基于噪聲理論視角下單模激光系統(tǒng)的研究方法和發(fā)展歷程

付燕 王國(guó)威

【摘 要】文章以單模激光系統(tǒng)為問題的著手點(diǎn)，系統(tǒng)地闡述了諸多非線性隨機(jī)過程具體的研究方法，以期對(duì)此研究過程做出較全面的分析。

【關(guān)鍵詞】噪聲；單模；激光系統(tǒng)；統(tǒng)計(jì)性質(zhì)

一、引言

噪聲理論揭示人類文明社會(huì)以及大自然中廣泛存在的普遍性，已經(jīng)成為一個(gè)舉世矚目的研究熱點(diǎn)和學(xué)術(shù)前沿[1]。研究者發(fā)現(xiàn)，只要使用足夠精確的測(cè)量?jī)x器，幾乎所有的物理量都會(huì)隨時(shí)間出現(xiàn)“漲落”，通常情況下，研究者稱這種快速變化且普遍存在的隨機(jī)漲落為“噪聲”。從宏觀層次上看，噪聲顯示出微觀層面上相粒子的運(yùn)動(dòng)對(duì)宏觀變量產(chǎn)生的影響，并且時(shí)刻存在于宏觀世界。

對(duì)統(tǒng)計(jì)物理以及非線性學(xué)科最近幾十年的探索表明：噪聲并不僅僅總是出現(xiàn)消極的干擾，它也可以產(chǎn)生若干研究者意想不到的結(jié)果，甚至?xí)a(chǎn)生很多出人意料的現(xiàn)象。比如，對(duì)宏觀系統(tǒng)而言，噪聲可以使其從有序變?yōu)闊o序，也可以從無序變?yōu)橛行颉?/p>

二、激光模型

激光模型最早出現(xiàn)于1960年前后，該模型是非平衡統(tǒng)計(jì)物理自組織系統(tǒng)中非常典型的例子。在常溫條件下，當(dāng)增益介質(zhì)處在無激發(fā)狀態(tài)時(shí)，由于上能級(jí)粒子數(shù)量比較少，如果存在一束光通過發(fā)光物質(zhì)，則受激吸收遠(yuǎn)大于受激福射，此種情況下不形成激光。但是，如果采用放電、光照或者其他方法對(duì)發(fā)光物質(zhì)輸入能量（該過程稱為泵浦、抽運(yùn)或者激勵(lì)），當(dāng)激勵(lì)的能量大于激光系統(tǒng)某一閾值的時(shí)候，會(huì)導(dǎo)致上能級(jí)的粒子數(shù)大于下能級(jí)的發(fā)光粒子數(shù)，從而出現(xiàn)粒子數(shù)反轉(zhuǎn)。此時(shí)系統(tǒng)中即使沒有入射光，但只要發(fā)光物質(zhì)中有一個(gè)光子存在，且滿足頻率合適的要求，便可產(chǎn)生連鎖反應(yīng)，迅速激發(fā)大量相同光子態(tài)的光子，從而形成激光。

激光器的理論物理基礎(chǔ)是光頻電磁場(chǎng)與物質(zhì)的分子、離子或者原子之間的共振相互作用。在理論物理范疇內(nèi)，可以從三個(gè)層次對(duì)激光器進(jìn)行物理描述，分別是速率方程理論、半經(jīng)典理論和全量子理論。

三、研究方法的發(fā)展進(jìn)程和現(xiàn)狀

（一）隨機(jī)共振理論

R. Benzi等人于1981年左右研究古氣象冰川問題時(shí)，提出“隨機(jī)共振”的概念。在R. Benzi等人提出的氣候問題理論模型中發(fā)現(xiàn)，在R. Benzi等人考慮的氣候問題理論模型中，由于地球是處于非線性條件下的，只有將太陽對(duì)地球施加的這個(gè)微小且周期變化的信號(hào)，與這個(gè)期間內(nèi)地球所受到的隨機(jī)力，和地球本身的非線性條件這3個(gè)條件結(jié)合起來，并且分析和討論它們最終的協(xié)同作用，才可以完整地解釋上述氣候現(xiàn)象問題。對(duì)于上述模型而言，地球是處在非線性條件下的，這種條件使得地球可能取冰川期（即冷態(tài)）和暖氣期（即暖態(tài)）這兩種狀態(tài)。由于地球離心率的周期變化，導(dǎo)致氣候在這兩個(gè)狀態(tài)之間變動(dòng)，而地球受到的隨機(jī)力，則在一定程度上提高了較小的周期信號(hào)對(duì)整個(gè)非線性系統(tǒng)的調(diào)制能力，通過“隨機(jī)共振”最終引起了地球古氣象的大幅度周期變化。

