淺談組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用分析

侯嬌艷

【摘 要】組合數(shù)學(xué)也可以叫做離散數(shù)學(xué)，是專門研究離散對象的科學(xué)，可以說組合數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的分支，這種表達(dá)在計(jì)算機(jī)發(fā)展以后得到認(rèn)同。本文介紹了組合數(shù)學(xué)的定義和研究內(nèi)容，并且闡述了組合數(shù)學(xué)中常見的經(jīng)典問題和在計(jì)算機(jī)科學(xué)方面的影響。探討了組合數(shù)學(xué)在教學(xué)中的實(shí)際應(yīng)用。希望為相關(guān)領(lǐng)域幫助。

【關(guān)鍵詞】組合數(shù)學(xué)；應(yīng)用；分析

中圖分類號： O157 文獻(xiàn)標(biāo)識碼： A 文章編號： 2095-2457（2018）31-0147-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.31.071

1 組合數(shù)學(xué)的定義

組合數(shù)學(xué)有多種稱呼，可以叫離散數(shù)學(xué)、也可以叫組合分析。它的主要研究內(nèi)容和領(lǐng)域是離散結(jié)構(gòu)存在、計(jì)數(shù)、分析和優(yōu)化等問題。組合數(shù)學(xué)存在的時間很長，可以說是歷史悠久，曾經(jīng)確實(shí)有一段輝煌時期，不過，經(jīng)歷了較長時間的落寞。隨著電子計(jì)算機(jī)的發(fā)展，組合數(shù)學(xué)迎來了自己的春天。組合數(shù)學(xué)的發(fā)展改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中分析和代數(shù)的統(tǒng)治局面。組合數(shù)學(xué)成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)中重要的構(gòu)成部分。組合數(shù)學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域很廣，比如說計(jì)算機(jī)科學(xué)、物理、化學(xué)等。從一定意義上講，組合數(shù)學(xué)為計(jì)算機(jī)革命奠定了基礎(chǔ)。

2 組合數(shù)學(xué)在國內(nèi)外的發(fā)展現(xiàn)狀

組合數(shù)學(xué)存在歷史悠久，其研究領(lǐng)域和方向也多是西方發(fā)達(dá)國家重視的軟件行業(yè)。國外發(fā)達(dá)國家普遍認(rèn)為，組合數(shù)學(xué)對計(jì)算機(jī)科學(xué)來說，是有著至關(guān)重要的作用。但是，我國對組合數(shù)學(xué)的認(rèn)識不足，研究時間也較晚，甚至部分學(xué)者干脆把組合數(shù)學(xué)簡單的列為基礎(chǔ)學(xué)科，沒有對其進(jìn)行深入研究。這些人普遍認(rèn)為一個數(shù)學(xué)的分支能有什么作用，可是，實(shí)際情況卻與這些人的想法相悖。組合數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)在內(nèi)的很多領(lǐng)域都發(fā)揮著重要作用。

我國對組合數(shù)學(xué)的研究較晚，在上個世紀(jì)末南開大學(xué)開始注重對組合數(shù)學(xué)的研究。不過，南開大學(xué)的研究多是從理論層面出發(fā)，形成了豐富的理論研究體系。隨著研究進(jìn)程的深入發(fā)展，南開大學(xué)組合數(shù)學(xué)的研究研究成果已經(jīng)享譽(yù)世界。并且創(chuàng)立了組合數(shù)學(xué)的國際刊物——《組合年刊》。而隨著南開大學(xué)組合數(shù)學(xué)的發(fā)展，北京大學(xué)、中國科技大學(xué)等也紛紛建立了組合數(shù)學(xué)的實(shí)驗(yàn)中心，現(xiàn)階段，我國對組合數(shù)學(xué)的研究受到社會各界的關(guān)注，也取得了良好的研究成果。

