分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)系統(tǒng)中的非周期振動共振?

楊建華 馬強(qiáng) 吳呈錦 劉后廣

1)(中國礦業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院,徐州 221116)

2)(密歇根大學(xué)機(jī)械工程系,安娜堡 MI48109,美國)

3)(中國礦業(yè)大學(xué),江蘇省礦山機(jī)電裝備重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,徐州 221116)

4)(河北工程大學(xué)機(jī)械與裝備工程學(xué)院,邯鄲 056038)

(2017年9月16日收到;2018年1月4日收到修改稿)

1 引 言

在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域,攜帶有用信息的信號往往比較微弱,因此在檢測和分析這些信號之前,需要先將其進(jìn)行增強(qiáng).增強(qiáng)信號的方法多種多樣,其中基于非線性系統(tǒng)動力學(xué)理論的隨機(jī)共振(stochastic resonance,SR)[1]和振動共振(vibrational resonance,VR)[2]方法近些年得到了諸多領(lǐng)域科研人員的廣泛關(guān)注.對于簡諧信號激勵的系統(tǒng),隨機(jī)共振指的是系統(tǒng)輸出的信噪比或譜放大因子是激勵中所含噪聲強(qiáng)度的非線性函數(shù),通過調(diào)節(jié)噪聲強(qiáng)度,能夠使系統(tǒng)輸出的信噪比最大,進(jìn)而通過合適的噪聲強(qiáng)度放大了輸出中的微弱信號成分.在振動共振的研究中,高頻輔助信號代替了噪聲,通過調(diào)節(jié)高頻輔助信號的幅值,能夠使系統(tǒng)輸出在特征信號頻率處的響應(yīng)幅值增益達(dá)到最大.然而,攜帶有用信息的信號不僅以周期信號的形式存在,還有大量的信息要用不同形式的非周期信號來表示,其中二進(jìn)制非周期信號是一種常見的形式.在非線性系統(tǒng)中通過誘導(dǎo)系統(tǒng)發(fā)生非周期隨機(jī)共振(aperiodic stochastic resonance,ASR)[3]或者非周期振動共振(aperiodic vibrational resonance,AVR)[4],能夠增強(qiáng)微弱的非周期特征信息.所謂非周期隨機(jī)共振或非周期振動共振,指的是當(dāng)特征信號為非周期信號時(shí),通過調(diào)節(jié)噪聲強(qiáng)度或者高頻輔助信號幅值,使得系統(tǒng)輸出的波形和非周期特征信號的波形相似,但振幅比輸入特征信號的振幅更大.目前,一般以系統(tǒng)輸出和輸入特征信號之間的相關(guān)系數(shù)作為研究非周期隨機(jī)共振和非周期振動共振的指標(biāo),相關(guān)系數(shù)與噪聲強(qiáng)度或輔助信號幅值之間呈現(xiàn)一條類似于“共振”的曲線,在共振點(diǎn)處往往會發(fā)生隨機(jī)共振或者振動共振.事實(shí)上,相關(guān)系數(shù)描述的是兩個(gè)時(shí)間序列之間的相似性,當(dāng)相關(guān)系數(shù)取得最大值時(shí),系統(tǒng)輸出可能發(fā)生了非周期隨機(jī)共振或者非周期振動共振,即相關(guān)系數(shù)最大是系統(tǒng)發(fā)生非周期隨機(jī)共振或非周期振動共振的必要非充分條件.

相比于常微分形式的非線性系統(tǒng),分?jǐn)?shù)階形式的非線性系統(tǒng)在微弱信號的動力學(xué)響應(yīng)方面具有更多的優(yōu)勢,尤其是分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)能夠進(jìn)一步增強(qiáng)系統(tǒng)輸出的隨機(jī)共振[5]和振動共振[6]現(xiàn)象.此外,常微分系統(tǒng)可以看作分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的特例,因此研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中的隨機(jī)共振和振動共振得到的結(jié)果更具有通用性.相比于隨機(jī)共振,振動共振更易控制.目前雖有一些關(guān)于振動共振的研究文獻(xiàn),但是分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中的非周期振動共振問題還尚未研究,考慮到分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)動力學(xué)行為的豐富性以及非周期信號的廣泛存在性,研究這一問題具有重要意義.

