波利亞解題思想在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

岑思慧，王傳利

（肇慶學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶　526061）

高等數(shù)學(xué)在高等教育中雖然地位重要，但因其具有高度的抽象性和概括性，很多學(xué)生又未能很好地掌握解題的思路，所以學(xué)起來難度較大.波利亞解題理論在世界上有著廣泛的影響，尤其是波利亞的“怎樣解題表”，可以解決許多數(shù)學(xué)問題，幫助學(xué)生獲得解題的思路和策略.本文中，筆者以案例分析的方式說明波利亞解題思想在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

1　學(xué)生高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀及其原因分析

高等數(shù)學(xué)是一門基礎(chǔ)課程，是理工科高校非數(shù)學(xué)專業(yè)開設(shè)的一門課程.高等數(shù)學(xué)不僅是學(xué)生學(xué)習(xí)后續(xù)課程的基礎(chǔ)，還在培養(yǎng)學(xué)生思維能力、創(chuàng)造能力、審美意識(shí)、應(yīng)用能力等基本素質(zhì)方面起著重要作用[1].大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)過程中都存在不同程度的問題.

1.1　抽象思維能力欠缺

學(xué)生學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)時(shí)，認(rèn)為教科書中的概念很抽象，難以理解.例如：在學(xué)習(xí)“數(shù)列極限”時(shí)，講到割圓術(shù)描述為“當(dāng)n無限增大，即n→∞,內(nèi)接正多邊形的面積無限接近某一確定的值，這個(gè)值就是圓的面積”.這是要學(xué)生從“近似”認(rèn)識(shí)到“精確”，從“有限”認(rèn)識(shí)到“無限”，但許多學(xué)生對(duì)此很難理解.類似的還有“連續(xù)”“無窮小”“線性空間”等概念，大多是抽象的產(chǎn)物，以動(dòng)態(tài)的形式出現(xiàn)，具有客觀性、合理性、辯證性等特點(diǎn)，很難形象生動(dòng)地予以描述.學(xué)生由于思想方法及認(rèn)識(shí)不足，難以理解概念的內(nèi)容和關(guān)鍵屬性，從而導(dǎo)致其只學(xué)會(huì)了表面具體的東西，抽象思維還很欠缺.

1.2　邏輯思維能力不強(qiáng)

學(xué)生上課聽不懂證明過程，也害怕做證明題.他們通常只會(huì)按照書本定義套結(jié)構(gòu)，未能真正理解內(nèi)容本質(zhì)，因而對(duì)于嚴(yán)格的形式化表述難以掌握.例如：由于學(xué)生不理解極限“ε-δ”定義中符號(hào)?,?,ε,N,δ,A代表的意義，以及ε的任意性、N的相對(duì)性、ε與δ之間的關(guān)系，因而利用定義證明極限的題目就很困難.高等數(shù)學(xué)邏輯推理的語言和方法學(xué)生難以掌握，其認(rèn)知能力與課程要求不匹配，學(xué)習(xí)中遭遇困難重重.

1.3　逆向思維能力差

在求解無固定解題套路的題目和需要深層思維或逆向思維的問題時(shí)，學(xué)生只知道按公式演算或套用固定操作程序解題，有時(shí)會(huì)感到無從下手.例如：要求解不定積分∫2xex2d x.學(xué)生不知道都有哪些積分方法及其算法原理，應(yīng)該如何選擇，如何確定原函數(shù)等.學(xué)生不會(huì)運(yùn)用逆向思維思考問題，不能靈活運(yùn)用不定積分法.學(xué)生只是將教師在課上所講例題的解題步驟和過程記下來，并未真正將課堂知識(shí)轉(zhuǎn)化為自身知識(shí).

2　波利亞的解題理論

波利亞的專著《怎樣解題》是一部經(jīng)久不衰的暢銷書，對(duì)怎樣解題進(jìn)行了深刻詳細(xì)的論述分析[2]，其中給出的“怎樣解題表”，正是一部“探索法小詞典”[3].波利亞解題表分為4個(gè)階段(見圖1)：了解問題，擬定計(jì)劃，實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，回顧.

