快速特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法用于環(huán)境激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別

蒲黔輝， 洪 彧， 王高新， 李曉斌

(1.西南交通大學(xué) 土木工程學(xué)院，成都 610031； 2.東南大學(xué) 土木工程學(xué)院，南京 210096)

試驗(yàn)?zāi)B(tài)參數(shù)識(shí)別仍是目前研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)特性的主要方法，識(shí)別的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)可以用于結(jié)構(gòu)有限元模型修正、損傷識(shí)別和結(jié)構(gòu)的實(shí)時(shí)安全監(jiān)測(cè)等。然而土木結(jié)構(gòu)往往都具有結(jié)構(gòu)形式復(fù)雜、體型巨大、周?chē)h(huán)境復(fù)雜多變等特點(diǎn)，例如高樓和橋梁，如果運(yùn)用傳統(tǒng)的錘擊或者激振器方式來(lái)獲得結(jié)構(gòu)強(qiáng)迫振動(dòng)往往效果不佳，可能僅有激勵(lì)點(diǎn)附近的布設(shè)的傳感器才能采集到結(jié)構(gòu)的響應(yīng)信號(hào)，不利于進(jìn)行整體結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析。而如果采用大能量的激勵(lì)會(huì)增加試驗(yàn)成本，甚至導(dǎo)致結(jié)構(gòu)產(chǎn)生永久性的損傷，所以一般情況下運(yùn)營(yíng)中的土木結(jié)構(gòu)不允許采用此種模態(tài)試驗(yàn)方法。此外，運(yùn)營(yíng)中的土木結(jié)構(gòu)，特別是橋梁，一般不能長(zhǎng)時(shí)間完全封鎖路段，而車(chē)輛行駛造成結(jié)構(gòu)振動(dòng)會(huì)對(duì)模態(tài)測(cè)試造成誤差。因此，基于環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)測(cè)試技術(shù)成為了土木結(jié)構(gòu)中常用的模態(tài)試驗(yàn)方法。

基于環(huán)境激勵(lì)的模態(tài)測(cè)試是指采集結(jié)構(gòu)在地脈動(dòng)、風(fēng)荷載、移動(dòng)車(chē)輛荷載等未知荷載作用下產(chǎn)生的振動(dòng)響應(yīng)，并提取響應(yīng)中的自由衰減成分進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。這種方法不需要專(zhuān)門(mén)的激勵(lì)設(shè)備，也不影響結(jié)構(gòu)的正常運(yùn)營(yíng)，是一種操作簡(jiǎn)單、成本低、安全性高的測(cè)試方法。James等[1-2]提出了自然激勵(lì)技術(shù)(Natural Excitation Technique, NExT)，證明了結(jié)構(gòu)上任意兩個(gè)自由度上的位移響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù)滿足結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)方程。Ibrahim等[3-4]提出了ITD(Ibrahim Time Domain)算法，該算法利用自由衰減響應(yīng)信號(hào)進(jìn)行三次不同延時(shí)采樣，構(gòu)造自由響應(yīng)數(shù)據(jù)的增廣矩陣，并由響應(yīng)與特征值之間的復(fù)指數(shù)關(guān)系，建立特征矩陣，求解特征值和特征向量，再根據(jù)模型特征值與振動(dòng)系統(tǒng)特征值的關(guān)系，求解出系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)。但該方法只適用于單自由度激勵(lì)情況。后來(lái)，Juang等[5-6]提出了特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法(Eigensystem Realization Algorithm, ERA)，該算法是在系統(tǒng)最小實(shí)現(xiàn)理論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的時(shí)域方法，可適用于多輸入多輸出(Multiple Input Multiple Ouput, MIMO)結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。該方法需要利用脈沖響應(yīng)構(gòu)建Hankel矩陣并對(duì)其進(jìn)行奇異值分解，再利用分解結(jié)果構(gòu)建系統(tǒng)矩陣，從而實(shí)現(xiàn)模態(tài)參數(shù)識(shí)別。祁泉泉等[7]提出了擴(kuò)展特征實(shí)現(xiàn)算法(Extended Eigensystem Realization Algorithm, EERA)，把傳統(tǒng)的ERA算法使用范圍擴(kuò)展至了任何隨機(jī)信號(hào)。崔定宇等[8-9]提出了一種改進(jìn)的ERA算法，該方法利用奇異值截?cái)嗪笾亟℉ankel矩陣來(lái)對(duì)信號(hào)降噪，使得結(jié)構(gòu)的高階模態(tài)更容易識(shí)別。包興先等[10]也改進(jìn)了ERA方法，提出了利用低秩Hankel矩陣逼近方法對(duì)響應(yīng)信號(hào)降噪，通過(guò)降噪信號(hào)后進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。目前采用ERA來(lái)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法已被國(guó)內(nèi)外的學(xué)者廣泛使用[11-12]。