本文分以下幾部分展開研究:第2部分研究分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中的經(jīng)典非周期振動共振現(xiàn)象,即系統(tǒng)參數(shù)和信號參數(shù)能夠直接實(shí)現(xiàn)匹配,參數(shù)不需要進(jìn)行其他方面的處理;第3部分和第4部分研究系統(tǒng)參數(shù)和信號參數(shù)不能直接匹配的情況,即非周期信號的脈寬具有任意小值的情況,實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)和信號參數(shù)的匹配才能誘發(fā)振動共振現(xiàn)象;這兩部分分別使用了變尺度法和二次采樣法,通過這兩種不同的方法,分別實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)和信號參數(shù)的匹配,誘發(fā)非周期振動共振,達(dá)到殊途同歸的效果;第5部分對本文的主要結(jié)果進(jìn)行總結(jié).

2 非周期振動共振

研究模型如下:

其中a＞0,b＞0為系統(tǒng)參數(shù),系統(tǒng)為具有雙穩(wěn)態(tài)勢函數(shù)的分?jǐn)?shù)階系統(tǒng).分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)采用Grünwald-Letnikov定義[7],即

其中A為二進(jìn)制非周期信號的振幅,Rm=±1為符合高斯分布的隨機(jī)數(shù),T為脈寬,即s(t)中的最小隨機(jī)脈沖的寬度.Bsgn[cos(?t)]為誘發(fā)振動共振使用的輔助信號,輔助信號的幅值和周期分別為B和2π/?.根據(jù)振動共振理論,一般要求輔助信號隨時(shí)間的變化遠(yuǎn)快于特征信號的變化[2],因此有2π/??T,本文令?=2π/(βT),其中β?1.對于特征信號是簡諧信號的情況,輔助信號一般也以簡諧信號的形式表示.對于輔助信號是非周期信號的情況,Chizhevsky和Giacomelli[4]采用了如(1)式中的周期方波作為輔助信號.根據(jù)動力學(xué)理論,特征信號影響系統(tǒng)輸出中的慢變成分,輔助信號影響系統(tǒng)輸出中的快變成分,輔助信號的作用是改變等效系統(tǒng)的參數(shù),即改變等效系統(tǒng)勢函數(shù)的形狀,進(jìn)而影響輸出中慢變成分的動力學(xué)行為[8?10].輔助信號的形式不同,不會對結(jié)果造成本質(zhì)的影響,本文選取(1)式中方波信號作為輔助信號.再者,周期方波表達(dá)式可具有多種不同的形式,使用(1)式中的形式,在數(shù)值編程計(jì)算方面更簡單.

對于非周期信號,可以采用相關(guān)系數(shù)作為指標(biāo)來度量振動共振現(xiàn)象.根據(jù)相關(guān)系數(shù)的物理意義,相關(guān)系數(shù)取值越大,表示兩個(gè)時(shí)間序列之間的相似性越高,當(dāng)相關(guān)系數(shù)為1時(shí),兩個(gè)時(shí)間序列完全相似.當(dāng)發(fā)生振動共振時(shí),系統(tǒng)輸出的時(shí)間序列與輸入信號之間的相關(guān)系數(shù)達(dá)到最大值.反之,當(dāng)相關(guān)系數(shù)最大時(shí),系統(tǒng)的輸出未必發(fā)生了振動共振.換句話說,相關(guān)系數(shù)最大是發(fā)生振動共振的必要非充分條件,后續(xù)分析將給予必要的說明.系統(tǒng)輸出的時(shí)間序列與輸入信號之間的相關(guān)系數(shù)用Csx表示,其具體的計(jì)算表達(dá)式為

為幫助讀者更好地理解,圖1給出了二進(jìn)制非周期信號的三種不同波形.即使信號的振幅和脈寬相等,由于Rm的隨機(jī)性,特征信號的時(shí)間序列也是不同的.

圖1 相同幅值和脈寬下二進(jìn)制非周期信號的三種不同波形(A=0.3,T=20)Fig.1.Three different waveforms of the binary aperiodic signal under the same signal amplitude and pulse width(A=0.3,T=20).