（二）線性化近似理論

下面通過以線性化近似方法來處理單模激光增益模型的過程為例進(jìn)行介紹。

假設(shè)已知單模激光增益模型的光強(qiáng)方程，并用周期信號(hào)對(duì)泵噪聲進(jìn)行調(diào)制，然后通過推導(dǎo)得到加入噪聲之后單模激光增益系統(tǒng)的朗之萬方程。根據(jù)線性化近似方法，在確定論光強(qiáng)項(xiàng)中引入微擾項(xiàng)，并在確定論光強(qiáng)附近作線性化近似處理，根據(jù)單模激光系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)光強(qiáng)關(guān)聯(lián)函數(shù)的定義，對(duì)穩(wěn)態(tài)光強(qiáng)關(guān)聯(lián)函數(shù)作傅里葉變換，得到系統(tǒng)輸出光強(qiáng)功率譜。對(duì)系統(tǒng)輸出光強(qiáng)功率譜進(jìn)行整理，同時(shí)得到輸出信號(hào)功率譜和輸出噪聲功率譜的表達(dá)式。根據(jù)信噪比定義，依據(jù)已經(jīng)得到的相關(guān)表達(dá)式，通過計(jì)算得到系統(tǒng)信噪比具體解析表達(dá)式。研究者可以把系統(tǒng)輸出光強(qiáng)功率譜以及系統(tǒng)信噪比作為研究單模激光增益系統(tǒng)的重要參數(shù)，且這些參數(shù)均在很大程度上準(zhǔn)確地反應(yīng)出系統(tǒng)的性質(zhì)。

從上述推導(dǎo)過程可以看出，線性化近似方法有一個(gè)很大的優(yōu)點(diǎn)，那就是它對(duì)信號(hào)、噪聲沒有任何限制條件。

（三）絕熱近似理論

絕熱近似理論是由Wesenfeld和McNamara研究團(tuán)隊(duì)在1989年提出來的。假設(shè)有一雙穩(wěn)系統(tǒng)，同時(shí)在該系統(tǒng)中輸入信號(hào)和噪聲。雙穩(wěn)系統(tǒng)最常見的模型為一3次方程，如果系統(tǒng)中不加信號(hào)和噪聲，那么系統(tǒng)有兩個(gè)穩(wěn)態(tài)，且系統(tǒng)的運(yùn)行軌道將在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)附近作局域性的周期簡(jiǎn)諧振動(dòng)。但是，如果在系統(tǒng)中引入噪聲，則系統(tǒng)會(huì)在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)之間進(jìn)行躍遷。用概率分布函數(shù)來描述這一過程，可以寫出與其對(duì)應(yīng)的?？?普朗克方程。然后將上述連續(xù)模型簡(jiǎn)化為兩態(tài)模型，當(dāng)輸入信號(hào)和噪聲強(qiáng)度都很小，可以將系統(tǒng)的兩個(gè)連續(xù)吸引區(qū)看作兩個(gè)離散的吸引子，則處在兩個(gè)吸引子處的概率總量分別可以求出。

在絕熱近似條件下，非線性系統(tǒng)?？?普朗克方程的長(zhǎng)時(shí)間演化行為可以根據(jù)實(shí)際模型簡(jiǎn)化為概率交換的主方程。假設(shè)其躍遷率形式可求，利用泰勒公式展開，得到展開式中相關(guān)參數(shù)的一次項(xiàng)帶入主方程，通過計(jì)算推導(dǎo)出系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率密度分布函數(shù)的解析解，然后利用漸進(jìn)態(tài)可求得隨機(jī)變量相關(guān)函數(shù)的具體形式。由于該相關(guān)函數(shù)既與時(shí)間間隔有關(guān)，又和時(shí)間的初始值有關(guān)，因此統(tǒng)計(jì)意義上的相關(guān)函數(shù)是初始時(shí)間的系綜平均。根據(jù)上述分析，則可以將輸出信噪比定義為輸出總信號(hào)功率與單位噪聲譜的平均功率之比。

