數(shù)值推理的擴展研究

王彥達

(湖北省武漢市第二中學 430000)

題目：

(1)2，3，4，5，6，7，( )；

(2)5，7，9，11，13，( )；

(3)4，6，8，10，12，( )；

(4)9，16，25，36，49，( )；

(5)8，27，64，125，216，( ).

參考答案

(1)很明顯是基于自然數(shù)的序列，所以括號值為8.

(2)很明顯是基于奇數(shù)排列的，所以括號值為15.

(3)很明顯是基于偶數(shù)排列的，所以括號值為14.

(4)該數(shù)列第一數(shù)9表示32，第二個數(shù)表示為42，因而表示為自然數(shù)的平方，所以括號值為64.

(5)該數(shù)列第一個數(shù)8可以表示為23，第二個數(shù)27可以表示為33，以此類推，所以括號值表示為73，即343.

這是很容易看出規(guī)律的數(shù)值推理方面的試題，但是在實際命題過程中，不一定通過一步推理就可以得到.以第一個數(shù)列為例，2, 3, 4, 5, 6, 7,…這樣的數(shù)列只需要執(zhí)行加1計算即可，我們必須掌握多步數(shù)值推理的思考能力，從而提高我們解答這類題的技巧.

1.基于公差與公比的數(shù)列推理

(1)5，10，17，26，( )；

(2)7，9，( )，21，37；

(3)8，9，0，-25，-72，( )；

(4)2，7，24，77，( ).

分析用常規(guī)的加減與平方立方無法求解，這里我們就需要從數(shù)與數(shù)之間的差值發(fā)現(xiàn)規(guī)律.

解(1)可以看出，相鄰兩數(shù)之差是有規(guī)律的，差值分別是5，7，9，…，即xn+1-xn= 2(n+1)+1=2n+ 3.則x5-x4=11，x5=26+11=37.

(2)觀察數(shù)列，括號值正好在數(shù)列的中間，數(shù)列從差值來看，最前面的差值為2，最后面的差值為16，從差值的數(shù)列來看，我們發(fā)現(xiàn)一共有4個數(shù)，這里面可以采用很多方法來解決，第一差值為2，最后一個差值為16，相差14，我們可以提出兩個假設(shè)：

假設(shè)1 對差值數(shù)列基于平均值求解，將其看作為等差數(shù)列，數(shù)與數(shù)之間的差值為14/3，因而第二個差值為20/3，括號里面的值即為20/3+9=47/3，第三個差值為20/3+14/3=34/3，則對應數(shù)列第4個數(shù)應該是括號里面的值加第三個差值，得47/3+34/3=27，不等于對應數(shù)列第4個數(shù)，第4個數(shù)為21，所以假設(shè)1是不成立的.

假設(shè)2 對差值數(shù)列進行等比值求解，將其看作為等比數(shù)列，數(shù)與數(shù)之比為2，即第一個差值為2，則后面的一個差值為4，第三個差值為8，最后一個差值為16，基于該假設(shè)，括號內(nèi)的值應該為9+4=13，則對應原來數(shù)列第4個數(shù)應該為13+8=21，正好滿足條件，則括號內(nèi)的值為13.

(3)我們發(fā)現(xiàn)數(shù)列第一個數(shù)是正數(shù)8，到了最后出現(xiàn)負數(shù)，數(shù)列對應的數(shù)值是呈現(xiàn)下降的趨勢，但是從一次差值分析(8，9，0，-25，-72，x6)對應差值為(1，-9，-25，-47，x6+72)，依然未發(fā)現(xiàn)規(guī)律.因此思考是不是二次差值排列能發(fā)現(xiàn)規(guī)律.將(1，-9，-25，-47，x6+72)進一步進行差值排列得到(-10，-16，-22，x6+119)，發(fā)現(xiàn)差值為-6，即x6+119+22=-6，x6=-147.

(4)通過觀察，發(fā)現(xiàn) 7=2×3+1；24=7×3+3；77=24×3+5.從這個表達式里面可以看出，后面一個數(shù)等于前面一個數(shù)乘以3加上一個奇數(shù)得到，因而括號內(nèi)的值可以表示為77×3+7=238.

2.基于次方變化的數(shù)值推理

(1)32，81，64，25，6( )；

(2)15，35，63，99，( )；

(3)4，16，49，121，( ).

分析從(1)(2)(3)可以看出，數(shù)與數(shù)大多都是平方、立方或者多次方的值，比如32可以表示為25，而121可以表示為112，還有64可以表示為43，很明顯這樣一組數(shù)列滿足多次方有關(guān)的規(guī)律.

解(1)進行最小質(zhì)數(shù)分解[3]，可以發(fā)現(xiàn)32=25；81=34；64=43；25=52，6=61，則x6=70=1.

(2)我們發(fā)現(xiàn)15，35，63，99這樣的數(shù)列，每一個數(shù)加1，正好可以表示為自然數(shù)的平方，得到16，36，64，100，即表示為42，62，82，102.這些平方的底數(shù)是按照等差數(shù)列排列的，即4，6，8，10，也就是說括號內(nèi)的值表示為122=144，減1得到答案143.

(3)4，16，49，121這幾個數(shù)都是對應自然數(shù)的平方，即表示為22，42，72，112.這樣還是看不規(guī)律，但是從xy的底數(shù)看出規(guī)律：4-2=2；7-4=3；11-7=4.求解底數(shù)之差，發(fā)現(xiàn)它們是等差數(shù)列，則括號內(nèi)的數(shù)也是自然數(shù)的平方和，底數(shù)與前一個自然數(shù)差為5，對應底數(shù)表示為11+5=16，則括號內(nèi)數(shù)值為162，即256.

通過上述的數(shù)值推理的舉例，我們會發(fā)現(xiàn)加減乘除在一般數(shù)值推理中是很基礎(chǔ)的，但是也十分重要，復雜的數(shù)值推理也是由數(shù)的加、減、乘、除運算找到規(guī)律的.很多規(guī)律的發(fā)現(xiàn)不是一步推理得到，可以將數(shù)表示為含有參數(shù)函數(shù)，也可以表示為某幾個數(shù)的序列發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，在具體的看似無規(guī)律數(shù)值分析中，我們不能忽略任何細節(jié)，只要解決了一部分的規(guī)律推測，即可用于數(shù)列的分析.

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