圖2 特征信號波形以及系統(tǒng)階數(shù)α取值不同時(shí),相關(guān)系數(shù)Csx與輔助信號幅值B之間的關(guān)系(仿真參數(shù)為a=1,b=1,A=0.3,T=20,β=10) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.2.Curves of Csx-B are obtained under different waveforms of the character signal and different fractional order values.The simulation parameters are a=1,b=1,A=0.3,T=20 and β=10:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

圖3 系統(tǒng)階數(shù)取值不同時(shí)的最佳非周期振動共振輸出 (a)α=0.4,B=0.75;(b)α=0.7,B=1.2;(c)α=1.0,B=1.45;(d)α=1.5,B=1.55;其他仿真參數(shù)為a=1,b=1,A=0.3,T=20,β=10;紅色粗實(shí)線為輸入的特征信號;黑線虛線對應(yīng)B=0的輸出;藍(lán)色線細(xì)實(shí)線為最佳非周期振動共振輸出Fig.3.The optimal AVR output corresponding to different fractional-order values:(a) α =0.4,B=0.75;(b)α=0.7,B=1.2;(c)α=1.0,B=1.45;(d)α=1.5,B=1.55.Other simulation parameters are a=1,b=1,A=0.3,T=20 and β=10.Thick lines in red color is the input character signals;dashed lines in black color is the output corresponding to B=0;thin lines in blue color is the optimal AVR output.

針對圖1中的三種不同波形的信號,圖2分別給出了系統(tǒng)的階數(shù)α不同時(shí),系統(tǒng)輸出與特征信號之間的相關(guān)系數(shù)隨著輔助信號幅值變化的曲線,其中的信號1(signal 1),信號2(signal 2),信號1(signal 3)分別對應(yīng)圖1中從上至下的三種信號.后續(xù)對不同信號的類似描述,均采用相同的方法.圖2中給出了幾種重要現(xiàn)象.第一,Csx與B之間的關(guān)系曲線基本不受輸入信號波形的影響.由于相關(guān)系數(shù)是基于大數(shù)據(jù)量進(jìn)行計(jì)算的統(tǒng)計(jì)特征參數(shù),提高計(jì)算使用的數(shù)據(jù)量,能夠進(jìn)一步減小特征信號波形不同造成的Csx-B曲線的微小誤差.第二,隨著輔助信號的幅值增加,Csx的值先減小后增大,出現(xiàn)了明顯的“共振區(qū)”,即發(fā)生非周期振動共振現(xiàn)象.“共振區(qū)”是描述線性系統(tǒng)在簡諧激勵下響應(yīng)特性的指標(biāo),一般將頻響曲線上位于共振峰值的兩側(cè)并滿足大于共振峰值的的區(qū)域定義為“共振區(qū)”[11,12].對于非周期振動共振,并沒有“共振區(qū)”的統(tǒng)一概念,為方便描述,仿照簡諧激勵下線性系統(tǒng)“共振區(qū)”的概念,本文將Csx-B曲線上位于波谷右側(cè)且位于共振峰值兩側(cè)并滿足Csx大于共振峰值的倍的區(qū)域定義為非周期振動共振的“共振區(qū)”.在B取值較小時(shí),相關(guān)系數(shù)Csx的值較大,這說明輸出時(shí)間序列和輸入信號的相似性較高,但輸出時(shí)間序列中的特征信號部分并未得到放大.在各個(gè)曲線的共振點(diǎn),輸出時(shí)間序列和輸入特征信號之間的相似性高,且輸出時(shí)間序列中含有的特征信號成分得到了放大,后續(xù)對時(shí)間序列的分析中將說明這一點(diǎn).第三,隨著系統(tǒng)階數(shù)的增加,Csx-B曲線的“共振區(qū)”變寬,且發(fā)生最佳振動共振時(shí)所需要輔助信號的幅值變大.

對應(yīng)于圖2中信號2的最佳共振點(diǎn),圖3給出了系統(tǒng)階數(shù)取值不同時(shí)的最佳非周期振動共振輸出.相對于原信號,系統(tǒng)輸出中的特征信號波形在很大程度上得到了增強(qiáng).在圖3的4個(gè)子圖中,系統(tǒng)階數(shù)的取值越大,系統(tǒng)輸出和輸入特征信號之間的相似程度越高.對于B=0,即激勵中不含有輔助信號的情況,雖然系統(tǒng)的輸出與輸入特征信號之間相似程度高,但是特征信號未得到明顯的放大.這一現(xiàn)象驗(yàn)證了對于圖2的第二條解釋,即相關(guān)系數(shù)取值大是發(fā)生非周期振動共振的必要非充分條件.

