連續(xù)射擊過程中加速運(yùn)動彈丸激勵下身管橫向振動特性研究

周奇鄭， 趙 洋， 王德石

(海軍工程大學(xué) 兵器工程系，武漢 430033)

火炮振動對射擊精度有重要影響，炮口振動一直是研究者關(guān)心的主要問題。炮口運(yùn)動狀態(tài)影響了彈丸出口的初始狀態(tài)，決定了彈丸的外彈道特性。連續(xù)射擊過程中，彈丸激勵身管振動的累積導(dǎo)致了炮口振動幅度的增加，使彈著點(diǎn)的散布增大，致使火炮射擊精度降低。因此，研究連續(xù)射擊過程中，彈丸加速運(yùn)動對身管振動特性的影響規(guī)律，對確定火炮的射速、提高射擊精度具有重要的理論與實(shí)際意義。

火炮的振動在實(shí)際射擊過程中是不可避免的，其對射擊精度的影響最終是由炮口振動反映出來的。發(fā)射過程中身管的受力情況十分復(fù)雜，通常僅考慮膛內(nèi)壓力、身管和彈丸的重力，但實(shí)際上還應(yīng)包含身管及彈丸的各類慣性力、布爾登載荷、膛內(nèi)旋轉(zhuǎn)摩擦力矩、身管配套裝置的作用力等[1]。由于身管尺寸大，剛度小，加之承受高膛壓及高速運(yùn)動彈丸的沖擊作用，其振動有其特殊性，故許多學(xué)者把火炮振動研究的重點(diǎn)集中在身管的振動上。理論上，身管的振動可歸結(jié)為懸臂梁的振動，彈丸可簡化為移動質(zhì)量，即身管振動可轉(zhuǎn)化為移動質(zhì)量作用下懸臂梁的振動。張永昌等[2]在等截面Bernoulli-Euler梁理論的基礎(chǔ)上，考慮射擊過程中身管的剪切變形、彈丸慣性力矩等作用，建立了火炮身管橫向振動的二階偏微分方程。利用此方程可確定內(nèi)膛彎曲度、身管熱變形、彈丸偏心率、內(nèi)彈道諸元和身管結(jié)構(gòu)等對射彈散布的影響。葉開沅等[3]針對列車過橋的整個過程，采用小參數(shù)法給出了任意單個移動激勵作用下鐵路橋梁動力學(xué)方程的一般解。文獻(xiàn)[4]將葉開沅等的分析方法應(yīng)用于火炮振動領(lǐng)域，研究了彈丸膛內(nèi)運(yùn)動引起的火炮身管橫向振動問題，給出了單發(fā)及連發(fā)射擊時炮管橫向振動的一般解，進(jìn)行了定性分析，未給出定量計算結(jié)果。姜沐等[5]將彈丸膛內(nèi)運(yùn)動近似處理為勻加速運(yùn)動，建立了加速彈丸作用下火炮身管振動方程，并給出了級數(shù)形式的解析解和定量計算結(jié)果。史躍東等[6]在考慮彈丸勻速運(yùn)動慣性效應(yīng)的基礎(chǔ)上，研究了身管振動特性，給出了解析解，分析了不同運(yùn)動參數(shù)對炮口振動的影響規(guī)律，給出了定量比較結(jié)果。朱文芳等[7]利用一維兩相流內(nèi)彈道模型及一維圓管熱傳導(dǎo)模型，描述了某榴彈炮多發(fā)連續(xù)射擊過程中身管的傳熱過程。目前，國外關(guān)于火炮身管振動方面的研究鮮見報道，Michaltaos等[8]研究了移動質(zhì)量對簡支梁的影響，對研究的背景未作深入的闡述。

由于在彈丸加速運(yùn)動激勵的振動系統(tǒng)中，彈丸的瞬時沖擊作用將使得身管的固有特性隨運(yùn)動位移或運(yùn)動時間變化，使得求解彈丸連續(xù)沖擊作用下身管的振動更為復(fù)雜。因此，到目前為止，在火炮振動研究領(lǐng)域內(nèi)，關(guān)于這方面的研究工作還較少，理論分析與定量計算也不多。在以往研究的基礎(chǔ)上，本文將建立彈丸膛內(nèi)加速運(yùn)動下火炮身管橫向振動方程，研究火炮連續(xù)射擊過程中身管振動特性，為確定火炮的射速、提高射擊精度提供技術(shù)基礎(chǔ)。