由于土木結(jié)構(gòu)復(fù)雜幾何形式，往往需要較多的傳感器采集結(jié)構(gòu)振動(dòng)信號(hào)才能得到完整的模態(tài)信息。并且對(duì)于環(huán)境激勵(lì)而言，充足的采樣時(shí)間才能保證結(jié)構(gòu)模態(tài)分析的可靠性[13]。因此，采用ERA算法構(gòu)建的Hankel矩陣往往尺寸巨大，對(duì)于大型矩陣進(jìn)行奇異值分解需要消耗大量的運(yùn)算和儲(chǔ)存時(shí)間。針對(duì)這一問(wèn)題，本文提出的快速特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法，采用特征值分解來(lái)代替奇異值分解，僅利用非零的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量來(lái)表達(dá)系統(tǒng)矩陣，從而實(shí)現(xiàn)模態(tài)參數(shù)識(shí)別。本文采用了一個(gè)四層框架仿真模擬來(lái)驗(yàn)證該方法的實(shí)用性，并且把該方法運(yùn)用到了一座人行橋的模態(tài)參數(shù)識(shí)別上。

1 環(huán)境激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別理論

1.1 自然激勵(lì)技術(shù)

對(duì)于一個(gè)具有n個(gè)自由度的線性結(jié)構(gòu)，在時(shí)刻t的振動(dòng)微分方程為

(1)

假設(shè)結(jié)構(gòu)的輸入外力和響應(yīng)都是平穩(wěn)的隨機(jī)過(guò)程，在式(1)左右兩端同時(shí)乘上s時(shí)刻自由度i上的位移響應(yīng)qi(s)，并對(duì)等式的左右兩端取期望，整理可得

(2)

式中：τ=t-s>0，Rqqi(τ)為結(jié)構(gòu)所有自由度的位移響應(yīng)與i自由度位移響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)。由式(2)可以看出結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù)是與結(jié)構(gòu)自由振動(dòng)有類(lèi)似的表達(dá)公式，James等也詳細(xì)地證明了利用采集的結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù)可以進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。同樣的，按照類(lèi)似的推導(dǎo)方式也可以得出：加速度響應(yīng)之間的互相關(guān)函數(shù)也可以進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

1.2 傳統(tǒng)特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法

為了避免處理二階求導(dǎo)問(wèn)題，式(1)可以在狀態(tài)空間里表示為一階微分方程。而試驗(yàn)?zāi)B(tài)分析是要利用結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)信號(hào)反推其模態(tài)參數(shù)，但是結(jié)構(gòu)響應(yīng)是傳感器以一定的采樣頻率間斷采集得到的。所以式(1)需要在狀態(tài)空間中表示為離散的線性時(shí)不變系統(tǒng)，如下所示

x[k+1]=Adx[k]+Bdp[k]

(3a)

y[k]=Cdx[k]+Ddp[k]

(3b)

