不等式的推廣及其應(yīng)用

羅　群

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶　526061）

0　引言

本文討論式（1）的推廣形式，所討論的問題有

證明本文結(jié)論的主要依據(jù)是下面的引理1.

引理1[1]126設(shè)函數(shù) f(x)在區(qū)間I上可導(dǎo)，若 f′(x)＞0(f′(x)＜0),則 f(x)在區(qū)間I上嚴(yán)格遞增（嚴(yán)格遞減）.

1　主要結(jié)論

結(jié)論1當(dāng)α≤3時(shí)，不等式成立.

由引理1，f′(x)在(0,π/2)內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增，而 f′(x)在x=0右連續(xù)，所以

因此，當(dāng)0＜α≤3時(shí)，在(0,π/2)內(nèi)總成立 f′(x)＞0.又由引理1，f(x)在(0,π/2)內(nèi)嚴(yán)格增，且 f(x)在x=0右連續(xù)，于是

即不等式（2）成立.

綜上，當(dāng)α≤3時(shí)，不等式（2）成立.

結(jié)論2當(dāng)α＞3時(shí)，不等式

由引理 1，g(x)在 (0,π/2)內(nèi)嚴(yán)格增，而 g(xα)=0,所以當(dāng) x∈(0,xα)時(shí)，g(x)＜g(xα)=0,由于因此 f″(x)＜0.由引理1，f′(x)在 x∈(0,xα)內(nèi)嚴(yán)格減，而 f′(0)=0,從而當(dāng) x∈(0,xα)時(shí)，有 f′(x)＜f′(0)=0,故 f(x)在(0,xα)內(nèi)嚴(yán)格減，從而

于是所證結(jié)論成立.

結(jié)論3當(dāng)α＞3時(shí)，存在x0∈(0,π/2),使得當(dāng)x∈(x0,π/2)時(shí)，不等式

成立.

取大的生荸薺20枚，去節(jié)鮮蓮藕150克，大的梨子2枚，搗爛絞汁生飲。適用于肺癌咯血、咳血或放射治療后咽焦干咳者。

證函數(shù) f(x),g(x)與結(jié)論2證明中相同.由結(jié)論2的證明過程可知，由于g(x)在(0,π/2)內(nèi)嚴(yán)格增且g(xα)=0,因此當(dāng)x∈(xα,π/2)時(shí)，g(x)＞0,從而 f″(x)＞0,于是 f′(x)在(xα,π/2)內(nèi)嚴(yán)格增.由 f(x)的定義及 f′(x)的表達(dá)式（3），有

因此，存在x0∈(xα,π/2)?(0,π/2),使得 f(x0)＞0且 f(x)在(x0,π/2)嚴(yán)格增，故不等式（5）成立.

2　應(yīng)用

例1證明不等式

證式（6）等價(jià)于tan x sin x＞x2,即由結(jié)論1顯然成立.

例2[2]證明

證1）當(dāng)x=±π/2時(shí)，所證不等式為(2/π)3＞0,顯然成立；

2）當(dāng)x∈(0,π/2)時(shí)，由結(jié)論1，所證不等式成立；

3）當(dāng)x∈(-π/2,0)時(shí)，由于不等式兩端均為偶函數(shù)，由2）可知結(jié)論也成立.

例3證明：1）當(dāng)0≤α≤2時(shí)，不等式

成立.

2）當(dāng)α＜0時(shí)，不等式

成立.

1）當(dāng)0≤α≤2時(shí)，有α+1≤3,由結(jié)論1，f′(x)＞0,從而 f在(0,π/2)嚴(yán)格增；又 f在x=π/2處左連續(xù)，因此當(dāng)從而不等式（7）成立.

2）當(dāng)α＜0時(shí)，有α+1＜1,由結(jié)論1，f′(x)＜0,從而 f在(0,π/2)嚴(yán)格減；又 f在x=π/2處左連續(xù)，因此當(dāng)從而不等式（8）成立.

注特別地，當(dāng)α=2時(shí)，有如下不等式[3]成立：

例4證明不等式

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析：上冊[M].4版.北京：高等教育出版社，2010.

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[3]許康,陳強(qiáng),陳摯,等.前蘇聯(lián)大學(xué)生數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題解：上編[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，2012：45.