現(xiàn)階段，美國和印度在計(jì)算機(jī)軟件方面的優(yōu)勢不言而喻，而兩個國家計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的重要研究人員都有著組合數(shù)學(xué)方面的建樹。這就從側(cè)面正面了組合數(shù)學(xué)是和計(jì)算機(jī)科學(xué)分不開的。美國和印度在電子計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域?qū)儆诮^對的霸主地位。美國政府為了確保組合數(shù)學(xué)價(jià)值的最大化，成立了組合數(shù)學(xué)及計(jì)算機(jī)科學(xué)研究中心，該研究中心已經(jīng)是美國組合數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)的重要研究陣地。隨著世界各國對組合數(shù)學(xué)的重視，日本也成立了NEC公司，該公司的主要任務(wù)就是研究組合數(shù)學(xué)和計(jì)算機(jī)科學(xué)對經(jīng)濟(jì)價(jià)值和社會生活的影響。該公司主要領(lǐng)導(dǎo)人為任R.Tarjan，他亦是日本組合數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的權(quán)威。

3 組合數(shù)學(xué)在教學(xué)中的應(yīng)用分析

組合數(shù)學(xué)在教學(xué)中實(shí)際應(yīng)用是需要教師和學(xué)生共同努力的，二者為了教學(xué)目的和教學(xué)任務(wù)必須有機(jī)配合和相互作用。組合數(shù)學(xué)在各個高校都存在差別，就專業(yè)角度來說，也有不同的定位。但是，組合數(shù)學(xué)的教學(xué)目的、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法在一定程度上都是相同的，他們有著共同的技巧和存在形式。最終目的都是將組合數(shù)學(xué)的理論知識應(yīng)用實(shí)踐，去解決生活中的實(shí)際問題。而每個學(xué)生的思維能力和知識儲備都不同，對組合數(shù)學(xué)的接受自然存在差異，所以，在實(shí)際教學(xué)中，一定要充分考慮學(xué)生的個性因素對教學(xué)效果的影響。組合數(shù)學(xué)一般存在兩種主要問題，一是存在性問題，一是計(jì)數(shù)問題。下面我們針對這兩點(diǎn)，簡要分析。

3.1 組合存在性問題

在組合存在性問題的教學(xué)中，一般都會采取主導(dǎo)+討論的方法，就是教師主導(dǎo)，學(xué)生討論的教學(xué)形式。要想解決這類存在性問題，必須對鴿巢原理進(jìn)行分析和探討。因?yàn)轼澇苍硎墙鉀Q組合存在性問題的關(guān)鍵。在問題的教學(xué)過程中，首先要做的是構(gòu)建一個“鴿巢”。構(gòu)建“鴿巢”可以說簡單，也可以說難。因?yàn)榻M合問題本身就存在很大差異，所以，有的組合問題學(xué)生一看即通，而有的問題是百思不得其解。遇到這種較難的組合問題，就需要老師進(jìn)行指導(dǎo)和溝通，把組合問題層層剝繭，劃分結(jié)構(gòu)。做到條理清晰，脈絡(luò)分明。不過，這種教學(xué)過程對駕駛的能力有一定要求，需要教師在實(shí)際教學(xué)中把握學(xué)生對問題的理解程度，針對學(xué)生的接受能力進(jìn)行逐層講解。這就證明教師不僅要有縱觀問題整體的能力，還能根據(jù)學(xué)生問題差異及時點(diǎn)撥。比如，在教學(xué)中有這樣一個例子，一個正整數(shù)N，N有著一個倍數(shù)，并且要滿足倍數(shù)由0或7組成的條件，請問，怎樣找到符合條件的N的倍數(shù)。那教師在教學(xué)中就可以利用正數(shù)定義說明，N的倍數(shù)是一個可以被N整除的整數(shù)。并且將這樣的問題交給學(xué)生研究和討論，N值取定后，全體整數(shù)可分為多少類。在學(xué)生思考出一定結(jié)果時，教師可以再次引導(dǎo)學(xué)生有哪些整數(shù)可以作為“鴿巢”。“鴿巢”確定后，就需要對N+1只鴿子進(jìn)行劃分，同時還要滿足0或7的條件。所以，在a1，a2，a3……an+1之中肯定有余數(shù)相等的存在，最終，再根據(jù)am=■就可以得出結(jié)果。組合存在問題就可以得到解決。