1 加速彈丸作用下身管橫向振動方程

將身管簡化為Bernoulli-Euler均勻等截面懸臂梁，假定彈丸在膛內(nèi)加速運(yùn)動，考慮圖1所示的身管橫向振動模型。圖1中：mp為彈丸質(zhì)量；θ為射角；l為身管長度；v、a為彈丸膛內(nèi)運(yùn)動速度和加速度；y(x,t)為身管在坐標(biāo)(x,0)處的撓度；F(t)為不計慣性效應(yīng)時彈丸膛內(nèi)運(yùn)動作用于身管上的等效合外力。

圖1 彈丸加速運(yùn)動作用下身管橫向振動模型Fig.1 Transverse vibration model of barrel subjected to accelerating projectile

設(shè)身管的抗彎剛度為EI， 密度為ρ， 橫截面積為A。 取縱坐標(biāo)為OY，橫坐標(biāo)為OX。在計及阻尼和彈丸慣性效應(yīng)時，加速彈丸作用下身管的橫向振動方程為(OY方向?yàn)檎?

(1)

y,x|x=0=0,y|x=0=0
y,xx|x=l=0,y,xxx|x=l=0

(2)

y,t|t=0=v0,y|t=0=y0

(3)

由于彈丸與身管的質(zhì)量比ε=mp/M?1，取其為小參數(shù)，式(1)可寫為

y,tt+2Hy,t+Gy,xxxx=lδ(x-ζ)(-f(t)-
ε(y,tt+ay,xt+2vy,xt+v2y,xx))

(4)

2 第一發(fā)彈丸作用下身管橫向振動方程的解

對于式(4)，在邊界條件式(2)和初始條件式(3)下，可采用小參數(shù)法進(jìn)行求解。將式(4)的解y展開為小參數(shù)ε的冪級數(shù)形式，即

y(x,t)=y0(x,t)+εy1(x,t)+
ε2y2(x,t)+…

(5)

將式(5)代入式(2)～式(4)中，同時將ε因次相同的項(xiàng)合并在一起，可得一系列關(guān)于y0，y1，y2，…及相應(yīng)邊界條件、初始條件的微分方程。

對于y0，有如下方程、邊界條件和初始條件

y0,tt+2Hy0,t+Gy0,xxxx=-f(t)lδ(x-ζ)

(6)

y0,x|x=0=0,y0|x=0=0
y0,xx|x=l=0,y0,xxx|x=l=0

(7)

y0,t|t=0=0,y0|t=0=0

(8)

令y0的解為

(9)

(10)

(11)

采用Duhamel積分求解式(10)，可得

(12)

(13)

對于y1，有如下方程，邊界條件和初始條件

y1,tt+2Hy1,t+Gy1,xxxx=-lδ(x-ζ)(y0,tt+
ay0,xt+2vy0,xt+v2y0,xx)

(14)

y1,x|x=0=0,y1|x=0=0
y1,xx|x=1=0,y1,xxx|x=1=0

(15)

y1,t|t=0=0,y1|t=0=0

(16)

令y1的解為

(17)

將式(13)、式(17)代入式(14)和式(16)中，可得如下方程及初始條件

(18)

(19)

對于y2，y3，…，可按同樣思路求解，將其全部代入式(5)，即可得身管橫向振動位移y級數(shù)形式的解析表達(dá)式。

3 連續(xù)射擊過程中身管橫向振動方程的解

由于火炮機(jī)械條件的限制，只有前一發(fā)彈丸射出身管之后才能裝填下一發(fā)彈丸，因此，連續(xù)射擊過程中，對于第j發(fā)彈丸激勵下身管的振動，其方程同式(1)，只是方程的初始條件發(fā)生了變化，即

yj,t|t=0=yj-1,t(jtg),yj|t=0=yj-1(jtg)

(20)

式中：tg為射擊間隔。同樣可以采用小參數(shù)法進(jìn)行求解，對于第j發(fā)彈丸激勵的振動yj,0有

(21)

采用類似方式，可以得到對應(yīng)于第j發(fā)彈丸的其余方程，從而可以得到連續(xù)射擊過程中，身管的振動響應(yīng)。

4 振動算例

考慮彈丸膛內(nèi)的變加速運(yùn)動，將彈丸對身管的作用力分兩種情形討論，一種為彈丸無質(zhì)偏的情形，一種為彈丸有質(zhì)偏的情形。

4.1 彈丸無質(zhì)偏

當(dāng)不考慮彈丸質(zhì)偏時，式(1)中等效合外力F(t)即為彈丸質(zhì)量對身管的作用力，有

(22)

