控制論中動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及分析

王紅雁

【摘 要】控制系統(tǒng)的建立，往往先要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，而建立數(shù)學(xué)模型往往涉及到許多數(shù)學(xué)簡(jiǎn)化算法?？刂普撌敲绹?guó)數(shù)學(xué)家諾伯特·維納創(chuàng)立的一個(gè)數(shù)學(xué)理論，它最初以數(shù)學(xué)模型為理論的基礎(chǔ)，后來(lái)逐漸滲透到各種系統(tǒng)之中，本文對(duì)數(shù)學(xué)上的控制理論進(jìn)行簡(jiǎn)單的探討。

【關(guān)鍵詞】連續(xù)時(shí)間；動(dòng)態(tài)系統(tǒng)；數(shù)學(xué)模型；控制理論

中圖分類(lèi)號(hào)： O231.3 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）31-0136-002

DOI：10.19694/j.cnki.issn2095-2457.2018.31.066

【Abstract】The establishment of control systems often requires the establishment of corresponding mathematical models， and the establishment of mathematical models often involves many mathematical simplification algorithms. Cybernetics is a mathematical theory founded by American mathematician Norbert Wiener. It was originally based on mathematical models and gradually penetrated into various systems. This paper briefly discusses mathematical control theory.

【Key words】Continuous time； Dynamic system； Mathematical model； Control theory

1 控制論

1.1 控制系統(tǒng)

對(duì)一個(gè)自然的對(duì)象，通過(guò)一定的影響，是這個(gè)對(duì)象的行為滿(mǎn)足預(yù)先設(shè)定的目標(biāo)，或者完成相應(yīng)的任務(wù)。這就叫做控制系統(tǒng)。

控制論是對(duì)控制系統(tǒng)建立具有指導(dǎo)意義的操作理論?？刂普摾碚搼?yīng)用非常廣泛，他的觀(guān)點(diǎn)都有很好的研究?jī)r(jià)值，控制論對(duì)一系列的研究提供了方向，將被研究對(duì)象當(dāng)成整體的可控的系統(tǒng)，對(duì)它的信息處理、傳遞、反饋等系統(tǒng)的研究，可以使得被研究的物體或者系統(tǒng)有著出乎意料的收獲。

1.2 控制論簡(jiǎn)述

在1947年，美國(guó)學(xué)者維納創(chuàng)立控制論數(shù)學(xué)學(xué)科。并于1948年發(fā)表著作《控制論》，他的發(fā)表，給學(xué)術(shù)界造成了極大的震動(dòng)，一時(shí)間，維納家喻戶(hù)曉，控制論作為一種偏重于實(shí)際意義的理論，為不少行業(yè)的發(fā)展起了不小的推動(dòng)作用，20世紀(jì)后期，控制論已經(jīng)慢慢的滲透到，機(jī)械，醫(yī)學(xué)，生物等多個(gè)方面，慢慢的控制論也逐漸豐富起來(lái)，控制論是一部兼顧理論與應(yīng)用的偉大著作。其大概可以理解為在無(wú)人控制的情況下，系統(tǒng)會(huì)按照設(shè)定的方向運(yùn)行。從控制論建立以來(lái)，其大概經(jīng)歷了兩個(gè)不同的階段。古典控制論：通過(guò)函數(shù)信息計(jì)算，對(duì)控制系統(tǒng)的輸入，執(zhí)行，表達(dá)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題?，F(xiàn)代控制論：因?yàn)榭茖W(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是空間科學(xué)的進(jìn)步，控制論開(kāi)始與空間結(jié)合，基于現(xiàn)代空間的狀況，開(kāi)始研究可以多個(gè)同時(shí)輸出，多個(gè)同時(shí)接受，程序進(jìn)行的更加智能，效率更加高效的控制系統(tǒng)研究開(kāi)發(fā)。