3.2 組合計(jì)數(shù)問題

在組合計(jì)數(shù)問題的教學(xué)中，一般采用引導(dǎo)+解答的方法，就是教師引導(dǎo)和學(xué)生解答等教學(xué)模式。組合計(jì)數(shù)是組合數(shù)學(xué)中重要的構(gòu)成部分，在組合數(shù)學(xué)中占據(jù)很大比重。組合計(jì)數(shù)性問題的解決方法有很多，如果單純的依靠老師講，學(xué)生聽是不行的，這種傳統(tǒng)的計(jì)數(shù)問題解決方法已經(jīng)不滿足現(xiàn)代教學(xué)的需要。學(xué)生被動接受永遠(yuǎn)都不能最大化完成教學(xué)任務(wù)，也不可能讓學(xué)生明確組合計(jì)數(shù)問題的意義所在。在實(shí)際教學(xué)中，教師要對問題有全面和清醒的認(rèn)識，可以從學(xué)生現(xiàn)階段問題的掌握情況出發(fā)，在學(xué)生難以理解的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)提出概括性指導(dǎo)建議。也可以采用公式推導(dǎo)的方法進(jìn)行演練。在實(shí)際教學(xué)中有這樣一個例子，“共6名學(xué)生分配到1、2、3三個班級中，第X班分配到了A個學(xué)生，而A可以取值1，2，3?，F(xiàn)在問，可以有多少種分法?！睂W(xué)生們一般情況下會按照1，2，3班書序考慮，比如1班分一個，二班分兩個，三班分三個。這是，老師就要在這種關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)提出意見，同學(xué)們都是按照順序考慮的，都是把一班作為首要目標(biāo)，那二班或者三班能不能放在優(yōu)先考慮的地位上呢。在老師說完后，馬上有幾個學(xué)生開始動手操作。然后老師在對比不同考慮情況的結(jié)果，發(fā)展結(jié)果都表現(xiàn)出統(tǒng)一性，就是說，結(jié)果都一樣。最后，在老師的引導(dǎo)下，大家發(fā)展所有答案都是■.這種結(jié)果意味著無論把哪個班作為首要考慮目標(biāo)，對結(jié)果都沒有影響。

在教學(xué)過程中，組合數(shù)學(xué)可以作為解決問題的重要手段和方法，對于教學(xué)有著重要意義。組合數(shù)學(xué)與多門學(xué)科都有密切聯(lián)系，在教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的過程中，一定要以思維創(chuàng)新為前提，不能拘束于傳統(tǒng)的組合數(shù)學(xué)教學(xué)模式。

4 組合數(shù)學(xué)在教學(xué)應(yīng)用中存在的問題

4.1 教材的選用和課程假設(shè)時間

現(xiàn)階段，很多高校在組合數(shù)學(xué)的教材選擇上都表現(xiàn)出趨同化，教材選擇指用兩種，一是盧開登主編的《組合數(shù)學(xué)》第三版，另一個是有RichardA.Brualdi編寫，有機(jī)械工程出版社翻譯和出版的中文版《組合數(shù)學(xué)》。而在大多數(shù)高校的實(shí)際安排中，組合數(shù)學(xué)一直以選修課的形式出現(xiàn)。課程安排大約在32學(xué)時左右。所以，上述教材在實(shí)際應(yīng)用中就會被大量刪減，教師也只是針對主要內(nèi)容作簡要概述，沒有深入探究具體問題和解決方法。只是讓學(xué)生明白組合數(shù)學(xué)是這么回事啊。有個印象進(jìn)行。