由于f(t)為ε的一次式，易知采用小參數(shù)法求解振動方程時，y中的y0分量恒為0，即只須計算ε的非0次項(xiàng)，設(shè)

y(x,t)=εy1(x,t)+ε2y2(x,t)+…

(23)

將式(22)、式(23)代入式(4)中，整理可得對應(yīng)于yq和uq(q=1,2,…)的振動方程，以y1和u1為例有

y1,tt+2Hy1,t+Gy1,xxxx= -lgcosθδ(x-ξ)

(24)

式(24)邊界條件、初始條件和求解方法與前面介紹的完全一致，在此不再贅述。求得y1，采用類似方法可迭代求出y中其余各項(xiàng)，疊加得到第一發(fā)彈丸激勵下身管的振動響應(yīng)，然后按第2部分內(nèi)容求解第j發(fā)彈丸的沖擊振動響應(yīng)。

研究彈丸無質(zhì)偏情形下，身管阻尼系數(shù)、射擊間隔對身管振動特性的影響。參數(shù)選?。簭椡栀|(zhì)量mp=13.5 kg，身管長度l=5.5 m，射角θ=45°，彈性模量E=210 GPa，重力加速度g=9.8 m/s2。對于該口徑彈丸，由試驗(yàn)測得了膛內(nèi)運(yùn)動過程中的加速度，經(jīng)樣條插值得到如圖2所示彈丸加速度隨無量綱時間的變化曲線[9]，該曲線與膛內(nèi)火藥氣體壓力具有相同的變化規(guī)律。由于獲得了彈丸加速度的數(shù)值解，因此，在采用Duhamel積分求解qi(t)時需采用卷積定理進(jìn)行求解。

圖2 彈丸加速度隨無量綱時間的變化曲線Fig.2 The projectile acceleration versus dimensionless time

圖3為彈丸無質(zhì)偏時炮口振動位移隨時間的變化曲線，由于僅考慮了彈丸重力的影響，彈丸膛內(nèi)運(yùn)動時，炮口振動位移為負(fù)值，最大位移為-5.86×10-6m；彈丸飛離炮口后，炮口做衰減振動，其衰減速度隨系統(tǒng)阻尼系數(shù)H的增大而加快。圖4為發(fā)射間隔對炮口振動位移的影響，由圖4知，發(fā)射間隔為16 ms時，第二發(fā)彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為5.60×10-5m，第三發(fā)彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為2.35×10-4m，炮口振動幅值隨連續(xù)射擊的彈丸數(shù)急劇增大；發(fā)射間隔為25 ms時，第二發(fā)彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為2.88×10-5m，第三發(fā)彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為4.78×10-5m，炮口振動幅值隨連續(xù)射擊的彈丸數(shù)增大緩慢；發(fā)射間隔為50 ms時，彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為-5.86×10-6m，即與單發(fā)彈丸激勵的幅值相同，但彈丸在膛內(nèi)運(yùn)動時，身管衰減振動明顯；發(fā)射間隔為80 ms時，彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為-5.86×10-6m，此時前一發(fā)彈丸對后一發(fā)彈丸的影響可以忽略。即彈丸無質(zhì)偏情形下，火炮的發(fā)射間隔最小應(yīng)為80 ms。

圖3 彈丸無質(zhì)偏時炮口振動位移Fig.3 Vibration displacement of muzzle without mass-unbalance projectile

圖4 彈丸無質(zhì)偏時發(fā)射間隔對炮口振動的影響Fig.4 Influence of launching intervals to muzzle vibration without mass-unbalance projectile

4.2 彈丸有質(zhì)偏

膛內(nèi)運(yùn)動時，由于受到膛線的作用，彈丸沿身管軸線方向除作高速平移運(yùn)動處，還將沿膛線作高速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動。如果彈丸存在質(zhì)偏，膛內(nèi)的高速旋轉(zhuǎn)運(yùn)動將導(dǎo)致極大的離心力，從而影響彈丸與身管之間的作用力。即F(t)中應(yīng)含有彈丸自重和離心力對身管的作用：

F(t)=mpgcosθ+mpRs?2sin (?t)