控制論的誕生是自動(dòng)控制、電子技術(shù)、計(jì)算機(jī)科學(xué)等多個(gè)行業(yè)相互結(jié)合的結(jié)果，維納從1919年就已經(jīng)開(kāi)始存在控制論的模糊思考，二戰(zhàn)期間維納受任自行火炮的研究，在當(dāng)時(shí)他就提出了反饋思想，把活動(dòng)的所有結(jié)果參數(shù)化，同時(shí)把導(dǎo)致活動(dòng)結(jié)果產(chǎn)生關(guān)系函數(shù)的關(guān)系，然后再送回總控制系統(tǒng)進(jìn)行修改校準(zhǔn)。并在1943年，他撰寫(xiě)了《行為、目的和目的論》，并且這個(gè)思想在自行火炮的研發(fā)上取得了成功，這是得維納對(duì)控制論的思考更加的清晰。從1948年控制論誕生，到控制論廣泛的運(yùn)用于各個(gè)領(lǐng)域時(shí)間不到兩年，六年以后，我國(guó)的科學(xué)家，錢(qián)學(xué)森教授將控制論推廣，讓其在工程方面應(yīng)用，創(chuàng)造了工程控制論，從此以后，控制論呈井噴式發(fā)展，各種控制論涌現(xiàn)，比如生物控制論，經(jīng)濟(jì)控制論，社會(huì)控制論等等。

2 數(shù)學(xué)控制基礎(chǔ)

控制系統(tǒng)可以通過(guò)常微分方程，差分方程，偏微分方程等一些列數(shù)學(xué)公式建立，通過(guò)各個(gè)公式之間的關(guān)系，調(diào)配下一級(jí)動(dòng)作。在數(shù)學(xué)中有兩大控制理論。

2.1 基本控制理論

2.1.1 經(jīng)典控制論

經(jīng)典控制論解決的是單輸入輸出和早期的穩(wěn)定性理論。研究反饋控制得主要是以反饋控制為其主要研究?jī)?nèi)容的自動(dòng)控制理論的歷史，從第一篇關(guān)于經(jīng)典控制論的時(shí)間算起來(lái)到現(xiàn)在還不足100年。但是早在1000年以前控制論思想就已經(jīng)開(kāi)始具有概念?？刂七@個(gè)詞語(yǔ)也極大的反應(yīng)了，人類(lèi)對(duì)掌握超越自身能力的渴望?？释鞣匀?，為自己服務(wù)著一思想。但是早期的控制論思想是不穩(wěn)定，不平衡的，于是穩(wěn)定性的問(wèn)題很早以前就開(kāi)始被研究，根據(jù)有關(guān)的文獻(xiàn)表明牛頓可能是研究動(dòng)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的第一個(gè)人。牛頓的數(shù)學(xué)原理的一系列研究表明，尤其是他的引力學(xué)說(shuō)中對(duì)于做圓周運(yùn)動(dòng)的質(zhì)子的對(duì)應(yīng)研究中，他假設(shè)圓周運(yùn)動(dòng)質(zhì)子收到的引力的大小與它到圓周運(yùn)動(dòng)中心的距離n次方有關(guān)。他發(fā)現(xiàn)，n>-3時(shí)，當(dāng)質(zhì)子受到微小的干擾時(shí)，仍然能夠在原來(lái)的圓周運(yùn)動(dòng)軌道上做圓周運(yùn)動(dòng)。而當(dāng)n≤-3時(shí)，質(zhì)子受到細(xì)微的擾動(dòng)將會(huì)以螺旋的方式進(jìn)行遠(yuǎn)離圓周中心，此也叫作逃離運(yùn)動(dòng)，或者逐漸靠近圓周運(yùn)動(dòng)中心。

在萬(wàn)有引力建立之后，許多學(xué)者，天文學(xué)家，物理學(xué)家嘗試證明太陽(yáng)系的圓周運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的。我們所熟知的數(shù)學(xué)家拉格朗日，和拉普拉斯也曾對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)深入的研究，基于前人的經(jīng)驗(yàn)和理論研究，在24歲時(shí)“證明了行星到人陽(yáng)的距離在一些微小的周期變化之內(nèi)是不變的”雖然這個(gè)證明在現(xiàn)在來(lái)說(shuō)是不嚴(yán)格的，但是他的理論對(duì)李亞普諾夫的穩(wěn)定性理論有很大的影響。

