高考運(yùn)算能力的考查

張定強(qiáng)

運(yùn)算能力表現(xiàn)為會根據(jù)法則、公式進(jìn)行正確運(yùn)算、變形和數(shù)據(jù)處理；能根據(jù)問題的條件，尋找與設(shè)計(jì)合理、簡捷的運(yùn)算途徑；能根據(jù)要求對數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)和近似計(jì)算。

運(yùn)算能力是思維能力和運(yùn)算技能的結(jié)合。運(yùn)算包括 對數(shù)值的計(jì)算、估值和近似計(jì)算，對式子的組合變形與分解變形，對幾何圖形各幾何量的計(jì)算。求解運(yùn)算能力包括分析 運(yùn)算條件、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算公式、確定運(yùn)算程序等一系列過程中的思維能力，也包括在實(shí)施運(yùn)算過程中遇到障礙而調(diào)整運(yùn)算的能力。

對運(yùn)算能力的考查不僅包括對數(shù)的運(yùn)算，還包括對公式的運(yùn)算，兼顧對算理和邏輯推理考查。對學(xué)生運(yùn)算能力的考察主要是以含字母的式子的運(yùn)算為主，包括數(shù)值的計(jì)算，代數(shù)式和某些超越式的恒等變形，集合的運(yùn)算，解方程與不等式，三角恒等變形，數(shù)列極限的計(jì)算，求導(dǎo)運(yùn)算，概率計(jì)算，向量運(yùn)算和幾何圖形中的計(jì)算等。運(yùn)算結(jié)果具有存在性、確定性和最簡性。

運(yùn)算能力是一項(xiàng)基本能力，在代數(shù)、立體幾何、平面解析幾何、概率、微積分等學(xué)科中都有所體現(xiàn)。在高考中半數(shù)以上的題目需要運(yùn)算，運(yùn)算的作用不僅是只求出結(jié)果，有時還可以輔助證明。運(yùn)算能力是最基礎(chǔ)的又是應(yīng)用最廣的一種能力。歷年高考都注重對運(yùn)算能力的考查。

一、運(yùn)算的合理性

運(yùn)算的合理性。運(yùn)算的合理性是運(yùn)算能力的核心。一般一個較復(fù)雜的運(yùn)算，往往是由多個簡單的運(yùn)算組合而成的。如何確定運(yùn)算目標(biāo)，怎樣將各部分有機(jī)地聯(lián)系在一起，這是運(yùn)算合理性的主要標(biāo)志，是運(yùn)算能力的體現(xiàn)。隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展和普及，只要能設(shè)計(jì)出運(yùn)算程序，計(jì)算機(jī)就能夠完成相應(yīng)的計(jì)算，而且高效、快捷、準(zhǔn)確。因此，運(yùn)算能力的考查重點(diǎn)應(yīng)放在考查算理，運(yùn)算途徑的判斷、選擇、設(shè)計(jì)及相關(guān)的字母和代數(shù)式的運(yùn)算，因此這些是要靠人的思維去解決的。

運(yùn)算的合理性表現(xiàn)在運(yùn)算要符合算理，運(yùn)算過程中的每一步變形都要有所依據(jù)，或依據(jù)概念或依據(jù)公式或依據(jù)法則，可以說運(yùn)算的每一步變形都是演繹法的體現(xiàn)。運(yùn)算過程包含著思維過程，運(yùn)算離不開思維。