圖1　波利亞解題步驟

2.1　了解問題

了解問題，即弄清問題的組成.波利亞認(rèn)為，了解問題要從了解其語言術(shù)語入手，即“未知數(shù)是什么？已知數(shù)據(jù)是什么？條件是什么？”并將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，再進(jìn)行深入了解.具體步驟有三：其一，了解問題的語言陳述，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號(hào)；其二，明確題目的未知量、已知數(shù)據(jù)及條件；其三，通過所要求的未知數(shù)和已知條件聯(lián)系到相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，解題者在清楚條件和問題后，大腦將搜索與此條件和問題相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)以及可能用到的方法或技能.

2.2　擬定計(jì)劃

擬定計(jì)劃，實(shí)際上就是探索解題思路的過程.從了解問題到構(gòu)思出解題方法，常常不是一蹴而就而是會(huì)有波折的過程.擬定計(jì)劃是解題的關(guān)鍵階段，是否能夠擬定解題方法或者所擬方法是否良好，將決定解題的成敗.好的解題思路來源于過去獲得的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，因此當(dāng)我們遇到新問題時(shí)，會(huì)先嘗試尋找相似題目回憶其解題方法和技巧，從而得出解題思路.擬定計(jì)劃可分成以下幾步：第一，尋找相識(shí)的題目，“你以前見過它嗎？你知道什么與其相關(guān)的題目嗎？”第二，深入分析題目，尋找已知條件和未知數(shù)之間的聯(lián)系；第三，嘗試轉(zhuǎn)化題目.如果找不到與已有知識(shí)之間的直接聯(lián)系，可以將題目的問題或條件轉(zhuǎn)化成熟悉的模型，再進(jìn)行解題.最終得到一個(gè)解題方案.

2.3　實(shí)現(xiàn)計(jì)劃

實(shí)現(xiàn)計(jì)劃，即實(shí)現(xiàn)你的解題思路或求解計(jì)劃.執(zhí)行方案比擬定方案容易多了，執(zhí)行方案所需要的主要是耐心，我們?cè)跁鴮懨恳徊浇獯饡r(shí)都要確保自己書寫正確，耐心檢查所有解題細(xì)節(jié)，直到每一步都十分清晰.要認(rèn)真思考解題步驟以何定義、公式或理論作為支撐，這是不斷應(yīng)用知識(shí)、技能、原理和思想方法解決問題的階段.

2.4　回顧

回顧，就是在解答題目后，對(duì)解題過程進(jìn)行檢查.這是一個(gè)最容易被忽略的階段，但卻是提升解題能力的關(guān)鍵一步.回顧，包括檢查本題的解題過程，了解本題運(yùn)用到了哪些知識(shí)點(diǎn)以及與其相關(guān)的知識(shí)，觀察題目是否有一題多解的情況等.通過回顧整個(gè)解答過程，重新斟酌、審查結(jié)果及導(dǎo)致結(jié)果的途徑，就能夠鞏固知識(shí)并培養(yǎng)解題能力[4].

3　波利亞解題思想在高等數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

3.1　波利亞解題思想在函數(shù)極限中的應(yīng)用

1）了解問題.

問題1：要求證的是什么？

問題2：有什么條件？

函數(shù)x2-x-1以及點(diǎn)x=3.

2）擬定計(jì)劃.

問題3：如何證明？

由條件知此題是關(guān)于函數(shù)在一點(diǎn)的極限問題，故只需利用函數(shù)的極限定義進(jìn)行證明即可.

問題4：根據(jù)函數(shù)的極限定義如何證明？

根據(jù)函數(shù)在一點(diǎn)的極限定義[5]32，有

需由ε找到δ.

問題5：如何得到不等式0＜||x-3 ＜δ?

即

從而綜合可求出δ=min{ε/6,1},問題得解.

3）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃略.

4）回顧.

