注重解題反思，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)

吳煌

在數(shù)學(xué)課程目標(biāo)中，特別強(qiáng)調(diào)發(fā)展學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出問題和解決問題的能力，基于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的教學(xué)中，這也是關(guān)注的重點(diǎn)。

一、反思知識(shí)點(diǎn)，構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，提升思維的系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，各知識(shí)間相互聯(lián)系。一道數(shù)學(xué)題，所涉及的知識(shí)往往不止一個(gè)，引導(dǎo)學(xué)生反思題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)，尋求知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的“交匯點(diǎn)”，強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的交叉、滲透，理清由知識(shí)點(diǎn)形成的“知識(shí)鏈”，能使學(xué)生加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)間內(nèi)在聯(lián)系的理解，逐步從縱向和橫向形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，并在大腦記憶系統(tǒng)中構(gòu)建“數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)”。

例1 “平行線”一節(jié)教學(xué)片段：在學(xué)生通過實(shí)踐探究歸納出平行公理后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思。

反思 1：公理中的條件是什么？改為“過一點(diǎn)”是否可以？生：點(diǎn)與直線位置，有點(diǎn)在線上和點(diǎn)在線外兩種，點(diǎn)在線上時(shí)無法畫平行線。反思 2：書本中與之類似的性質(zhì)有哪些？生：①過兩點(diǎn)有且只有一條直線；②在同一平面內(nèi)有且只有一條直線與已知直線垂直。反思3：②中強(qiáng)調(diào)“在同一平面內(nèi)”，而平行公理為何不強(qiáng)調(diào)？生：平行線定義是同一平面內(nèi)兩條不相交的直線，所以加上“在同一平面內(nèi)”就顯重復(fù)。但兩直線垂直時(shí)卻不一定在同一個(gè)平面內(nèi)。通過這一連串的反思，學(xué)生對(duì)平行線知識(shí)有了更清晰的認(rèn)識(shí)，也認(rèn)清了它與相關(guān)知識(shí)的聯(lián)系與區(qū)別。

二、反思解題的過程，積累解題經(jīng)驗(yàn)，提升思維深刻性

不少學(xué)生解完題后，沒有反思的習(xí)慣，不能靜下心來反思解題的方法、過程、變式，沒有對(duì)解題過程進(jìn)行提煉和概括，只是停留在為解題而解題，因此導(dǎo)致解題質(zhì)量不高，效率低下。具體的數(shù)學(xué)問題解決只有通過反思才能概括出普遍適用的條件化、策略化知識(shí)。所以教師應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生整理思維過程，確定解題關(guān)鍵，回顧解題思路，概括解題方法，使解題的過程清晰，思維條理化、精確化和概括化，從而提升思維的深刻性，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

例2 在學(xué)習(xí)垂徑定理應(yīng)用時(shí)，我出示三道練習(xí)題：

①一條排水管的截面如圖1所示，排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16，求截面圓心O到水面的距離OC.

②如圖2，在直徑為100mm的圓鐵片上切下一塊高為20mm的弓形鐵片，求弓形的弦AB的長.

③如圖3，已知AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點(diǎn)D，且AB=8cm，OC=5cm，則DC的長為.

做完習(xí)題后，我馬上啟發(fā)學(xué)生對(duì)這幾道習(xí)題的結(jié)構(gòu)特征和解題方法進(jìn)行類比性反思。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生們反思發(fā)現(xiàn)了雖然每道題目所求的量不相同，但是解題方法如出一轍：都要添輔助線，構(gòu)造以弦長的一半、弦心距為直角邊，以半徑為斜邊的黃金直角三角形，利用勾股定理建立方程，得出答案。通過對(duì)這幾道題解題后的反思，學(xué)生對(duì)解決這類問題的思路更加清晰了，并對(duì)反思的對(duì)象和方法有了深刻的體會(huì)——構(gòu)造黃金直角三角形。

三、反思解題方法，總結(jié)規(guī)律方法，提升思維發(fā)散性？

在解題時(shí)，我們不能僅僅滿足于一種解法，要養(yǎng)成在解題后再反思解題方法的習(xí)慣：從不同的角度去研究問題、擺脫原來的思維模式、發(fā)現(xiàn)原來思維過程中的不足，探索出新的解題途徑，避免形成思維定勢，尋求最佳的解題方法，及時(shí)總結(jié)各類解題技巧，從而更進(jìn)一步來完善思維過程，激發(fā)思維的創(chuàng)造性和靈活性，達(dá)到提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的。