運(yùn)算的合理性首先表現(xiàn)在運(yùn)算目標(biāo)的確定上。運(yùn)算的目的是要得到化簡的數(shù)值結(jié)果或數(shù)式等，有時還是完成推理和判斷的工具。對一些比較直接、簡單的運(yùn)算目標(biāo)，一般比較容易把握，但對一些比較復(fù)雜的運(yùn)算目標(biāo)，需要經(jīng)過多步運(yùn)算才能得到最終結(jié)果，如在研究函數(shù)的單調(diào)性或證明不等式時，要首先對函數(shù)式求導(dǎo)，然后考察導(dǎo)數(shù)的取值，如果含有參數(shù)，還需要對參數(shù)將進(jìn)行討論。在求曲線的軌跡方程時，如何消去方程組中的參數(shù)，也有確定運(yùn)算目標(biāo)的問題。運(yùn)算的合理性還表現(xiàn)在運(yùn)算途徑的選擇上。合理選擇運(yùn)算途徑不僅是迅速運(yùn)算的需要，也是根據(jù)準(zhǔn)確性的保證，運(yùn)算的步驟越多越繁瑣，出錯的可能性也就越大。因而，根據(jù)問題的不同條件和特點(diǎn)，合理選擇運(yùn)算途徑是提高運(yùn)算能力的關(guān)鍵。靈活地運(yùn)用公式、法則和有關(guān)的運(yùn)算規(guī)律，掌握同一個問題的多種運(yùn)算方法和途徑，善于通過觀察、分析、比較，將有助于作出合理的選擇。因此，運(yùn)算能力的考查包括了對思維能力的要求以及對思維品質(zhì)（比如思維的靈活性、敏捷性、深刻性）的考查。

二、運(yùn)算的準(zhǔn)確性

運(yùn)算的準(zhǔn)確性是對運(yùn)算能力的基本要求，要求考生根據(jù)運(yùn)算原理和題目的運(yùn)算要求，有根有據(jù)地一步一步地實(shí)施運(yùn)算。影響運(yùn)算準(zhǔn)確性的因素是多方面的，只要在運(yùn)算全過程的某一環(huán)節(jié)出現(xiàn)問題，就會導(dǎo)致整個運(yùn)算出現(xiàn)錯誤。在填空題中，一步算錯，整題失分；在解答題中，某步出錯，后續(xù)部分隨之有誤，最多只能得到一半的分?jǐn)?shù)。在高考中需要重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)的是，在運(yùn)算過程中使用的概念要準(zhǔn)確無誤，使用的公式要準(zhǔn)確無誤，使用的法則要準(zhǔn)確無誤，使用的法則要準(zhǔn)確無誤，最終才能保證運(yùn)算結(jié)果的準(zhǔn)確無誤。

三、運(yùn)算的熟練性

運(yùn)算的熟練性是指對考生思維敏捷性的考查。高考考查運(yùn)算能力，一般不是增大每題的運(yùn)算量，而是通過控制題目數(shù)量、控制每題的運(yùn)算量，增加思考強(qiáng)度和思維深度來實(shí)現(xiàn)的?？刂祁}目數(shù)量、控制每題的運(yùn)算量，可以增加考核深度，給學(xué)生以充裕的時間去思考如何進(jìn)行運(yùn)算，而不是把時間花在冗長的計(jì)算過程和運(yùn)算符號、文字的書寫上。過難、過繁的計(jì)算消耗了學(xué)生的時間和精力，將會影響對基本概念、方法，特別是思維能力的考查。數(shù)學(xué)試卷全卷的計(jì)算量一直是高考命題研究的重要問題，而計(jì)算量的大小主要是由高考的性質(zhì)決定的，應(yīng)以一半的考生在110分鐘能完成全卷的解答為標(biāo)準(zhǔn)。這里所謂完成，不含復(fù)核時間，因此，應(yīng)控制純計(jì)算的工作量。計(jì)算量的估計(jì)應(yīng)以一般通用解法為準(zhǔn)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)試題往往存在一題多解、計(jì)算量相差懸殊的現(xiàn)象，同一道試題不同的解題思路會反映出不同的能力層次。學(xué)生實(shí)際計(jì)算量的大小往往反映出學(xué)生能力水平的差異。

四、運(yùn)算的簡捷性

運(yùn)算的簡捷性是指運(yùn)算過程中所選擇的運(yùn)算路徑短、運(yùn)算步驟少、運(yùn)算時間省。運(yùn)算的簡捷是運(yùn)算合理性的標(biāo)志，是運(yùn)算速度的要求。高考對運(yùn)算簡捷性的考查主要體現(xiàn)在運(yùn)算過程中概念的靈活應(yīng)用，公式的恰當(dāng)選擇，數(shù)學(xué)思想方法的合理使用上。尤其是數(shù)學(xué)思想方法，可以簡化運(yùn)算，提高速度。其中數(shù)形結(jié)合的思想、函數(shù)與方程的思想，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法經(jīng)常被運(yùn)用在簡化運(yùn)算中。