為進(jìn)一步驗(yàn)證分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的非周期振動共振現(xiàn)象,圖4給出了特征信號的振幅A取值不同時(shí)的非周期振動共振曲線.對于不同的A值,Csx-B曲線都呈現(xiàn)明顯的非周期振動共振現(xiàn)象;A的取值越大,Csx-B曲線發(fā)生振動共振時(shí)的峰值越大.此外,特征信號的振幅越大,發(fā)生最佳非周期振動共振時(shí)所對應(yīng)的高頻輔助信號的幅值越小.

圖4 特征信號幅值以及系統(tǒng)階數(shù)α取值不同時(shí),相關(guān)系數(shù)Csx與輔助信號幅值B之間的關(guān)系(仿真參數(shù)為a=1,b=1,T=20,β=10) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.4.Curves of Csx-B are obtained under different amplitudes of the character signal and different fractional-order values.The simulation parameters are a=1,b=1,T=20 and β=10:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

圖5給出了非周期信號脈寬取值不同時(shí),Csx-B曲線所呈現(xiàn)的非周期振動共振現(xiàn)象.隨著T的增大,Csx-B曲線的共振峰值變大,且“共振區(qū)”變窄,這與常規(guī)頻率響應(yīng)曲線所呈現(xiàn)的規(guī)律類似,較易理解.同時(shí),系統(tǒng)階數(shù)所呈現(xiàn)出來的影響規(guī)律和其他圖形中的相關(guān)規(guī)律類似.當(dāng)然,圖中使用的非周期信號脈沖寬度的取值不能太小,否則非周期振動共振會消失,需要其他的方法來誘導(dǎo)振動共振,這正是本文第3和第4部分要討論的內(nèi)容.

結(jié)合以上圖形進(jìn)行分析,系統(tǒng)階數(shù)對振動共振的影響主要表現(xiàn)在兩個(gè)方面:一方面,隨著階數(shù)α的變大,Csx-B曲線發(fā)生共振時(shí)對應(yīng)的B值變大,如圖2,圖4和圖5所示.這個(gè)現(xiàn)象可以從振動共振發(fā)生的本質(zhì)原因來理解,振動共振的發(fā)生是因?yàn)檩o助的快變信號作用于非線性系統(tǒng),其作用相當(dāng)于改變了非線性系統(tǒng)的參數(shù),即等效的非線性系統(tǒng)參數(shù)是輔助信號振幅的函數(shù),隨著輔助信號振幅的增大,等效非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)數(shù)目將發(fā)生變化.對于本文的雙穩(wěn)系統(tǒng),輔助信號幅值的增加將會使等效系統(tǒng)由雙穩(wěn)態(tài)變?yōu)閱畏€(wěn)態(tài),使系統(tǒng)發(fā)生了叉形分岔,叉形分岔是引起振動共振的根本原因[6].對于外激勵都是簡諧信號的情況,可以用快慢變量分離法求得發(fā)生叉形分岔的臨界B值[8,9],且隨著阻尼階數(shù)的增加,引起叉形分岔的臨界B值將增大,這在以往振動共振的相關(guān)文獻(xiàn)中都有描述.(1)式中的激勵均為非簡諧信號,但振動共振發(fā)生的機(jī)理不變,快變形式的輔助信號仍引起等效系統(tǒng)的叉形分岔,且系統(tǒng)階數(shù)越大,引起叉形分岔的臨界B值就越大,導(dǎo)致發(fā)生共振時(shí)需要的B值也變大.另一方面,從時(shí)間序列上直觀分析,系統(tǒng)階數(shù)對時(shí)間序列的形狀也會有影響,如在圖3中所給定的幾種α取值情況下,隨著α的增大,輸出時(shí)間序列的形狀與二進(jìn)制非周期信號之間的相似性明顯增加,這可以從系統(tǒng)的響應(yīng)特性方面來理解.對于二進(jìn)制非周期信號,在信號的轉(zhuǎn)折點(diǎn)處,即信號由負(fù)(正)值變?yōu)檎?負(fù))值的轉(zhuǎn)折點(diǎn),相當(dāng)于對系統(tǒng)輸入一個(gè)短時(shí)的階躍信號,而系統(tǒng)在二進(jìn)制非周期信號轉(zhuǎn)折點(diǎn)處一定時(shí)間內(nèi)的響應(yīng)是系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)、該短時(shí)階躍信號引起的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)以及輔助信號引起的響應(yīng)共同作用的結(jié)果,因?yàn)榭紤]的是系統(tǒng)輸出與二進(jìn)制非周期信號的相似性,在這些響應(yīng)成分中,短時(shí)階躍響應(yīng)引起的系統(tǒng)響應(yīng)起主要作用.上升時(shí)間是度量系統(tǒng)響應(yīng)特性的重要指標(biāo)[13,14],上升時(shí)間越快,系統(tǒng)響應(yīng)達(dá)到和輸入信號相似所需要的時(shí)間就越短,相似性就越好.從圖3可以看出,隨著α的增大,系統(tǒng)輸出和二進(jìn)制非周期信號之間的相似性也增加,在相關(guān)系數(shù)方面應(yīng)該表現(xiàn)為相關(guān)系數(shù)變大.這一點(diǎn)在圖4中表現(xiàn)更為明顯,圖4中對應(yīng)A=0.1的曲線,可以明顯地看到隨著α的增大,Csx-B曲線的共振峰值變大,即發(fā)生共振時(shí)的最大相關(guān)系數(shù)的值變大,也即系統(tǒng)輸出的時(shí)間序列和輸入的二進(jìn)制非周期信號之間的相似性變好.總之,非周期振動共振是一種比較復(fù)雜的非線性動力學(xué)現(xiàn)象,其動力學(xué)特性是多種因素共同作用的結(jié)果,可以主要從以上兩方面來理解系統(tǒng)階數(shù)對非周期振動共振的影響.