式中：Ad∈R2n×2n,Bd∈R2n×np,Cd∈Rny×2n,Dd∈Rny×np分別為離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣、控制矩陣、觀測(cè)矩陣和輸入觀測(cè)矩陣；x∈R2n×1為狀態(tài)空間變量；y∈Rny×1為系統(tǒng)輸出，ny為結(jié)構(gòu)中傳感器的個(gè)數(shù)，系統(tǒng)輸出可以為加速度、速度和位移，取決于觀測(cè)矩陣和輸入觀測(cè)矩陣的改變；p∈Rnp×1為系統(tǒng)輸入，np為輸入的個(gè)數(shù)。

假設(shè)結(jié)構(gòu)沒(méi)有初始位移和速度，即x[0]=0，把式(3a)代入式(3b)，經(jīng)過(guò)多次迭代可得

(4)

定義Hankel矩陣

(5)

其中，

(6)

H[k-1],H[k]∈Rnyr×nps且s,r≥2n；式(6)是將頻響函數(shù)矩陣表達(dá)式代入式(5)整理后得到。劉宇飛等提出精確的模態(tài)分析要求Hankel矩陣尺寸需要足夠大，至少要包括信號(hào)振動(dòng)的幾個(gè)周期。

當(dāng)k=0時(shí)，有H[0]=ZW，對(duì)H[0]進(jìn)行奇異值分解

H[0]=U∑VT

(7)

定義H[0]的廣義逆矩陣為H[0]+

H[0]+=V∑-1UT

(8)

為了找到Hankel矩陣與頻響函數(shù)(包含結(jié)構(gòu)系統(tǒng)矩陣)之間的關(guān)系，定義Ey=[I0 … 0]T∈Rnyr×ny，Ep=[I0 … 0]T∈Rnps×np，它們有以下關(guān)系存在

(9)

把式(5)～式(8)代入式(9)的左邊進(jìn)行計(jì)算分解，可以得到Ad，Bd，Cd的表達(dá)式

(10)

1.3 快速特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法

通常情況下，由于H[0]矩陣的維數(shù)較大，對(duì)其進(jìn)行奇異值分解需要占用計(jì)算機(jī)相當(dāng)部分內(nèi)存，因此本文提出了一種快速特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法。利用特征值分解(一種更經(jīng)濟(jì)的計(jì)算方法)來(lái)代替奇異值分解，僅采用非零的特征值與相應(yīng)的特征向量來(lái)構(gòu)建系統(tǒng)矩陣，相比傳統(tǒng)的ERA算法，既提高了運(yùn)算速度，又減少了數(shù)據(jù)儲(chǔ)存。

定義一個(gè)新的矩陣S=H[0]TH[0]，把式(7)代入S后整理可得

S=V∑T∑VT

(11)

在式(11)的左部分右乘V，又由左右奇異向量矩陣的正交性可知，VTV=I，UTU=I，經(jīng)過(guò)整理后可得

SV=V( ∑T∑)=VΛ

(12)

式(12)為S矩陣的特征方程，其中Λ為對(duì)角矩陣，對(duì)角線上的元素為S矩陣的特征值。由式(12)可以看出，S矩陣的特征值為Hankel矩陣H[0]特征值的平方，并且S矩陣的特征向量矩陣等同于H[0]的右奇異向量矩陣。

矩陣H[0]與矩陣H[1]存在以下關(guān)系，定義傳遞矩陣T

H[1]=H[0]T

(13)

把式(7)、式(12)和式(13)代入式(10)便可利用S矩陣特征分解的結(jié)果重新表達(dá)系統(tǒng)矩陣Ad，控制矩陣Bd，觀測(cè)矩陣Cd，

(14)

值得注意：式(13)中的傳遞矩陣T不能直接按照廣義求逆的方法得到(H[0]和H[1]都有可能不是滿秩矩陣)。把T矩陣分塊表示

(15)

(16)

T2=VΛ-1VTH[0]T

(17)