在十九世紀(jì)以前保守系統(tǒng)的穩(wěn)定性一直是討論驗(yàn)證的重點(diǎn)。主要是關(guān)于行星圓周運(yùn)動(dòng)是否具有穩(wěn)定問(wèn)題。Clerk Maxwell是最先通過(guò)對(duì)對(duì)反饋控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行系統(tǒng)分析，并且取得了不錯(cuò)的成果，并且撰寫(xiě)了關(guān)于此的論文 。關(guān)于他研究結(jié)果是否正確，麥?zhǔn)蠈?duì)三階微分方程進(jìn)行驗(yàn)證，以及具有五階微分方程的Maxwells governor進(jìn)行了研究。證明其結(jié)果是可行的，并且得出了系統(tǒng)穩(wěn)定性的條件。在同一個(gè)階段維什聶格拉斯基也對(duì)蒸汽機(jī)的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行探討，維什聶格拉斯基也是對(duì)其進(jìn)行線(xiàn)性化，但是他用線(xiàn)性微分方程描述由調(diào)整對(duì)象和調(diào)整器組成的系統(tǒng)。比Clerk的方法更加簡(jiǎn)便。

2.1.2 現(xiàn)代控制理論

在現(xiàn)在控制理論中進(jìn)展最快的是對(duì)的是多輸入多輸出線(xiàn)性系統(tǒng)，特別是建立對(duì)刻劃控制系統(tǒng)本質(zhì)的基本理論，比如可控性、可觀(guān)性、實(shí)現(xiàn)理論等，從此控制的工程設(shè)計(jì)變成了一門(mén)單獨(dú)的研究方向。它促進(jìn)了控制理論從理論到應(yīng)用的進(jìn)程，促進(jìn)非線(xiàn)性系統(tǒng)、最優(yōu)控制，卡爾曼濾波、魯棒控制等理論的提出與進(jìn)步發(fā)展，并且稱(chēng)為重要的科學(xué)研究理論。

在上世紀(jì)五十年代，由于空間技術(shù)的發(fā)展和計(jì)算機(jī)技術(shù)的不斷進(jìn)步，并于上世紀(jì)六十年代取得巨大的成果。在這一段時(shí)間，卡爾曼第一次將狀態(tài)空間系統(tǒng)與控制理論雜糅結(jié)合起來(lái)，并提出了一些具有重要意義的理論。這些理論就組成了近代現(xiàn)代控制理論的起點(diǎn)和基礎(chǔ)。

線(xiàn)性代數(shù)和微分方程是現(xiàn)代控制理論的重要手段，與狀態(tài)空間法結(jié)合，制作控制系統(tǒng)。其中狀態(tài)空間法，發(fā)揮了非常大的應(yīng)用，他不只是關(guān)注控制系統(tǒng)外部的穩(wěn)定，他同時(shí)兼顧系統(tǒng)內(nèi)部。它揭示了控制系統(tǒng)內(nèi)部的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，對(duì)系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)優(yōu)化。與經(jīng)典的控制理論相比，現(xiàn)代控制理論原則上講它可以應(yīng)用在更多的對(duì)象上，它不僅僅是單輸入輸出的、線(xiàn)性的、定富的、也可以是多輸入輸出量的、非線(xiàn)性的、時(shí)變的、離散的、高效的。

2.2 控制理論的數(shù)學(xué)表達(dá)

控制理論在數(shù)學(xué)上的聯(lián)系涉及線(xiàn)性控制系統(tǒng)和非線(xiàn)性控制系統(tǒng)。線(xiàn)性控制系統(tǒng)主要涉及到線(xiàn)性代數(shù)、常微分方程、隨機(jī)控制系統(tǒng)，概率論、隨機(jī)過(guò)程和隨機(jī)微分方程，集中參數(shù)控制系統(tǒng)變分法常微分方程泛的分析。

非線(xiàn)性控制系統(tǒng)涉及到分布參數(shù)控制系統(tǒng)偏微分方程、泛的分析、線(xiàn)性算寧半樣理論等。非線(xiàn)性控制系統(tǒng)微分幾何的現(xiàn)代理論，微分拓?fù)涑醪健⒊Ｎ⒎址匠屉x散中件動(dòng)態(tài)系統(tǒng)抽象代數(shù)等。

