基于GARCH模型的期權(quán)定價研究

張嫂玲

[摘要]2015年2月9號，華夏上證50ETF正式上市交易，成為中國股票市場上第一只正式上市交易的期權(quán)，開啟了中國期權(quán)發(fā)展的新時期。傳統(tǒng)的期權(quán)定價理論Black-Scholes定價模型中假定股價的波動服從標準正態(tài)分布，而實際上股價的波動率呈現(xiàn)尖峰厚尾的分布，因此不能直接用于期權(quán)價格的計算中。本文利用GARCH模型對方差進行修正，利用得到的無條件方差代入Black-Scholes定價公式中，計算上證50ETF期權(quán)的理論價格，并與市場上相同期限和交易條件的上證50ETF期權(quán)的實際價格進行比較，分析兩者產(chǎn)生差異的原因。

[關鍵詞]上證50ETF GARCH模型 期權(quán)定價

一、引言

早在18世紀的時候，歐洲和美國就已經(jīng)開始了期權(quán)交易，1973年美國成立芝加哥交易所，這是世界上第一個期權(quán)交易所，從此期權(quán)交易開始了統(tǒng)一、標準化的全面發(fā)展。國外關于期權(quán)定價方面的研究早在1900年就開始了，路易斯巴舍利在《投機理論》一文中，首次提出股票的價格運動過程為絕對的布朗運動，從而提出了第一個期權(quán)定價方程。1973年，Black和Scholes提出了著名的Black-Scholes期權(quán)定價方程，它是現(xiàn)代期權(quán)定價理論的基礎，從此以后，關于期權(quán)定價的理論得到了快速的發(fā)展，國外的期權(quán)市場也快速發(fā)展成熟起來。

反觀國內(nèi)的期權(quán)市場的發(fā)展則比較緩慢。直到2015年2月9號，華夏上證50ETF期權(quán)才正式上市交易，這是我國A股市場上的第一個期權(quán)產(chǎn)品。隨著期權(quán)在交易所的正式上市，2016年，國內(nèi)股票期權(quán)市場取得巨大發(fā)展。截至2016年11月末，上證50ETF期權(quán)總成交量達6622萬張，同比增長270%；上證50ETF期權(quán)累計權(quán)利金成交金額為365.09億元，相比2015年同期的200.67億元增長81.93%。11月上證50ETF期權(quán)總成交量達到1281.46萬張，同比增長204.38%。其中，認購成交783.7萬張，認沽成交497.76萬張，同比增長了232.78%和168.33%。

隨著我國金融市場的進一步成熟完善，未來肯定會有越來越多的期權(quán)產(chǎn)品推出，而對相應期權(quán)產(chǎn)品的定價研究也是必要的。經(jīng)典的BS期權(quán)定價模型在進行期權(quán)的定價時，通常假定股價的收益率是服從標準正態(tài)分布，然而實證數(shù)據(jù)表明，一般股票的收益率呈現(xiàn)尖峰厚尾的分布，并不是嚴格的正態(tài)分布過程，它的方差是隨著時間的變化而變化的，因此我們不能直接采用正態(tài)分布來進行估計。在本文中，我們首先采用GARCH模型來對股票的波動率進行修正，然后運用GARCH模型求出股票對數(shù)收益率的無條件方差，將這個無條件方差作為指數(shù)價格的波動率運用于Black-Scholes公式來進行期權(quán)的定價，最后與市場上華夏上證50ETF期權(quán)的實際價格進行比較分析。

二、模型設定

（一）GARCH模型

傳統(tǒng)上，我們研究時間序列數(shù)據(jù)時，通常假定它的方差是一個常數(shù)，但是在后面的研究中發(fā)現(xiàn)對于時間序列數(shù)據(jù)，在一段時間內(nèi)，隨機擾動項波動幅度較大，在另一段時間內(nèi)，隨機擾動項的波動幅度又比較小，呈現(xiàn)叢聚性。一般來說，由于不同的時間段所獲得的信息是不一樣的，因此它的方差并不是一直保持不變的，而是隨著時間的變化而變化，受到之前變化的影響。為了刻畫方差的變化，1982年，恩格爾教授第一次提到了自回歸條件異方差模型，也就是ARCH模型。該模型將當前一切可以得到的信息作為條件，運用自回歸方程來刻畫方差的變化，解決了時間序列波動率不呈現(xiàn)正態(tài)分布的問題。但是當ARCH模型中殘差的滯后項太多時，模型自由度損失過多會損失很多的信息，Bollerslov于1986在Engle的ARCH模型的基礎上提出了GARCH模型，用來反映數(shù)據(jù)中的長期記憶，GARCH（1，1）模型就相當于無窮階的ARCH模型。因此一般在金融研究中，我們使用GARCH（1，1）模型來代替多階的ARCH模型。

（～）GARCH模型的穩(wěn)定性條件

無條件方差是序列的長期波動率，它是一個穩(wěn)定的方差，無條件方差是一個常數(shù)，可以利用GARCH模型計算出來。通過GARCH（p，q）模型得到如下方程：

GARCH模型是協(xié)方差穩(wěn)定的，是經(jīng)典回歸，因此我們可以利用這個求出無條件方差，即vat（e0。條件方差是在已有的信息集下的波動率，基于現(xiàn)在和過去的信息。而無條件方差則是時間序列的長期方差，包含了所有的信息，過去的，現(xiàn)在的，未來的，它包含的信息量更大，所以最后我們用它作為股指的波動率來估算期權(quán)的價格。

