滲透分類討論思想 提升數(shù)學(xué)解題能力

李早華

(江蘇省海門市第一中學(xué) 226100)

一、參數(shù)分類，分析函數(shù)變化

高中數(shù)學(xué)試題中，往往會涉及較多的參數(shù).參數(shù)范圍的變化，會引起函數(shù)的變化，因此，在解題的過程中，必須將影響函數(shù)變化的參數(shù)進行分類討論.

在習(xí)題課上，我給學(xué)生出了一道題.題目是：證明函數(shù)f(x)=x6-x3+x2-x+1的值恒為正數(shù).學(xué)生剛看到試題時，大多數(shù)并沒有思路.我先問：影響f(x)的數(shù)值的因素有哪些呢？學(xué)生紛紛回答是參數(shù)x.然后，我就引導(dǎo)學(xué)生對參數(shù)進行分類，將參數(shù)x分為三類：x<0、0≤x≤1、x>1.當x<0時，f(x)的每一項都是正數(shù)，則f(x)一定大于零；當0≤x≤1時，x6-x3+x2-x+1中的x6-x3，x2-x均小于等于零，所以就不能判斷x6-x3+x2-x和1的大小關(guān)系，將函數(shù)進行變形，即f(x)=x6+x2(1-x)+(1-x),這樣各項都是大于零，函數(shù)為正數(shù).當x>1時，我們也可以將函數(shù)形式進行變形，可以得到x3(x3-1)+x(x-1)+1，這樣各項都是大于零的.綜上所述，函數(shù)f(x)的值恒為正數(shù).

在高中數(shù)學(xué)試題中，關(guān)于參數(shù)分類的試題眾多，在教學(xué)過程中，遇到參數(shù)問題，教師應(yīng)當為學(xué)生不斷滲透分類思想，促使學(xué)生能夠舉一反三，很好地解決類似問題.

二、結(jié)果分類，探究變量數(shù)值

高中數(shù)學(xué)中，有些問題的結(jié)果，通過認真閱讀試題，學(xué)生可以做一個預(yù)判.通過前提假設(shè)結(jié)果，去探討題目中涉及變量的數(shù)值，也是分類思想在高中數(shù)學(xué)的一個重要應(yīng)用.問題的結(jié)果包含多種情況，抓住主要影響變量，確定其變化的條件和范圍，就可以很好的得到我們預(yù)定的結(jié)果.當然，最初假設(shè)的結(jié)果可能也存在錯誤，在學(xué)生對變量進行分析時，也要引導(dǎo)學(xué)生對結(jié)果進行論證，這樣，學(xué)生邏輯思維能力會得到全面提升.

最值問題，學(xué)生往往都知道函數(shù)在極值點、端點處容易取得最值.但是在實際解題中，學(xué)生經(jīng)常因為不知如何有效分類，而導(dǎo)致出現(xiàn)錯誤.為了使學(xué)生在解決最值問題上提高準確率，我對其可能的情況進行分類講解.首先最值可能在單調(diào)性變化處改變，由此，需要對函數(shù)的單調(diào)性進行分類，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值的正負性可以很好的反映函數(shù)的單調(diào)性，因此對函數(shù)的導(dǎo)數(shù)進行分類，當f′(x)>0時，f(x)為增函數(shù)，當f′(x)<0時，f(x)為減函數(shù).確定函數(shù)單調(diào)性之后，那么需要對函數(shù)值進行分類，函數(shù)值可能為最大值，也可能為最小值.當函數(shù)在x0為極大值點，那么在x0附近的點，都有f(x)

三、公比分類，確定取值范圍

分類討論思想在解決高中數(shù)學(xué)數(shù)列問題中也得到了廣泛應(yīng)用，特別是在解決周期性數(shù)列、等比數(shù)列問題等方面.學(xué)生利用分類討論的思想，對數(shù)列公比進行分類討論，可以很快地確定函數(shù)的取值范圍，即提高了解題速率，也提高了解題的準確性.

在解決等比數(shù)列問題時，往往要對公比進行分類，這樣才能更好地得知等比數(shù)列各項數(shù)值.例如：設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a3=3/2，S3=9/2，求數(shù)列{an}的通項公式.在解決該問題時，如果不對公比進行分類，則會漏項，出現(xiàn)錯誤.在解決這樣問題時，首先對公比進行分類，當q=1時，a1=a2=a3=3/2，則an=3/2.若q≠1時，Sn=a1(1—qn)/(1—q)，an=a1qn-1，可得an=6×(-1/2)n-1.將分類討論的思想滲透到數(shù)列的教學(xué)中，為學(xué)生捋清解決數(shù)列問題的思路提供了良好的方法.這樣，有助于提升學(xué)生解題的正確性和自信心.

四、底數(shù)分類，明確對數(shù)關(guān)系

在高中數(shù)學(xué)解題過程中，對于對數(shù)問題往往需要進行分類討論，通過分類討論才能有效的保證學(xué)生能夠從各個角度認識問題，對問題有深度的解析，提升解題的效率和準確性.

在教授與對數(shù)有關(guān)的內(nèi)容時，我們往往要對底數(shù)進行分類，因為底數(shù)的不同會影響對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性.當?shù)讛?shù)大于0小于1時，對數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減；當?shù)讛?shù)大于1時，對數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增.在教授這部分內(nèi)容時，我首先給學(xué)生們出了一道題目，題目的內(nèi)容是解不等式logn(1-1/x)>1.學(xué)生們看到這道題目中含有兩個未知數(shù)，之后感覺很茫然不知道該如何去入手.然后我提醒學(xué)生們對底數(shù)n進行分類討論，聽到我的提醒后學(xué)生們恍然大悟，然后學(xué)生們趕緊進行解答.不一會兒，學(xué)生們便得出了結(jié)果.學(xué)生們的結(jié)果非常正確.后來我讓學(xué)生們對對數(shù)的性質(zhì)進行復(fù)習(xí)，因為只有熟練地掌握對數(shù)的相關(guān)性質(zhì)才能更好地對對數(shù)問題進行分類討論.

總之，分類討論思想是高中數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想.有效的對問題進行分類，不僅可以提高解題的速率，還可以提高解題的準確性.