中考數(shù)學(xué)壓軸題的特點(diǎn)及復(fù)習(xí)策略

浙江省臨海市永豐鎮(zhèn)中學(xué) 翁靈春

中考數(shù)學(xué)壓軸題歷來是篩選數(shù)學(xué)優(yōu)等生的重要手段，學(xué)生能不能解壓軸題，是數(shù)學(xué)能否取得高分和取勝中考的關(guān)鍵因素，因此不能忽視數(shù)學(xué)壓軸題的重要性。就目前中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的情況來看，很多教師已經(jīng)充分地認(rèn)識到了數(shù)學(xué)壓軸題的重要性，在復(fù)習(xí)的過程中有意識地加大訓(xùn)練力度，但是其訓(xùn)練效果并沒有得到明顯的提高。要想在復(fù)習(xí)中提高學(xué)生中考數(shù)學(xué)壓軸題的解題能力，就應(yīng)讓師生雙方都意識到中考數(shù)學(xué)壓軸題的特點(diǎn)，從而進(jìn)行有目的性的學(xué)習(xí)。

一、中考數(shù)學(xué)壓軸題的特點(diǎn)

初中階段是學(xué)生邏輯思維發(fā)展的最關(guān)鍵時期，數(shù)學(xué)知識的點(diǎn)點(diǎn)滴滴都是對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)、對數(shù)學(xué)思想的滲透，總體來說都是對學(xué)生綜合能力的培養(yǎng)和鍛煉。中考數(shù)學(xué)壓軸題不是對學(xué)生具體知識點(diǎn)的掌握情況的考查，也不是對學(xué)生的具體解題思想方法的運(yùn)用情況的掌握程度進(jìn)行考查，而是要綜合考查學(xué)生的能力和素養(yǎng)。所以中考數(shù)學(xué)壓軸題所涉及的知識點(diǎn)的范圍十分廣泛，對相應(yīng)的數(shù)學(xué)思維方法的考查也比較全面?？偟膩碚f，中考數(shù)學(xué)壓軸題的特點(diǎn)主要有以下幾點(diǎn)：考查學(xué)生對基礎(chǔ)知識和基本技能的掌握情況；考查學(xué)生靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識解決生活實(shí)際問題的能力；考查學(xué)生巧妙運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法的綜合能力；考查學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)研究的能力。

二、中考數(shù)學(xué)壓軸題的復(fù)習(xí)策略

1.在掌握基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上轉(zhuǎn)變思維方式

數(shù)學(xué)知識之間有著千絲萬縷的聯(lián)系，相輔相成，復(fù)雜的數(shù)學(xué)知識必須以基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識為基礎(chǔ)，對于學(xué)生而言，只有全面深入地了解和掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，才能有效理解問題、解決問題，增強(qiáng)解題能力。由此可見，基礎(chǔ)的定義、概念和公式的融會貫通，才是解題能力提高的關(guān)鍵。

一般來說，學(xué)生對于壓軸題的態(tài)度都是比較輕視的，他們認(rèn)為壓軸題一定是偏難的題目，因而直接放棄做壓軸題。但實(shí)際上，壓軸題是由很多基礎(chǔ)概念組成的，只有在全面理解基礎(chǔ)概念的基礎(chǔ)上，才能將所學(xué)知識正確運(yùn)用到壓軸題的解決當(dāng)中，走出解題的誤區(qū)和僵局。

其次，在學(xué)生熟練掌握基礎(chǔ)知識的基礎(chǔ)上，還要學(xué)會轉(zhuǎn)變思維方式，從而巧妙解決數(shù)學(xué)問題。變換是幾何與代數(shù)問題都會用到的解題方法，在圖形的旋轉(zhuǎn)、平移、對稱等問題以及代數(shù)的恒等變換中都會用到轉(zhuǎn)換思想。

如：a，b，c，d均為正整數(shù)，求證：存在一個三角形，其三邊之長為

2.問題的有效分解

中考數(shù)學(xué)壓軸題涉及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的很多細(xì)小知識點(diǎn)，具有很強(qiáng)的綜合性，面對這樣的問題，就必須學(xué)會把大問題進(jìn)行分解，分解變成多個小問題，再利用學(xué)生對各個知識點(diǎn)的掌握情況逐一進(jìn)行解決，從而實(shí)現(xiàn)對壓軸題目的解決。因此，在中考復(fù)習(xí)的過程中，教師要有意識地培養(yǎng)和鍛煉學(xué)生分解壓軸題的能力，在實(shí)際的訓(xùn)練中增強(qiáng)訓(xùn)練力度。