得到了離散系統(tǒng)的最小實(shí)現(xiàn)矩陣Ad后，對(duì)其進(jìn)行特征值分解

AdΦd=ΦdΔd

(18)

式中：Δd=diag(σd1σd2…σd2n)∈C2n×2n為特征值矩陣；Φd=[Φd1Φd2…Φd2n]∈C2n×2n為特征向量矩陣。

根據(jù)離散系統(tǒng)與連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)之間的關(guān)系，可以求得結(jié)構(gòu)的復(fù)模態(tài)參數(shù)。

(19)

(20)

式中：“abs”為絕對(duì)值；“real”為實(shí)部。

1.4 快速特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法用于環(huán)境激勵(lì)下的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的步驟

步驟1 對(duì)采集信號(hào)進(jìn)行濾波，降噪等預(yù)處理；

步驟2 選定參考點(diǎn)，并計(jì)算其它響應(yīng)與參考點(diǎn)的互相關(guān)函數(shù)；

步驟3 利用互相關(guān)函數(shù)構(gòu)建Hankel矩陣H[0]與對(duì)稱(chēng)矩陣S；

步驟4 對(duì)S矩陣進(jìn)行特征值分解求得特征值對(duì)角陣Λ和特征向量矩陣V；

步驟5 求解T2矩陣，從而求得T矩陣；

步驟6 組建離散系統(tǒng)的系統(tǒng)矩陣Ad，控制矩陣Bd，觀測(cè)矩陣Cd，并對(duì)Ad進(jìn)行特征值分解；

步驟7 把離散系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)轉(zhuǎn)換為連續(xù)系統(tǒng)(結(jié)構(gòu))的模態(tài)參數(shù)。

2 數(shù)值仿真

采用文獻(xiàn)[14]中的四層框架模型，仿真其在縮小比例的El Centro地震加速度下的各種結(jié)構(gòu)振動(dòng)，框架模型見(jiàn)圖1。仿真模型每層樓板質(zhì)量均為4.99 kg；層間剛度k1=1 401.1 N/M、k2=1 576.1 N/M、k3=1 225.9 N/m、k4=1 050.8 N/m，假設(shè)每層有黏滯阻尼：c1=1.40 Ns/m、c2=1.31 Ns/m、c3=1.49 Ns/m、c4=1.23 Ns/m，其它結(jié)構(gòu)信息參可參見(jiàn)該文。

圖1 用于仿真的框架模型Fig.1 Simulated frame model

假設(shè)在框架每層樓板中心位置均安裝可測(cè)得沿圖中地震方向的位移計(jì)、速度計(jì)和加速度計(jì)，采樣時(shí)間為40 s，采樣頻率為100 Hz。地震加速度與仿真得到的#4測(cè)點(diǎn)的位移、速度、加速度響應(yīng)如圖2所示。為了避開(kāi)模態(tài)節(jié)點(diǎn)，選擇#1測(cè)點(diǎn)為參考點(diǎn)，可以得到#1測(cè)點(diǎn)和其它點(diǎn)間的互相關(guān)函數(shù)，現(xiàn)以#1測(cè)點(diǎn)與#4測(cè)點(diǎn)的互相關(guān)函數(shù)為例，見(jiàn)圖3。

