可采用此兩個公式。

(4)試驗時最大的厚邊比值為0.0277，所以超過此值的理論計算值沒有試驗應(yīng)力值與之相對應(yīng)，無法評估各公式計算值與試驗應(yīng)力值間的誤差。

5　結(jié)　論

本文基于簡化的超折疊單元理論，研究了六邊形鋁蜂窩在異面壓縮下的平均塑性坍塌應(yīng)力，提出了兩種計算鋁蜂窩平均塑性坍塌應(yīng)力公式，通過與經(jīng)典算法以及試驗對比分析，得出了如下結(jié)論：

(1)鋁蜂窩在異面壓縮下的平均塑性坍塌應(yīng)力與鋁蜂窩的屈服應(yīng)力σ0和鋁蜂窩的厚邊比t/l有關(guān)；相較于前人提出的理論計算公式，本文提出的兩個理論公式都具有更高的計算精度。

(2)針對不同文獻(xiàn)中鋁蜂窩坍塌應(yīng)力計算公式里厚邊比t/l冪次的不同，文章分析了造成冪次不同的原因，總結(jié)出了平均塑性坍塌應(yīng)力計算公式的通式：σm=kσ0t2/(Hl)。

(3)通過將理論公式計算出的應(yīng)力值與實際試驗應(yīng)力值進(jìn)行對比分析，給出了在不同厚邊比區(qū)間內(nèi)采用不同計算公式的建議。

本文所提方法可對鋁蜂窩的異面壓縮性能研究提供一定的工程借鑒可以為鋁蜂窩吸能裝置的設(shè)計提供指導(dǎo)。

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