以2011年江蘇省泰州市的中考數(shù)學(xué)壓軸題為例，具體題面如下：如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，邊長為a（a為大于0的常數(shù)）的正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點(diǎn)P，頂點(diǎn)A在x軸正半軸上運(yùn)動，頂點(diǎn)B在y軸的正半軸上運(yùn)動（x軸的正半軸、y軸的正半軸都不包含原點(diǎn)O），頂點(diǎn)C、D總在第一象限。

（1）當(dāng)∠BAO=45°時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）求證：無論點(diǎn)A在x軸正半軸上、點(diǎn)B在y軸正半軸上怎樣運(yùn)動，點(diǎn)P都在∠AOB的平分線上；

（3）設(shè)點(diǎn)P到x軸的距離為h，試確定h的取值范圍并說明理由。

分析：對題目進(jìn)行解析不難發(fā)現(xiàn)，這道題要考查的知識點(diǎn)主要包括正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線性質(zhì)、三角函數(shù)等，因而我們只要把題目分解成幾個小知識點(diǎn)就不難應(yīng)付了。（1）當(dāng)∠BAO=45°時，利用正方形對角線性質(zhì)，能證明四邊形OAPB是正方形，從而求出P點(diǎn)的坐標(biāo)。（2）要證明P點(diǎn)在角平分線上，想到角平分線的性質(zhì)逆定理，因而過P點(diǎn)添作x軸和y軸的垂線，利用三角形全等證明線段相等，從而得以證明。（3）點(diǎn)P到x軸的距離與PE的長度是相等的，而PA與PE之間的夾角必然在0°到45°的范圍之內(nèi)，設(shè)這一夾角為α，這一距離將能通過PA·cosα來計(jì)算，其長度范圍自然也確定了。

3.數(shù)形結(jié)合，破解壓軸題

數(shù)形結(jié)合在解決幾何問題與函數(shù)問題中是常用的方法，會使問題形象直觀化，有時在壓軸題的解決過程中，把題目中的數(shù)字與圖形結(jié)合起來是一種相當(dāng)有效的方法。將抽象的語言文字轉(zhuǎn)化為形象的數(shù)學(xué)圖形，從而降低題目的難度。有些時候，幾何問題與代數(shù)問題不能運(yùn)用對應(yīng)的方法進(jìn)行解決，而要進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化，運(yùn)用不同的角度和思維，用幾何方法解決代數(shù)問題或用代數(shù)方法解決幾何問題，就能有效降低題目難度，將復(fù)雜的問題變得簡單化，提高解題的效率。

例如，已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如右圖所示，若關(guān)于x 的方程ax2+bx+c-k=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則k的取值范圍為（）

A.k＞3 B.k＜3 C.k=3 D.無法確定

解析：這種類型的題目一旦給出，一般情況下，都是對數(shù)形結(jié)合思想進(jìn)行考查。就本題而言，如果直接根據(jù)b2-4ac的符號來進(jìn)行解答情況的判定，那么這個題目就無法求解。因此必須應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想將原方程變形，變形后的方程為ax2+bx+c=k，將這兩個方程看作兩個函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，可以列出這樣的式子：①y=ax2+bx+c，②y=k。然后結(jié)合圖象，可知只有當(dāng)y=k＜3時，函數(shù)一定與拋物線有兩個不同的交點(diǎn)，由此就可以確定答案為B。

總之，中考數(shù)學(xué)壓軸題是對初中學(xué)生閱讀能力、分析問題能力、轉(zhuǎn)譯和改造能力的考查，把復(fù)雜問題變?yōu)楹唵位?、綜合變?yōu)榛?，善于轉(zhuǎn)化與聯(lián)想的能力以及對信息的連貫合理處理、加工信息能力的考查。因此，只有在全面掌握中考數(shù)學(xué)壓軸題特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，才能運(yùn)用科學(xué)合理的方法進(jìn)行問題的解決。

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