數(shù)學(xué)分析考研重點(diǎn)內(nèi)容及常見(jiàn)題型

王宜潔

（閩江學(xué)院 數(shù)學(xué)系，福建 福州 350108）

數(shù)學(xué)分析是高等院校數(shù)學(xué)類各專業(yè)主干課程之一，是數(shù)學(xué)各專業(yè)碩士研究生入學(xué)考試的必考課程.數(shù)學(xué)分析內(nèi)容豐富，知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，理論體系嚴(yán)謹(jǐn)，解題方法靈活巧妙.主要包括一元函數(shù)極限、一元函數(shù)的連續(xù)性、一元微分學(xué)、一元函數(shù)積分學(xué)、級(jí)數(shù)、多元函數(shù)微分學(xué)、多元函數(shù)積分學(xué)等，分別涉及七章內(nèi)容[1，2].學(xué)生在復(fù)習(xí)考研數(shù)學(xué)分析時(shí)，主要通過(guò)例題體會(huì)和掌握相應(yīng)內(nèi)容的思想方法和解題技巧，通過(guò)習(xí)題訓(xùn)練達(dá)到鞏固基礎(chǔ)知識(shí)，提高理論水平和應(yīng)用能力.如何掌握好該課的基本內(nèi)容并能熟練地運(yùn)用其中的基本技巧至關(guān)重要.

本文作者根據(jù)多年的教學(xué)研究與實(shí)踐，依據(jù)考研大綱[3，4]，結(jié)合高等院校碩士研究生的入學(xué)考試試題，對(duì)考研數(shù)學(xué)分析的重點(diǎn)內(nèi)容及常見(jiàn)題型進(jìn)行歸納和總結(jié)，使其所涉及的知識(shí)點(diǎn)之間相互關(guān)系清晰明了，同時(shí)也將數(shù)學(xué)分析課程要求學(xué)生掌握的知識(shí)體系體現(xiàn)出來(lái)，可供學(xué)生考研復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)分析時(shí)參考，對(duì)教師進(jìn)行數(shù)學(xué)分析教學(xué)也具有參考價(jià)值.

1 一元函數(shù)極限

極限是考研熱點(diǎn)問(wèn)題.本章包含四個(gè)部分，即函數(shù)；用定義證明極限的存在性；求極限值的若干方法；O.Stolz公式.其中極限的求法是核心.

重點(diǎn)內(nèi)容：（1）極限定義，基本理論.（2）幾個(gè)常用的不等式.（3）極限存在性的證明.（4）極限的求法.（5）實(shí)數(shù)基本定理.

常見(jiàn)題型：（1）幾個(gè)常用的不等式的證明.（2）用定義證明極限.（3）利用單調(diào)有界原理證明極限存在.（4）求極限（利用等價(jià)量、利用已知極限、利用兩邊夾法則、利用洛必達(dá)法則、利用Taylor公式、利用定積分定義、利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件）.（5）實(shí)數(shù)基本定理的應(yīng)用.

2 一元函數(shù)的連續(xù)性

本章包含連續(xù)性的證明、連續(xù)性的應(yīng)用、一致連續(xù)、半連續(xù)、函數(shù)方程.

重點(diǎn)內(nèi)容：（1）函數(shù)連續(xù)性的證明，證明的主要方法有：用定義證明、用左右極限證明（對(duì)分段函數(shù)）、用歸結(jié)原則證明.（2）連續(xù)性的應(yīng)用（假定函數(shù)連續(xù)，證明在某些條件下有什么結(jié)果）.（3）一致連續(xù)性.

常見(jiàn)題型：（1）直接證明函數(shù)在某區(qū)間或某點(diǎn)連續(xù).（2）討論間斷點(diǎn)的類型.（3）連續(xù)性的應(yīng)用（假定函數(shù)連續(xù)，證明在某些條件下有什么結(jié)果）.（4）利用一致連續(xù)的定義及其否定形式證題.（5）Cantor定理的應(yīng)用.（6）借助連續(xù)模數(shù)證明一致連續(xù).

3 一元微分學(xué)

本章是基礎(chǔ)性內(nèi)容，包含導(dǎo)數(shù)；微分中值定理；Taylor公式；不等式與凸函數(shù)；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.一元函數(shù)微分學(xué)在微積分學(xué)中占有極重要的位置，是微積分學(xué)的重要內(nèi)容之一.