例1所應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)極限的“ε-δ”定義，要注意ε和δ的關(guān)系.

函數(shù)極限的種類較多，從極限過程來看，有x→x0,x→,x→,x→∞,x→+∞,x→-∞,再加上數(shù)列極限n→∞共7種極限過程；從極限結(jié)果來看，有極限存在和不存在（包括極限=∞）.只有掌握極限的本質(zhì)定義，才能較好解題.

3.2　波利亞解題思想在求導(dǎo)函數(shù)中的應(yīng)用

例2已知f(x)=x3ex,求f(10)(x).

1

）了解問題.

問題1：要求解的是什么？

要求解的是函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，即函數(shù)f(x)的10階導(dǎo)數(shù).

問題2：什么是高階導(dǎo)數(shù)？

2階及2階以上的導(dǎo)數(shù)稱為高階導(dǎo)數(shù)[5]99，函數(shù)f的n-1階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)則稱為函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)(n=2,3,…).函數(shù)f在點(diǎn)x0處的n階導(dǎo)數(shù)記作

問題3：已知條件有什么？

已知函數(shù)f(x)=x3ex,求這個(gè)函數(shù)的10階導(dǎo)數(shù).

2）擬定計(jì)劃.

問題4：怎樣求得函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)？

若直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，按題目要求需要求10次導(dǎo)數(shù).按此方法，不僅計(jì)算復(fù)雜繁瑣，并且所求導(dǎo)的次數(shù)較高，故此方法不可行.

問題5：觀察函數(shù)f(x),以前是否見過類似函數(shù)？

函數(shù)f(x)=x3ex,由2個(gè)初等函數(shù)相乘構(gòu)成.

問題6：2個(gè)函數(shù)乘積如何求導(dǎo)數(shù)？

問題7：函數(shù)乘積的n階導(dǎo)數(shù)如何求解？

回想以前學(xué)過的萊布尼茨公式

其中：u(0)=u,v(0)=v;該公式稱為萊布尼茨公式[5]102.運(yùn)用萊布尼茲公式可求此函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).

問題8：公式中的u(x)和v(x)分別是什么？

問題9：u(x)與v(x)求高階導(dǎo)數(shù)有什么變化？

1）(x3)′=3x2,(x3)″=6x,(x3)?=6,(x3)(n)=0,n=4,5,6,….

II）(ex)(n)=ex,n=0,1,2,….

3）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃.

解由萊布尼茲公式，其中n=10,有

4）回顧.

本題用到的知識(shí)點(diǎn)有高階求導(dǎo)、萊布尼茲公式、基礎(chǔ)求導(dǎo)公式等；用到的解題方法有定義法和公式法.

3.3　波利亞解題思想在求不定式極限中的應(yīng)用

1）了解問題.

問題1：要求解什么？

問題2：求極限有哪些方法？

求極限的方法如下：利用極限定義求解；利用極限的基本性質(zhì)求解；利用函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系求解；利用等價(jià)無窮小量代換求解；利用極限的運(yùn)算法則求解；利用極限的復(fù)合運(yùn)算法則求解；利用函數(shù)的連續(xù)性求解；利用導(dǎo)數(shù)定義求解；利用夾逼準(zhǔn)則求解；利用洛必達(dá)法則求解；運(yùn)用拉格朗日中值定理求解；利用一些已知極限求解等.

2）擬定計(jì)劃.

問題3：觀察極限有什么發(fā)現(xiàn)？你是否見過相似的極限？

是“0/0”型不定式極限，可以選擇用洛必達(dá)法則求極限，但是計(jì)算起來比較復(fù)雜.3）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃.

解應(yīng)用洛必達(dá)法則

4）回顧.