4.2 注重向?qū)W生介紹組合數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用

組合數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要組成部分，不僅在軟件技術(shù)方面體現(xiàn)著作用，還涉及生產(chǎn)生活的各個領(lǐng)域。比如公司管理、市場資源、證券股票和道路交通等。所以，這就要求教師在實(shí)際教學(xué)中不能只重視組合數(shù)學(xué)概念和課本知識的講解，還要進(jìn)行課外延伸，多多滲透組合數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的例子。也可以對典型案例進(jìn)行分析，達(dá)到培養(yǎng)興趣的目的。比如說四色問題、中國郵遞員問題等等。教師要以課堂為基礎(chǔ)，做到實(shí)際生活的延續(xù)和發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力。

5 組合數(shù)學(xué)在計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用分析

隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)成為了影響人們生產(chǎn)生活的重要因素，而計(jì)算機(jī)軟件開發(fā)的大規(guī)模使用使的數(shù)學(xué)領(lǐng)域呈現(xiàn)機(jī)械化發(fā)展方向?？梢哉f，計(jì)算機(jī)科學(xué)改變了傳統(tǒng)數(shù)學(xué)算法的存在形式和意義。而組合數(shù)學(xué)更是計(jì)算機(jī)產(chǎn)業(yè)發(fā)展的基礎(chǔ)和前提，就是說組合數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)軟件開發(fā)的決定因素。

5.1 組合數(shù)學(xué)在算法上的體現(xiàn)

計(jì)算機(jī)科學(xué)的各個方面都需要組合數(shù)學(xué)做指導(dǎo)，拿算法來說，組合數(shù)學(xué)可以衡量一個算法的概率，必須估計(jì)用此算法解答具有給定長的輸入（問題）時需要多少步（例如算術(shù)運(yùn)算、二進(jìn)制比較、程序調(diào)用等的次數(shù)）。這要求對算法所需的計(jì)算量及存儲單元數(shù)進(jìn)行估算，這就是計(jì)數(shù)問題的內(nèi)容，而組合數(shù)學(xué)分析主要研究內(nèi)容就是計(jì)數(shù)和枚舉的方法和理論

5.2 組合數(shù)學(xué)在信息檢索方面的體現(xiàn)

信息檢索是計(jì)算機(jī)科學(xué)中一個基本而又重要的問題。如何組織數(shù)據(jù)，使用什么樣的查找方法，對檢索的效率有很大的影響。組合數(shù)學(xué)可以假設(shè)一個表有n個不同的項(xiàng)，其元素取自鍵空間M={1，2，…，m}，希望找到在表中存儲M的任意n元子集S的方法，使得容易回答下述詢問：X在S中嗎？如何存儲M的n元子集的規(guī)則稱為一個表結(jié)構(gòu)或（m，n）-表結(jié)構(gòu)。最簡單的表結(jié)構(gòu)是有序表結(jié)構(gòu)，它是按上升序列出S中的元素。更一般的是按置換排序的表結(jié)構(gòu)，其方法是固定{1，2，…，n}的一個置換，根據(jù)比置換的次序列出S中的元素。

6 結(jié)束語

綜上所述，組合數(shù)學(xué)在教學(xué)中和計(jì)算機(jī)科學(xué)中的應(yīng)用都具有重要地位，組合數(shù)學(xué)漸漸成為影響各領(lǐng)域的決定因素。。組合數(shù)學(xué)不僅在基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究

中具有極其重要的地位，在其它的學(xué)科中也有重要的應(yīng)用，如在計(jì)算機(jī)科學(xué)、編碼和密碼學(xué)、物理、化學(xué)、生物等學(xué)科中均有重要應(yīng)用。我國對組合數(shù)學(xué)的研究較晚，需要加快發(fā)展速度和質(zhì)量。就是說，我國要想發(fā)展計(jì)算機(jī)技術(shù)，要想實(shí)現(xiàn)科技強(qiáng)國，就必須重視組合數(shù)學(xué)研究和相關(guān)人才建設(shè)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉洪波，王芳，蘇建忠，等.高等學(xué)校生物信息學(xué)專業(yè)《組合數(shù)學(xué)》的創(chuàng)新性教學(xué)方法淺談[J].課程教育研究，2015（25）：132-133.