3 控制.系統(tǒng)穩(wěn)定性

3.1 李亞普諾夫穩(wěn)定性

3.1.1 平衡狀態(tài)穩(wěn)定

我們先來(lái)假定一個(gè)圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)以X為圓心，以 R 為半徑的一個(gè)球形區(qū)域S，那么x一定會(huì)有一個(gè)半徑，且0≤r≤R。只要x1一開(kāi)始就在球形區(qū)域以?xún)?nèi)， 當(dāng)隨著時(shí)間進(jìn)行x1一直都在這個(gè)球形區(qū)域里面，那么這個(gè)圓周系統(tǒng)是穩(wěn)定的。當(dāng)x1在運(yùn)動(dòng)中受到干擾時(shí)，x1一直沒(méi)有超出球面范圍，那么它最后還會(huì)在球面以?xún)?nèi)穩(wěn)定運(yùn)行， 如圖 1 的曲線(xiàn) 2 2 .2 平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定。

3.1.2 平衡狀態(tài)不穩(wěn)定

假設(shè)x不穩(wěn)定時(shí)。那么在球形區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的x1將會(huì)脫離球體。

3.1.3 李亞普諾夫間接法

間接法是的將非線(xiàn)性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行線(xiàn)性化， 將非線(xiàn)性系統(tǒng)近似的看成線(xiàn)性系統(tǒng)，然后用研究小范圍內(nèi)線(xiàn)性化系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這一種線(xiàn)性近似運(yùn)算只有當(dāng)X1偏差量很小的前提下進(jìn)行，但是到臨界以后不再使用。

3.1.4 李亞普諾夫直接法

直接法不同于間接法，其不再采用對(duì)線(xiàn)性控制系統(tǒng)的近似研究， 它判斷非線(xiàn)性系統(tǒng)的穩(wěn)定性利用李雅普諾夫函數(shù)來(lái)研究。這種方法與間接法互補(bǔ)，兩者的使用范圍各不相同，直接法適合臨界狀況，不適合平衡點(diǎn)附近的輕微擾動(dòng)。此外直接法還適合大范圍系統(tǒng)穩(wěn)定性的研究。

3.2 連續(xù)時(shí)間函數(shù)的定義：

針對(duì)要研究的對(duì)象，我們可以為這個(gè)對(duì)象得動(dòng)態(tài)性能建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，然后在進(jìn)行研究探索。 大部分研究對(duì)象的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析可以用這兩個(gè)方程來(lái)表示：

關(guān)于連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的函數(shù)：·X（t）=f[X（t），U（t），t]

關(guān)于離散時(shí)間系統(tǒng)的函數(shù)：X（k+1）=f[X（k），U（k）， k]

當(dāng)時(shí)間不變動(dòng)時(shí)，及定時(shí)不變時(shí)：X·（t）=f[X（t），U（t）]

X（k+1）=f[X（k），U（k）]

其實(shí)非線(xiàn)性系統(tǒng)的分析不是太難，主要在尋找定量上，通俗來(lái)講就是尋找控制系統(tǒng)特征規(guī)律。判斷這個(gè)系統(tǒng)是否穩(wěn)定，就要尋找這個(gè)系統(tǒng)是否有平衡點(diǎn)，然后通過(guò)平衡點(diǎn)的穩(wěn)定，判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。

系統(tǒng)的平衡狀態(tài)

假設(shè)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是平衡的問(wèn)題， X-其中的狀態(tài)點(diǎn)， 若系統(tǒng)穩(wěn)定當(dāng)?shù)竭_(dá) X-以后， 就保持為 X-。若比系統(tǒng)平衡， 平衡狀態(tài) X-應(yīng)滿(mǎn)足：

離散時(shí)間系統(tǒng)：X-=f（X-）

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)：0=f（X-）

4 結(jié)語(yǔ)

本文只簡(jiǎn)單介紹了數(shù)學(xué)中的控制論基礎(chǔ)，并對(duì)控制系統(tǒng)中的穩(wěn)定性問(wèn)題進(jìn)行簡(jiǎn)單的分析。拉氏變換極大的促進(jìn)了控制系統(tǒng)理論由理論到應(yīng)用的進(jìn)程。當(dāng)然控制論從理論到應(yīng)用最重要依靠的是好幾代人的不懈努力。隨著近代數(shù)學(xué)不斷進(jìn)步，我相信有關(guān)控制系統(tǒng)理論的一些問(wèn)題終會(huì)解決。

【參考文獻(xiàn)】

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