本題考查的數(shù)學(xué)知識(shí)有等價(jià)無窮小、拉格朗日中值定理、洛必達(dá)法則、導(dǎo)數(shù)公式；用到的解題方法有洛必達(dá)法則、等價(jià)無窮小替換、拉格朗日中值定理法.本題可以一題多解：當(dāng)x→0時(shí)，有ex-1～x,即esinx-x-1～sinx-x(x→0);故可以選擇利用等價(jià)無窮小量代換法求極限.同時(shí)發(fā)現(xiàn)與拉格朗日中值定理的結(jié)構(gòu)相似，故本題還可以選擇用拉格朗日中值定理求解極限.

3.4　波利亞解題思想在不定積分中的應(yīng)用

1）理解問題.

問題1：要求解的是什么？

要求解的是不定積分.

問題2：求不定積分有哪些方法？

求不定積分有直接積分法、第一換元積分法、第二換元積分法、分部積分法4種積分方法，我們要選擇其中合適的積分方法進(jìn)行計(jì)算.

2）擬定計(jì)劃.

問題4：能否直接看出公式中的u和d v?

雖然不能直接看出u和d v,但是可以變通；將x d x寫成d(x2/2),此時(shí)arctanx相當(dāng)于公式中的u,x2/2相當(dāng)于公式中的v,這時(shí)就可以代入公式計(jì)算了.

3）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃.

4）回顧.

在此題中，主要運(yùn)用分部積分法計(jì)算不定積分，關(guān)鍵點(diǎn)在于：

1）明確知道解不定積分有多少種計(jì)算方法，每種方法是怎樣計(jì)算的；

II）選擇1種適合的方法進(jìn)行計(jì)算，可以通過觀察和嘗試，確定其是否合適；

III）選擇方法后，在計(jì)算過程中要注意計(jì)算的技巧(如本題中將改寫成保持等式不變).

3.5　波利亞解題思想在隱函數(shù)求導(dǎo)中的應(yīng)用

例5設(shè)方程xy2+ey=cos(x+y2),求y′.

1）理解問題.

問題1：要求解的是什么？

問題2：有哪些已知條件？

已知方程xy2+ey=cos(x+y2),

2）擬定計(jì)劃.

問題3：隱函數(shù)如何求導(dǎo)？如何求得y′?

根據(jù)隱函數(shù)存在定理[6]，可以求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

3）實(shí)現(xiàn)計(jì)劃.

解設(shè)F(x,y)=xy2+ey-cos(x+y2),則

當(dāng)Fy≠0時(shí)，有

4）回顧.

本題主要是隱函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)用了隱函數(shù)的存在定理.除了這種方法外，還可以通過方程兩邊分別對(duì)x求偏導(dǎo)，或者運(yùn)用全微分的知識(shí)，對(duì)方程兩邊分別求全微分的方法求y′.

4　結(jié)束語

在高等數(shù)學(xué)中應(yīng)用波利亞解題思想能夠很好地幫助學(xué)生思考、解題，提高學(xué)生的抽象思維、邏輯思維和逆向思維能力.這種解題方法旨在讓學(xué)生學(xué)會(huì)獨(dú)立、多方位思考和學(xué)習(xí)，讓學(xué)生不僅僅“學(xué)會(huì)”，更要“會(huì)學(xué)”，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)技巧并付諸實(shí)施，真正使其個(gè)人的思維能力得到有效提高，將高等數(shù)學(xué)知識(shí)靈活應(yīng)用于解決實(shí)際問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]嚴(yán)永仙.高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況的調(diào)查與分析[J].浙江師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2003,44(2)：94-97.

[2]梁紅娥.波利亞的數(shù)學(xué)解題思想及其在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[D].呼和浩特：內(nèi)蒙古師范大學(xué),2005：2-3.

[3]張海俠.波利亞的“解題思想”數(shù)學(xué)啟發(fā)法在大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用研究[J].科技信息,2014,31(7)：18-31.

[4]波利亞.怎樣解題：數(shù)學(xué)思維的新方法[M].涂泓，馮承天，譯.上海：上?？萍冀逃霭嫔?2011：6-11.

[5]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：上冊(cè)[M].6版.北京：高等教育出版社,2007.

[6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)：下冊(cè)[M].6版.北京：高等教育出版社,2007：84.