對(duì)于自然激勵(lì)試驗(yàn)而言，信號(hào)時(shí)長(zhǎng)的選用可直接根據(jù)互相關(guān)函數(shù)圖像考慮，選用時(shí)長(zhǎng)應(yīng)盡量包含振動(dòng)衰減的完整過(guò)程，在本次仿真算例中選擇時(shí)長(zhǎng)0～8 s的數(shù)據(jù)。利用互相關(guān)函數(shù)組建Hankel矩陣，再按照1.4節(jié)中步驟進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，結(jié)果見(jiàn)表1。表1中的理論值是按照質(zhì)量、剛度、阻尼矩陣直接求解得出的模態(tài)參數(shù)精確值。從表1可以看出，對(duì)于該四層結(jié)構(gòu)，F(xiàn)ERA算法能采用位移、速度、和加速度進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別(利用相同的MATLAB程序，只改變響應(yīng)的類(lèi)型)，且均能得到較好結(jié)果，可計(jì)算出頻率的最大誤差僅為0.5%；阻尼比誤差相對(duì)較大，最大誤差約為25%；模態(tài)振型誤差幾乎為0，MAC值全為1，MAC值算法見(jiàn)文獻(xiàn)[15]。與傳統(tǒng)的ERA算法相比，F(xiàn)ERA算法的精度相當(dāng)，并均顯示出利用加速度響應(yīng)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果與理論值最為接近。僅以此小結(jié)構(gòu)為例，F(xiàn)ERA算法就較ERA算法速度提高了約一半。

圖2 地震激勵(lì)和#4測(cè)點(diǎn)結(jié)構(gòu)響應(yīng)Fig.2 Earthquake excitation and structural responses on #4

圖3 #1測(cè)點(diǎn)與#4測(cè)點(diǎn)的互相關(guān)函數(shù)Fig.3 Cross correlation functions of responses on #1 and #4

模態(tài)1模態(tài)2模態(tài)3模態(tài)4時(shí)間/s理論值a0．92262．47793．84404．9461b0．00290．00870．01330．0152c1．00001．00001．00001．0000快速特征實(shí)現(xiàn)算法位移a0．92652．47393．83914．9509b0．00230．00860．01020．01260．28601c1．00001．00001．00001．0000速度a0．92792．47363．83964．9509b0．00240．00890．00910．01150．28292c1．00001．00001．00001．0000加速度a0．92332．47413．84094．9508b0．00330．00910．01230．01210．27863c1．00001．00001．00001．0000特征實(shí)現(xiàn)算法位移a0．92652．47393．83914．9511b0．00230．00860．01020．01200．38067c1．00001．00001．00001．0000速度a0．92812．47343．84294．9545b0．00260．0090．00970．01160．41137c1．00001．00001．00001．0000加速度a0．92392．47243．84064．9551b0．00310．00980．01110．01200．41140c1．00001．00001．00001．0000注：a為頻率/Hz；b為阻尼比；c為MAC值

3 人行橋環(huán)境激勵(lì)試驗(yàn)

為了驗(yàn)證FERA算法可以用于實(shí)際結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別，本文對(duì)美國(guó)佐治亞理工校園內(nèi)的一座人行橋進(jìn)行了模態(tài)參數(shù)識(shí)別，如圖4所示。該橋?yàn)楹?jiǎn)支梁橋，長(zhǎng)30.18 m、寬2.13 m、高2.74 m，其它結(jié)構(gòu)信息、傳感器信息等可參見(jiàn)文獻(xiàn)[16-17]。該橋測(cè)試數(shù)據(jù)來(lái)自佐治亞理工智能結(jié)構(gòu)實(shí)驗(yàn)室，為了獲得較為完整的結(jié)構(gòu)模態(tài)振型，在橋的幾何節(jié)點(diǎn)處都布置了加速度測(cè)點(diǎn)(共44個(gè))，采集每個(gè)測(cè)點(diǎn)的豎向和橫向加速度，傳感器布置參見(jiàn)圖5。為了解決測(cè)點(diǎn)數(shù)量多而傳感器數(shù)量受限制的問(wèn)題，對(duì)該橋進(jìn)行了測(cè)試分段。首先在測(cè)點(diǎn)1～14安裝雙向無(wú)線加速度傳感器，采集自然激勵(lì)下的加速度響應(yīng)，然后把加速度傳感器移動(dòng)至測(cè)點(diǎn)11～26，再采集加速度響應(yīng)，然后按照相同方法依次采集測(cè)點(diǎn)23～34和31～44的加速度響應(yīng)。每次環(huán)境激勵(lì)測(cè)試的采樣時(shí)間為150 s，采樣頻率為100 Hz。以#8測(cè)點(diǎn)為例，加速度響應(yīng)如圖6所示。