圖5 特征信號脈寬以及系統(tǒng)階數(shù)α取值不同時(shí),相關(guān)系數(shù)Csx與輔助信號幅值B之間的關(guān)系(仿真參數(shù)為a=1,b=1,β=10) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.5.The curves of Csx-B are obtained under different pulse width of the character signal and different fractionalorder values.The simulation parameters are a=1,b=1 and β=10:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

3 基于變尺度法的非周期振動共振

為說明本部分所闡述的問題,首先給出一組二進(jìn)制非周期信號,該信號和圖1中對應(yīng)的信號具有完全相似的波形,但是時(shí)間尺度不同,即脈寬的大小不同.相對于圖1中脈寬的取值,圖6中的脈寬縮小為圖1中脈寬的百分之一.通俗地講,可以認(rèn)為圖1中的特征信號是慢變信號,而圖6中的特征信號是快變信號.快變特征信號在工程應(yīng)用中也是廣泛存在的,因此研究快變特征信號的振動共振問題具有理論意義和工程價(jià)值.

在圖6的三種不同波形的二進(jìn)制非周期信號激勵下,直接研究非周期振動共振現(xiàn)象,結(jié)果如圖7所示.在圖7中,振動共振現(xiàn)象消失,不能再利用振動共振實(shí)現(xiàn)二進(jìn)制非周期信號的放大.究其原因,是因?yàn)橄到y(tǒng)參數(shù)和信號達(dá)不到應(yīng)有的匹配.相比于圖1中的信號,圖6中的信號脈沖寬度縮小,而所使用的系統(tǒng)未發(fā)生變化,因此不能誘導(dǎo)振動共振的發(fā)生,只有信號參數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)重新達(dá)到匹配才能解決這一問題.我們以變尺度法實(shí)現(xiàn)信號和系統(tǒng)的匹配變尺度法在高頻簡諧信號激勵下系統(tǒng)的隨機(jī)共振[15,16]以及振動共振[17,18]的研究中已經(jīng)取得了很好的效果,并應(yīng)用于解決工程實(shí)際問題.

圖6 相同幅值和脈寬下二進(jìn)制非周期信號的三種不同波形(A=0.3,T=0.2)Fig.6.Three different waveforms of the binary aperiodic signal under the same signal amplitude and pulse width(A=0.3,T=0.2).