重點(diǎn)內(nèi)容：（1）函數(shù)導(dǎo)數(shù)與微分的概念.（2）微分中值定理——羅爾中值定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理與泰勒中值定理.（3）Taylor公式.（4）導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.

常見(jiàn)題型：（1）利用導(dǎo)數(shù)（或左右導(dǎo)數(shù)）定義解題.（2）求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù).（3）函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題討論（利用Rolle定理證明零點(diǎn)的存在性，利用單調(diào)性證明零點(diǎn)的唯一性）.（4）利用Lagrange定理證明函數(shù)與函數(shù)的導(dǎo)數(shù)同時(shí)存在的命題.（5）利用導(dǎo)數(shù)法證明恒等式.（6）導(dǎo)數(shù)介值性的應(yīng)用.（7）利用Cauchy中值定理證題.（8）利用Taylor公式證明含有高階導(dǎo)數(shù)的命題.（9）利用Taylor公式作導(dǎo)數(shù)的中值估計(jì)、界的估計(jì).（10）利用Taylor公式求極限.（11）不等式的證明（利用單調(diào)性、微分中值定理、Taylor公式、函數(shù)的極值、單調(diào)極限證明）.（12）導(dǎo)數(shù)在幾何中的應(yīng)用.

4 一元函數(shù)積分學(xué)

本章包含積分與極限、定積分的可積性、積分值的估計(jì)、積分不等式及定積分的應(yīng)用、若干著名的不等式、反常積分.一元函數(shù)積分學(xué)是一元函數(shù)微積分學(xué)的最重要內(nèi)容，涉及面較廣，影響深遠(yuǎn).

重點(diǎn)內(nèi)容：（1）定積分的定義、幾何意義、性質(zhì).（2）利用定積分定義求極限.（3）積分的極限.（4）積分值的估計(jì).（5）幾個(gè)著名不等式（Cauchy不等式、Schwarz不等式、平均值不等式）.（6）反常積分的概念、計(jì)算、斂散性的判斷.

常見(jiàn)題型：（1）利用定積分的定義求和式的極限.（2）運(yùn)用定積分的各種特性和運(yùn)算法則求積分的極限.（3）利用變量替換、分部積分、縮放被積函數(shù)或積分區(qū)間、微分中值公式或Taylor公式對(duì)被積函數(shù)進(jìn)行變形，從而估計(jì)積分值.（4）幾個(gè)著名不等式（Cauchy不等式、Schwarz不等式、平均值不等式）的證明、變形及應(yīng)用.（5）利用Newton-Leibniz公式、變量替換、分部積分法計(jì)算反常積分.（6）判定反常積分的斂散性.（7）討論無(wú)窮限的反常積分的收斂性與無(wú)窮遠(yuǎn)處的極限的關(guān)系.

5 級(jí)數(shù)

級(jí)數(shù)是一門工具，又有完善的理論，是《數(shù)學(xué)分析》課程中三大基本內(nèi)容之一.歷年來(lái)均為考研熱點(diǎn).本章包含數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)、冪級(jí)數(shù)及Fourier級(jí)數(shù)四個(gè)部分.

重點(diǎn)內(nèi)容：（1）數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散定義，正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散判別法（Cauchy準(zhǔn)則、判階法、比較判別法、根式判別法等），變號(hào)級(jí)數(shù)收斂性判別法.（2）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)（及序列）一致收斂的定義及判別法.（3）一致收斂級(jí)數(shù)的性質(zhì)（三大解析性質(zhì)：連續(xù)性、可積性、可微性）.（4）冪級(jí)數(shù)的收斂半徑與收斂域，冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)的性質(zhì).（5）傅立葉級(jí)數(shù)——傅立葉級(jí)數(shù)的概念，函數(shù)展開(kāi)成傅立葉級(jí)數(shù)，正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù).