圖4 實(shí)驗(yàn)人行橋Fig.4 Experimental pedestrian bridge

圖5 傳感器布置Fig.5 The allocation of accelerometers

圖6 #8測(cè)點(diǎn)橫向加速度Fig.6 Transverse accelerations on #8

測(cè)試結(jié)束后需要對(duì)各個(gè)分段結(jié)構(gòu)單獨(dú)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，然后利用平均的方法得出整體橋梁的頻率和阻尼比，并且利用共節(jié)點(diǎn)拼接分段模態(tài)振型來(lái)得到結(jié)構(gòu)的完整模態(tài)振型。以第一分段為例，選擇#8測(cè)點(diǎn)橫向自由度為參考點(diǎn)，計(jì)算其他所有自由度上加速度響應(yīng)與該自由度加速度響應(yīng)的互相關(guān)函數(shù)，示例如圖7所示。利用互相關(guān)函數(shù)組建Hankel矩陣，再按照1.4節(jié)中步驟對(duì)人行橋進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。最終識(shí)別出前4階振型，結(jié)果如圖8所示，第1階振型為橫向模態(tài)、第2階振型為豎向模態(tài)、第3階振型為橫向模態(tài)、第4階振型為扭轉(zhuǎn)模態(tài)。為了與模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果對(duì)比，利用ANSYS對(duì)人行橋進(jìn)行了仿真模態(tài)分析，結(jié)果顯示試驗(yàn)?zāi)B(tài)與理論模態(tài)的頻率值有較小差距，但是二者的

模態(tài)振型能很好對(duì)應(yīng)，說(shuō)明FERA算法同樣適用于真實(shí)結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別(見(jiàn)圖9)。本研究同樣使用NExT+ERA方法對(duì)該橋進(jìn)行了模態(tài)參數(shù)識(shí)別，與NExT+FERA方法的識(shí)別結(jié)果很接近，所以不再贅述。但總體上看，本文提出的FERA算法較ERA方法快2～3倍。

圖7 #8測(cè)點(diǎn)橫向與豎向加速度的互相關(guān)函數(shù)Fig.7 Cross correlation functions of the transverseand vertical accelerations on #8

圖8 模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Fig.8 Modal identification results

圖9 ANSYS模態(tài)參數(shù)識(shí)別結(jié)果Fig.9 Modal identification results from ANSYS analysis

4 結(jié) 論

本文提出的FERA模態(tài)參數(shù)識(shí)別算法是對(duì)傳統(tǒng)ERA算法的一種改進(jìn)，利用特征值分解代替了復(fù)雜的奇異值分解。本文通過(guò)四層框架的數(shù)值仿真試驗(yàn)和人行橋的自然激勵(lì)試驗(yàn)驗(yàn)證了FERA算法的準(zhǔn)確性和優(yōu)勢(shì)。有如下結(jié)論：

(1)四層框架數(shù)值模擬表明FERA算法較ERA算法有著相同的精度，適用于各種動(dòng)力響應(yīng)。但較其他兩種響應(yīng)而言，利用加速度響應(yīng)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)分析能得到更精確的結(jié)果，所以推薦使用加速度響應(yīng)進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別。

(2)人行橋的自然激勵(lì)試驗(yàn)表明了FERA算法同樣適用于真實(shí)結(jié)構(gòu)，并且速度統(tǒng)計(jì)顯示，結(jié)構(gòu)越大，F(xiàn)ERA算法較ERA算法的速度優(yōu)勢(shì)更明顯。

(3)FERA算法可以提高結(jié)構(gòu)安全監(jiān)測(cè)、結(jié)構(gòu)模型修正、損傷識(shí)別的效率。

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