首先,引入尺度變換

把(5)式代入(1)式并根據(jù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)尺度變換的性質(zhì)[19],得到

令

則

對比(8)式和(1)式,非周期信號的脈寬被放大了γ倍,能夠?qū)⒖熳冃盘栕優(yōu)槁冃盘?同時(shí)輔助信號也進(jìn)行了相應(yīng)的頻率變換,能夠匹配特征信號.因此,經(jīng)過尺度變換后,(8)式中的激勵信號與(1)式中的激勵信號具有了相同的時(shí)間尺度,即都為慢變信號.此外,選擇合適的γ,使(8)式中的系統(tǒng)參數(shù)a1和b1可以具有與(1)式中的系統(tǒng)參數(shù)a和b相同的值或者相同量級的值.所以,系統(tǒng)(1)達(dá)到振動共振的匹配條件時(shí),即信號參數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)相匹配時(shí),(8)式中的信號參數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)可以對照(1)式來選取.同時(shí)還要注意到,(8)式和(1)式相比,激勵信號的振幅都縮小為原來的1/γα.因此,在時(shí)間尺度τ中與(1)式等價(jià)的方程應(yīng)為綜合以上分析過程,在時(shí)間尺度t中要實(shí)現(xiàn)快變特征信號的非周期振動共振,應(yīng)該在以下方程中求解:

圖7 特征信號波形以及系統(tǒng)階數(shù)α取值不同時(shí),相關(guān)系數(shù)Csx與輔助信號幅值B之間的關(guān)系(仿真參數(shù)為a=1,b=1,A=0.3,T=0.2,β=10) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.7.The curves of Csx-B are obtained under different waveforms of the character signal and different fractionalorder values.The simulation parameters are a=1,b=1,A=0.3,T=0.2 and β=10:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

圖8 變尺度條件下相關(guān)系數(shù)Csx與輔助信號幅值B之間的關(guān)系曲線 (仿真參數(shù)為a1=1,b1=1,A=0.3,T=0.2,β=10,γ=100) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.8.The curves of Csx-B are obtained by the re-scaled method.The simulation parameters are a1=1,b1=1,A=0.3,T=0.2,β=10 and γ=100:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

在以上分析中,a1,b1都是小參數(shù),一般都是1的量級,γ根據(jù)如何把快變特征信號變?yōu)槁冃盘杹碓O(shè)定大小.以下用算例進(jìn)行分析驗(yàn)證.

圖9 變尺度條件下的最佳非周期振動共振輸出 (a)α=0.4,B=0.75;(b)α=0.7,B=1.2;(c)α=1.0,B=1.5;(d)α=1.5,B=1.6;其他仿真參數(shù)為a=1,b=1,A=0.3,T=20,β=10,γ=100;紅色粗實(shí)線為輸入的特征信號;黑線虛線對應(yīng)B=0的輸出;藍(lán)色細(xì)實(shí)線為最佳非周期振動共振輸出Fig.9.The optimal AVR output time series are obtained by the re-scaled method:(a)α=0.4,B=0.75;(b)α=0.7,B=1.2;(c)α=1.0,B=1.5;(d)α=1.5,B=1.6.Other simulation parameters are a=1,b=1,A=0.3,T=20,β =10 and γ =100.Thick lines in red color is the input character signals;dashed lines in black color is the output corresponding to B=0;thin lines in blue color is the optimal AVR output.

針對圖6中三種波形的二進(jìn)制信號,圖8中采用變尺度法實(shí)現(xiàn)了非周期振動共振現(xiàn)象顯然,基于(10)式實(shí)現(xiàn)了圖6中的信號與圖8中所采用系統(tǒng)參數(shù)的匹配通過γ=100的尺度變換,相當(dāng)于把特征信號T=0.2的脈寬變換到與特征信號T=20的脈寬等價(jià)的系統(tǒng)中,因此圖8中的Csx-B曲線與圖2中對應(yīng)的曲線形狀基本相同,這也說明了變尺度后(10)式與(1)式的等價(jià)性.使用變尺度法能夠在分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn)快變特征信號(本文中是指脈寬取值小的情況)的非周期振動共振,且不受脈沖寬度及信號波形的影響.