從以上推導(dǎo)過程可以看出，絕熱近似對(duì)信號(hào)、噪聲和系統(tǒng)有嚴(yán)格的的限制條件，該方法要求信號(hào)頻率、振幅以及噪聲強(qiáng)度均遠(yuǎn)小于1。這一要求看似不甚實(shí)際，但在具體的物理系統(tǒng)中，這些限制條件有時(shí)又恰好是合理的。

（四）微擾理論

1990年，中國(guó)學(xué)者胡崗教授注意到?？?普朗克方程與薛定諤方程極為相似，首次將微擾理論應(yīng)用到求解?？?普朗克方程的過程中。

假設(shè)需要處理的模型仍然是一個(gè)同時(shí)輸入信號(hào)和噪聲的簡(jiǎn)單雙穩(wěn)系統(tǒng)，該系統(tǒng)對(duì)應(yīng)的?？?普朗克方程方程可求。且方程中引入信號(hào)振幅遠(yuǎn)小于1時(shí)，則可以將微弱信號(hào)看成微擾。根據(jù)上述方程得到無微擾?？?普朗克方程，且假設(shè)無微擾的福克-普朗克方程全部本征函數(shù)和本征值已經(jīng)求得，則可以求得無微擾?？?普朗克方程的定態(tài)解。根據(jù)正交性和歸一化條件，可得在本征表象中上述?？?普朗克方程的解。當(dāng)時(shí)間趨近于無窮大時(shí)，假定穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)為一周期函數(shù)。這時(shí)，可將穩(wěn)態(tài)概率密度函數(shù)通過傅立葉函數(shù)展開，并在本征矢上進(jìn)行分解，將其結(jié)果代入福克-普朗克方程，可得到無窮個(gè)耦合的代數(shù)方程組。對(duì)關(guān)聯(lián)函數(shù)進(jìn)行傅立葉變換，并只取正頻部分的功率譜，將輸出信噪比定義為輸出總信號(hào)功率與處的單位噪聲譜的平均功率之比，可以得到系統(tǒng)的信噪比。

信噪比的定義與絕熱近似理論的定義相同，從推導(dǎo)的過程可以看出，它成立的條件對(duì)于信號(hào)頻率和噪聲強(qiáng)度都沒有限制。因此，微擾理論的適用范圍比絕熱近似理論更加廣泛。但是，在應(yīng)用這種方法時(shí)，必須先求解無微擾的福克-普朗克方程的全部本征函數(shù)和本征值，而求解這一步往往也是非常困難的。

四、結(jié)論

非平衡統(tǒng)計(jì)物理的研究受到復(fù)雜數(shù)學(xué)計(jì)算和傳統(tǒng)確定論物理思想的困擾，但長(zhǎng)期以來，研究者從未放棄過對(duì)它的理論探索。文章首先簡(jiǎn)要介紹了激光模型，然后介紹了利用4種理論解釋激光單模系統(tǒng)中處理問題的思路，并說明4種理論各自的適用性和局限性。根據(jù)這4種理論各自的不同特點(diǎn)，可以指導(dǎo)研究者在不同的問題中選用適當(dāng)?shù)姆椒▉碚归_自己的研究工作。

【參考文獻(xiàn)】

[1]張良英，曹力，吳大進(jìn).具有色關(guān)聯(lián)的色噪聲驅(qū)動(dòng)下單模激光線性模型的隨機(jī)共振[J].物理學(xué)報(bào)，2003，52（5）：1174–1178.

[2]王國(guó)威. 噪聲作用下雙穩(wěn)系統(tǒng)和集合種群的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)研究[D]. 長(zhǎng)江大學(xué)，2014.