常見(jiàn)題型：（1）利用Cauchy準(zhǔn)則證明級(jí)數(shù)斂散性.（2）利用判階法及比較判別法證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)斂散性.（3）利用部分和有界證明正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂.（4）利用Leibniz定理、Abel判別法、Dirichlet判別法研究變號(hào)級(jí)數(shù)收斂性.（5）利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限或證明極限存在.（6）函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一致收斂的證明（利用定義、Cauchy準(zhǔn)則、M判別法、A-D判別法）.（7）一致收斂級(jí)數(shù)逐項(xiàng)取極限定理及其應(yīng)用.（8）和函數(shù)連續(xù)性、可微性、可積性的應(yīng)用.（9）求冪級(jí)數(shù)收斂半徑、收斂域及和函數(shù)（將級(jí)數(shù)通過(guò)代數(shù)運(yùn)算、變量置換、逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等手段化成已知和函數(shù)的級(jí)數(shù)，如幾何級(jí)數(shù)，從而求得和函數(shù)）.（10）求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和（由定義求部分和數(shù)列的極限，或?qū)⑵淇醋髂硞€(gè)冪級(jí)數(shù)或某個(gè)傅立葉級(jí)數(shù)在某點(diǎn)處的值，先求出該冪級(jí)數(shù)或傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)，再求出該數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和）.

6 多元函數(shù)微分學(xué)

本章包含多元函數(shù)的極限與連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和全微分、多元函數(shù)的應(yīng)用三部分.

重點(diǎn)內(nèi)容：（1）多元函數(shù)（主要是二元、三元函數(shù)）的概念、極限與連續(xù).（2）多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)和全微分.（3）多元函數(shù)微分在幾何上的應(yīng)用.（4）多元函數(shù)的極值和條件極值.（5）方向?qū)?shù)和梯度.

常見(jiàn)題型：（1）多元函數(shù)極限的計(jì)算.（2）證明二元函數(shù)極限不存在.（3）關(guān)于全面極限愈特殊路徑極限的討論.（4）求多元函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù)與全微分.（5）討論二元函數(shù)連續(xù)性與可微性.（6）求復(fù)合函數(shù)的一階、二階偏導(dǎo)數(shù).（7)對(duì)微分方程作變量替換.（8）求空間曲線的切線與法平面方程.（9）求曲面的切平面和法線方程.（10）求多元函數(shù)的極值與最大、最小值.（11）利用極值證明不等式.（12）利用拉格朗日乘數(shù)法求多元函數(shù)的條件極值.（13）證明隱函數(shù)的存在性.（14）求多元函數(shù)的方向?qū)?shù)和梯度.

7 多元積分學(xué)

本章包含含參變量積分、重積分、曲線積分與Green公式、曲面積分Gauss公式及Stokes公式、場(chǎng)論等五大部分.多元函數(shù)積分學(xué)是多元函數(shù)微積分學(xué)的重要內(nèi)容，涉及三大類重要積分，應(yīng)用面較廣.

重點(diǎn)內(nèi)容：（1）含參變量積分的正常積分、含參變量積分反常積分的一致收斂性、含參變量積分反常積分的連續(xù)性、可積性、可微性.（2）二重積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算.（3）三重積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算.（4）曲線積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算.（5）格林公式，平面上曲線積分與路徑無(wú)關(guān)的充要條件.（6）曲面積分的概念、性質(zhì)與計(jì)算.（7）高斯公式與斯托克斯公式.（8）梯度、散度與旋度的概念及各種公式.

常見(jiàn)題型：（1）含參變量積分正常積分的積分號(hào)下求極限、積分號(hào)下求導(dǎo)、積分號(hào)下求積分.（2）證明含參變量積分反常積分的一致收斂性.（3）含參變量積分反常積分的積分號(hào)下求極限、積分號(hào)下求導(dǎo)、積分號(hào)下求積分.（4）證明含參變量積分反常積分的連續(xù)性.（5）利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)計(jì)算二重積分.（6）直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分.（7）二重積分、三重積分在幾何和物理上的應(yīng)用，如求面積、體積、質(zhì)量、重心坐標(biāo)、引力等.（8）曲線積分的計(jì)算（利用對(duì)稱性、利用格林公式、利用與路徑無(wú)關(guān)性）.（9）曲面積分的計(jì)算（利用對(duì)稱性、利用公式、利用高斯公式）.（10）斯托克斯公式的應(yīng)用.