根據(jù)圖8中的曲線,在圖9中給出了變尺度條件下特征信號(信號2)的最佳振動共振輸出.首先,非周期信號在脈寬比較小的情況下實(shí)現(xiàn)了振動共振現(xiàn)象,特征信號得到了放大.其次,對比圖9和圖3,發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)發(fā)生非周期振動共振時(shí)輸出的波形以及對應(yīng)輔助信號的幅值B基本相同,些許的小誤差可以認(rèn)為由數(shù)值計(jì)算所引起.從圖9的時(shí)間序列上再一次說明了變尺度法處理非周期快變特征信號的有效性以及變尺度后(10)式與(1)式的等價(jià)性.

為進(jìn)一步說明變尺度法的有效性,圖10中在脈寬T取值不同時(shí)給出了對應(yīng)于系統(tǒng)階數(shù)不同取值的Csx-B曲線.圖10中的曲線與圖5中的對應(yīng)曲線基本相同,這是因?yàn)椴捎米兂叨确ê?在γ=100的條件下,脈寬T=0.1,T=0.15,T=0.2在等效的系統(tǒng)中分別變?yōu)門=10,T=15,T=20.因此,圖10中的曲線與圖5中的對應(yīng)曲線基本相同.

圖10 變尺度條件下相關(guān)系數(shù)Csx與輔助信號幅值B之間的關(guān)系 (仿真參數(shù)為a1=1,b1=1,A=0.3,β=10,γ=100) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.10.The curves of Csx-B are obtained by the re-scaled method.The simulation parameters are a1=1,b1=1,A=0.3,β=10 and γ=100:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

圖11中在不同的尺度系數(shù)下給出了Csx-B曲線.圖11中的曲線與圖10以及圖2中的對應(yīng)曲線基本一致,這是因?yàn)樵谒x的尺度系數(shù)下,等效的脈寬又分別變?yōu)門=10,T=15,T=20.因此,出現(xiàn)圖11中的曲線與圖10以及圖2中的對應(yīng)曲線基本一致的情況.在圖8—圖11中,通過選取不同的信號波形以及不同的特征信號參數(shù)和變尺度系數(shù),驗(yàn)證了變尺度法實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)中非周期振動共振的有效性,這種方法使得信號參數(shù)和系統(tǒng)參數(shù)能夠?qū)崿F(xiàn)較好的匹配,非周期振動共振的發(fā)生不再依賴于脈寬的情況.在任何脈寬情況下,都可以使用該方法誘發(fā)非周期振動共振.

圖11 變尺度條件下相關(guān)系數(shù)Csx與輔助信號幅值B之間的關(guān)系(仿真參數(shù)為a1=1,b1=1,A=0.3,T=0.2,β=10) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.11.The curves of Csx-B are obtained by the re-scaled method.The simulation parameters are a1=1,b1=1,A=0.3,T=0.2 and β=10:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

4 基于二次采樣法的非周期振動共振

除變尺度法之外,二次采樣法在基于動力學(xué)的共振原理處理高頻信號方面也具有良好的效果.二次采樣法由冷永剛教授等首先提出[20],并應(yīng)用于工程問題的研究[21,22].二次采樣法的步驟如下:

1)對激勵信號確定第一次采樣的頻率fs,并進(jìn)行第一次采樣;

2)對第一次采樣后的離散信號進(jìn)行第二次采樣,二次采樣頻率為fs/κ,通過二次采樣,信號進(jìn)行了重構(gòu)激勵信號周期(或脈寬)變?yōu)樵瓉淼摩时?κ可以稱為二次采樣頻率比,基于此原理能夠?qū)⒖熳兲卣餍盘栕儞Q成慢變信號;

3)將經(jīng)過二次采樣重構(gòu)的信號輸入到非線性系統(tǒng),系統(tǒng)參數(shù)不必進(jìn)行變化,仍采用小參數(shù)系統(tǒng),而后得到輸出的時(shí)間序列;

4)根據(jù)第一次采樣頻率的數(shù)值以及二次采樣頻率比進(jìn)行逆變換,將系統(tǒng)的輸出再變回到第一次采樣頻率下的時(shí)間序列;

5)根據(jù)計(jì)算指標(biāo),對上一步的時(shí)間序列進(jìn)行分析,得出結(jié)果.