GARCH模型是協(xié)方差穩(wěn)定的，是經(jīng)典回歸，因此我們可以利用這個求出無條件方差，即var（ε_t）。條件方差是在已有的信息集下的波動率，基于現(xiàn)在和過去的信息。而無條件方差則是時間序列的長期方差，包含了所有的信息，過去的，現(xiàn)在的，未來的，它包含的信息量更大，所以最后我們用它作為股指的波動率來估算期權(quán)的價格。

三、實證分析

本文選取華夏上證50ETF為研究對象，選取了從2015年2月9日華夏上證50ETF期權(quán)正式上市第一天到2016年12月24日的收盤價，扣除節(jié)假日和股市的休市日，共計455個數(shù)據(jù)為研究對象（數(shù)據(jù)來源于同花順）。

（一）ARCH效應的檢驗

首先對上證50ETF收盤價取對數(shù)收益率令其為r=logS_t-logS_t-1，通過STATA作出時序圖（圖略）發(fā)現(xiàn)50ETF收益率的波動呈現(xiàn)明顯的叢聚現(xiàn)象，較大的波動后面跟著大幅波動，而小的波動后面也多是小幅度的波動，初步判定其存在ARCH效應。通過正態(tài)分布折線圖也可以看出其對數(shù)收益率呈現(xiàn)明顯的尖峰厚尾特征，存在明顯的ARCH效應。

（二）平穩(wěn)性檢驗

在對時間序列進行具體的分析估計前，先采用的經(jīng)典的ADF檢驗看是否穩(wěn)定，結(jié)果如表1所示。我們可以看到，無論是在5%的置信水平下或者1%的置信水平下，數(shù)據(jù)都通過了檢驗，我們認為該組數(shù)據(jù)是平穩(wěn)的時間序列，可以建立回歸方程。

（三）ARCH-LM檢驗和GARCH模型的建立

在進行ARCH-LM檢驗前，先對對數(shù)收益率r建立回歸方程，得到殘差項，然后運用A.RCH—LM檢驗檢驗殘差項是否存在ARCH效應，結(jié)果表明殘差項存在高階的ARCH效應，為了減少自由度的損失，我們放棄ARcH模型，建立GARCH（1，1）模型。具體模型為：

由等式可知，α+β=0.9396006+0.0578838=0.997484，非常接近于1，說明沖擊是持續(xù)有效的，可用于未來行情預測，模型是有效的。我們通過GARCH模型的條件方差方差可以求出華夏上證50ETF的長期穩(wěn)定方差為

（四）模型有效性的檢驗

在得到波動率以后，對GARCH模型得到的修正后的殘差進行白噪聲檢驗，發(fā)現(xiàn)殘差的平方和殘差均服從正態(tài)分布，不再存在ARCH效應，因此我們得到的GARCH模型是有效的，可以消除原對數(shù)收益率的叢聚效應。

（五）期權(quán)的價格

將經(jīng)過GARCH模型修正過后的平穩(wěn)的年化波動率代入Black-scholes公式得到華夏上證50指的期權(quán)理論價格，其中無風險利率r采用市場上當日的shibor一年期利率代替，然后與市場是實際的期權(quán)價格進行對比，結(jié)果如下表2、表3所示（期權(quán)市場價格數(shù)據(jù)來自于Wind）。

四、結(jié)果分析

從表2可以看出，認購期權(quán)的價格算出來普遍高于市場上實際的期權(quán)價格，而從表3來看，認沽期權(quán)的價格普遍低于市場實際的期權(quán)價格。

一個方面是由于市場上投資者對未來期權(quán)價格預期造成的。近來期權(quán)市場上認購期權(quán)的價格普遍下跌，而認沽期權(quán)的價格普遍上漲，說明投資者普遍認為當前上證50ETF定價過高，未來價格會有所下降，因此導致認購期權(quán)需求下降，價格下跌，認沽期權(quán)需求增加，價格上升。我國期權(quán)市場尚處于起步階段，市場并不能完全公平定價，價格很大程度上會受到投資者預期的影響。

另一個方面是模型本身存在一定的不足。GARCH模型可以很好地描述高階的ARCH過程，但是實證研究表明收益率殘差的正負會對收益率產(chǎn)生非對稱效應影響，但是GARCH模型假定條件方差是滯后殘差的平方的函數(shù)，殘差的符號并不會影響波動率的大小，導致模型并不能反映出這種非對稱差異，所以最后的結(jié)果也會存在一定的偏差。在實際中我們也可以看到利空的消息對股票收益率的影響是遠遠大于利好消息帶來的正面的影響的。另外，為了保證非負，在GARCH模型的GARCH項方程中假定所有的系數(shù)都是正的。這些約束會使得在估計GARCH模型時可能會出現(xiàn)震蕩現(xiàn)象。

再者是我國的期權(quán)定價市場還不夠完善。我國2015年才正式開始了股指期權(quán)的上市交易，市場遠沒有國外市場成熟，同時國內(nèi)的股票市場也并不是一個完全的有效市場，所以市場交易價格并不能完全反應所有的信息。