例3 學(xué)習(xí)完解一元二次方程的四種方法后，我出示五道題，要求學(xué)生采用適當(dāng)方法求解。

① 9x2-16=0

② 6x2-x=0

③ x2-x-6=0

④ x2-4x-1=0

做完習(xí)題后，我引導(dǎo)學(xué)生小組內(nèi)討論，對(duì)解題方法進(jìn)行反思，總結(jié)規(guī)律和方法。反思后得出規(guī)律和方法，關(guān)于的解，總結(jié)成順口溜：方程沒有一次項(xiàng)，直接開方最理想；如果缺少常數(shù)項(xiàng)，因式分解沒商量。b、c同時(shí)不為零，先考慮因式分解法，如果不行時(shí)，=1且b為偶數(shù)時(shí)，首選配方法。經(jīng)過解題方法的深刻反思，使學(xué)生明確解題技巧，養(yǎng)成“從優(yōu)、從快”的解題思維方式，提高解題效率，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、反思題目變式，舉一反三，提升思維的廣闊性？

題目解完了，并不等于解題任務(wù)的結(jié)束。反思題目變式，使知識(shí)系統(tǒng)化，有利于培養(yǎng)思維的靈活性和廣闊性，從而鞏固解題方法，提高解題的應(yīng)變能力。

例4 證明：順次連接平行四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。

變式1 證明：順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形。

變式2 證明：順次連接菱形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形。

變式3 證明：順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形。

……

通過這樣一系列變式訓(xùn)練，使學(xué)生充分掌握了四邊形這一章節(jié)所有基礎(chǔ)知識(shí)和基本概念，強(qiáng)化了常見特殊四邊形的性質(zhì)定理、判定定理、三角形中位線定理等。讓學(xué)生在一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的學(xué)習(xí)中，有效過渡進(jìn)入另一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的思考和學(xué)習(xí)。這樣的學(xué)習(xí)過程，不僅能夠增強(qiáng)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更深層次的認(rèn)知，同時(shí)還能幫助他們建立靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)意識(shí)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

五、反思解題結(jié)果，確保答案準(zhǔn)確，提升思維嚴(yán)密性

解題后的驗(yàn)證答案是否準(zhǔn)確無誤，有助于良好解題習(xí)慣的養(yǎng)成，有助于學(xué)生的審題能力和良好思維品質(zhì)等數(shù)學(xué)素養(yǎng)的養(yǎng)成。鑒于數(shù)學(xué)學(xué)科的特點(diǎn)，要求學(xué)生在解答時(shí)一定要認(rèn)真細(xì)致，有時(shí)稍有疏忽或一念之差就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)解。因此，通過對(duì)解題結(jié)果的反思，一方面確保答案準(zhǔn)確無誤，另一方面考察審題嚴(yán)密規(guī)范，逐步養(yǎng)成良好的解題思維習(xí)慣，培養(yǎng)思維嚴(yán)密性。

例5 在學(xué)習(xí)有關(guān)“等腰三角形”的時(shí)，有這樣一道填空題：

①等腰三角形ABC，其AB的長為7m，BC的長為4m，則等腰三角形的周長為.

錯(cuò)誤答案：18。

反思：該題錯(cuò)在回答不全面，并且忘記帶單位。對(duì)等腰三角形的概念缺乏深層的理解，沒有對(duì)其進(jìn)行分類討論，其中7既可以為腰長也可以為底邊長，因此，該題應(yīng)分為兩種情況：當(dāng)腰長為7 m時(shí)，周長為7+7+4=18m；當(dāng)?shù)走呴L為7m時(shí)，周長為4+4+7=15 m。

學(xué)生反思后，我立刻將題目進(jìn)行變式，如下：

②等腰三角形ABC，其AB的長為7m，BC的長為3m，則等腰三角形的周長為.

錯(cuò)誤答案：17m或13m。

反思：該題錯(cuò)在忽略了三角形中任意兩邊之和大于第三邊。答案應(yīng)該是：17m。

“學(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆。”在教學(xué)中，教師要以學(xué)生為主體，以課堂為提升學(xué)生素養(yǎng)的主要場所，課堂上給學(xué)生反思的時(shí)空，教給學(xué)生反思的方法，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)自主反思，養(yǎng)成良好的反思習(xí)慣，讓學(xué)生在反思中領(lǐng)悟，在領(lǐng)悟中提升思維能力，從而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

責(zé)任編輯 韋英哲