(25)

式中：Rs為彈丸質(zhì)量偏心距； ?為彈丸膛內(nèi)運(yùn)動轉(zhuǎn)速。對于等齊膛線的身管，由彈道學(xué)相關(guān)理論可知

(26)

式中：η為纏度；d為身管內(nèi)徑。將式(25)、式(26)代入F(t)的表達(dá)式，有

(27)

求得f(t)后，與彈丸無質(zhì)偏時采用相同的處理方法，即可完成問題的求解。

參數(shù)選取：η=27，Rs=10-4d，其余參數(shù)同上。圖5為彈丸有質(zhì)偏時炮口振動位移隨時間的變化曲線，由于考慮了彈丸重力和質(zhì)偏的影響，彈丸膛內(nèi)運(yùn)動時，炮口振動位移的最大幅值為7.15×10-6m；由于彈丸旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的離心力的作用，單次射擊周期內(nèi)炮口的振蕩次數(shù)增多了；彈丸飛離炮口后，炮口做衰減振動，與彈丸無質(zhì)偏時的情形一致。圖6為發(fā)射間隔對炮口振動響應(yīng)的影響，由圖知，發(fā)射間隔為16 ms時，第二發(fā)彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為6.95×10-5m，第三發(fā)彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為2.63×10-4m，炮口振動幅值增加較快，將使彈著點(diǎn)的散布增大，射擊精度降低；發(fā)射間隔為25 ms時，第二發(fā)彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為2.81×10-5m，第三發(fā)彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為3.23×10-5m，炮口振動幅值增加較慢；發(fā)射間隔為50 ms時，彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為7.15×10-6m，即，炮口振動幅值保持不變，但彈丸在膛內(nèi)運(yùn)動時，身管衰減振動明顯；發(fā)射間隔為100 ms時，彈丸激起的炮口振動的最大振動幅值為7.15×10-6m，此時前一發(fā)彈丸對后一發(fā)彈丸的影響可以忽略，即彈丸有質(zhì)偏情形下，火炮的發(fā)射間隔最小應(yīng)為100 ms。

上述分析表明，身管的阻尼系數(shù)H主要影響彈丸出口后身管的衰減振動，阻尼系數(shù)越大，身管振動衰減越快，前一發(fā)彈丸對后一發(fā)彈丸的影響越??；彈丸發(fā)射間隔的主要影響體現(xiàn)在后一發(fā)彈丸引起的振動上，發(fā)射間隔越短，炮口處振動的增幅增加越快；當(dāng)發(fā)射間隔達(dá)到一定值后，前后兩次射擊將不會相互影響。因此，對于中大口徑火炮，適當(dāng)增大發(fā)射間隔可提高其射擊精度。

圖5 彈丸有質(zhì)偏時炮口振動位移Fig.5 Vibration displacement of muzzle with mass-unbalance projectile

圖6 彈丸有質(zhì)偏時發(fā)射間隔對炮口振動的影響Fig.6 Influence of launching intervals to muzzle vibration with mass-unbalance projectile

5 結(jié) 論

針對連續(xù)射擊過程中炮口的振動問題，建立了彈丸膛內(nèi)加速運(yùn)動作用下身管的橫向振動方程；采用小參數(shù)法和迭代法，導(dǎo)出了彈丸連續(xù)沖擊作用下身管振動方程的近似解析解。針對彈丸有、無質(zhì)偏兩種情形，結(jié)合試驗(yàn)測得的彈丸加速度，對不同身管阻尼系數(shù)、發(fā)射間隔下炮口的振動特性進(jìn)行了計算，研究表明：身管阻尼系數(shù)影響炮口彈丸沖擊響應(yīng)的衰減速度；考慮彈丸質(zhì)偏時，炮口振動幅度增大，振蕩次數(shù)增多。無間隔連續(xù)射擊作用下的炮口振動遠(yuǎn)大于單發(fā)射擊情形，射擊精度呈下降趨勢；針對特定口徑身管，當(dāng)發(fā)射間隔大于一定值后，連續(xù)射擊下炮口振動與單發(fā)射擊相同。建立的連續(xù)射擊過程彈丸膛內(nèi)加速運(yùn)動作用下身管振

動的動力學(xué)模型以及求解方法，適用于大、中、小口徑艦炮連續(xù)射擊時炮口的振動分析，對于確定火炮射擊速度與提高火炮射擊精度有重要意義。

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