針對圖6中的信號,在圖12中給出了基于二次采樣法得到的Csx-B曲線.在該圖中,振動共振現(xiàn)象明顯,這說明二次采樣法的有效性.圖12中的曲線和圖8中的曲線基本一致,這說明用二次采樣法和變尺度法實(shí)現(xiàn)非周期振動共振的等效性.

二次采樣法和變尺度法在實(shí)現(xiàn)快變信號的非周期振動共振方面有異曲同工之妙,但其物理過程是不同的.變尺度法是對系統(tǒng)參數(shù),即系統(tǒng)的尺度進(jìn)行變換,信號振幅相應(yīng)地放大,信號的頻率或者脈寬不變,用變化后的系統(tǒng)去匹配原信號,實(shí)現(xiàn)振動共振.二次采樣法是對輸入的信號進(jìn)行變換,通過二次采樣將快變特征信號變?yōu)槁冃盘?系統(tǒng)不發(fā)生變換,用變換后的信號去匹配原系統(tǒng),實(shí)現(xiàn)振動共振.在工程應(yīng)用中,應(yīng)該根據(jù)實(shí)際的物理?xiàng)l件來選擇所需要的方法.

5 結(jié) 論

以二進(jìn)制非周期信號為特征信號,以周期方波信號為輔助信號,以相關(guān)系數(shù)為指標(biāo),研究了分?jǐn)?shù)階雙穩(wěn)系統(tǒng)中的非周期振動共振現(xiàn)象.主要得到了以下結(jié)論.

圖12 基于二次采樣法得到的相關(guān)系數(shù)Csx與輔助信號幅值B之間的關(guān)系(仿真參數(shù)為a=1,b=1,A=0.3,T=0.2,β=10,κ=100) (a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5Fig.12.The curves of Csx-B are obtained by the twice sampling method.The simulation parameters are a=1,b=1,A=0.3,T=0.2,β=10 and κ=100:(a)α=0.4;(b)α=0.7;(c)α=1.0;(d)α=1.5.

1)當(dāng)特征信號為慢變信號時(shí),即脈寬較大的情況,系統(tǒng)參數(shù)為小參數(shù)即可滿足系統(tǒng)和信號的匹配,通過調(diào)節(jié)輔助信號的幅值,能夠誘發(fā)非周期振動共振,進(jìn)而增強(qiáng)特征信號.

2)當(dāng)特征信號為快變信號,即脈寬較小的情況,需要一定的技術(shù)方法才能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)參數(shù)和信號參數(shù)的匹配去誘發(fā)振動共振,本文給出了兩種相關(guān)方法:第一種方法是變尺度法,通過尺度變換,得到與原系統(tǒng)等效的新系統(tǒng),實(shí)質(zhì)上是變換了系統(tǒng)的尺度,使新系統(tǒng)的參數(shù)和原信號參數(shù)達(dá)到匹配,從而誘發(fā)非周期振動共振,在該方法的使用過程中,變尺度系數(shù)是起決定性作用的關(guān)鍵因素;第二種方法是二次采樣法,通過對輸入信號進(jìn)行二次采樣,得到的新信號可與原系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行匹配,進(jìn)而能夠誘發(fā)非周期振動共振,在該方法的使用過程中,二次采樣頻率比是起決定性作用的關(guān)鍵因素.

3)系統(tǒng)的階數(shù)對響應(yīng)的動力學(xué)行為有重要的影響.隨著系統(tǒng)階數(shù)的增大,相關(guān)系數(shù)與輔助信號幅值之間的曲線所呈現(xiàn)的共振區(qū)域變寬,誘發(fā)最佳振動共振所需要的輔助信號幅值變大,在時(shí)間序列上表現(xiàn)為輸出的時(shí)間序列與輸入的特征信號之間的相似性增強(qiáng).

本文實(shí)現(xiàn)了二進(jìn)制非周期信號在不同脈寬下的非周期振動共振現(xiàn)象,可對非周期信號的增強(qiáng)及檢測提供參考思路.同時(shí),也給出了分?jǐn)?shù)階非線性系統(tǒng)在非周期激勵下的一些典型的非線性動力學(xué)行為,對分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的研究具有參考價(jià)值.

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