江蘇高考卷解析幾何分析與復(fù)習(xí)反思

鄭玉梅

摘要：今年高考題出現(xiàn)的一題多解題，拓寬了學(xué)生的解題思路，培養(yǎng)了學(xué)生從不同視角分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。本文意在利用一題多解這種題型本質(zhì)，最大化地挖掘高考試題的潛在價(jià)值，使我們?cè)谡n堂教學(xué)中有針對(duì)性地組織內(nèi)容，讓教學(xué)過(guò)程著眼于方法，立根于本質(zhì)。

關(guān)鍵詞：高考；一題多解；策略

中圖分類號(hào)：G633.65文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1992-7711（2018）03-095-2

今年高考的解析幾何解答題，是一道平易近人的可求型交點(diǎn)問(wèn)題，它改變了以往的大運(yùn)算量，起點(diǎn)相對(duì)較低，更注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的運(yùn)用。

題目如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為12，兩準(zhǔn)線之間的距離為8。點(diǎn)P在橢圓E上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)F1作直線PF1的垂線l1，過(guò)點(diǎn)F2作直線PF2的垂線l2。

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線l1，l2的交點(diǎn)Q在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。

一題多解

（1）略；（2）怎么求？思考方向不外乎兩個(gè)：代數(shù)法或幾何法。不難發(fā)現(xiàn)只要點(diǎn)P確定，則涉及的相關(guān)直線與點(diǎn)就全部確定，所以從P點(diǎn)的坐標(biāo)入手成為解決本題的一個(gè)自然選擇。

解法1由（1）知，F(xiàn)1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）。設(shè)P（x0，y0）因?yàn)镻為第一象限的點(diǎn)，故x0>0，y0>0。

當(dāng)x0=1時(shí)，l2與l1相交于F1，與題設(shè)不符。

當(dāng)x0≠1時(shí)，直線PF1的斜率y0x0+1，直線PF2的斜率y0x0-1。

因?yàn)閘1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直線l1的斜率為-x0+1y0，直線l2的斜率為-x0-1y0，

從而直線l1的方程：y=-x0+1y0（x+1），①直線l2的方程：y=-x0-1y0（x-1）。②

由①②，解得x=-x0，y=x20-1y0，所以Q（-x0，x20-1y0）。

因?yàn)辄c(diǎn)Q在橢圓上，由橢圓的對(duì)稱性可知，Q和P關(guān)于y軸對(duì)稱或者關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。x20-1y0=±y0，即x20-y20=1或x20+y20=1。又P在橢圓E上，故x204+y203=1。

由x20-y20=1x204+y203=1，解得x0=477，y0=377；x20+y20=1x204+y203=1，無(wú)解。

因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為（477，377）。

能否回避對(duì)斜率是否存在的討論呢？若用向量來(lái)處理，就沒(méi)有這些麻煩。

解法2設(shè)Q（x1，y1），由PF1⊥QF1，得PF1·QF1=0，即（x0+1）（x1+1）+y0y1=0。

同理可得（x0-1）（x1-1）+y0y1=0，兩式相減，得x1=-x0，所以x20-y0y1=1，

所以Q（-x0，x20-1y0）。以下略。

此處可能也會(huì)有同學(xué)采用三角設(shè)點(diǎn)。

解法3由（1）知，設(shè)P（2cosα，3sinα），Q（2cosβ，3sinβ），因?yàn)镻為第一象限的點(diǎn)，所以α∈（0，π2），β∈（0，2π）。由PF1⊥QF1，得PF1·QF1=0，

即（2cosα+1）（2cosβ+1）+3sinαsinβ=0，

同理，由PF2⊥QF2，得（2cosα-1）（2cosβ-1）+3sinαsinβ=0，

兩式相減，得cosα=-cosβ，又α∈（0，π2），所以β∈（π2，π）或β∈（π，3π2），

若β∈（π2，π），則β=π-α，得sinβ=sinα，代入上式得，

3sin2α-4cosα+1=0（利用sin2α+cos2α=1），sin2α=37，cos2α=47，

又α∈（0，π2），所以sinα=217，cosα=277，所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（477，377），

若β∈（π，3π2），同理，發(fā)現(xiàn)不符合題意。綜上，P（477，377）。

【說(shuō)明】 利用三角設(shè)點(diǎn)，找到縱坐標(biāo)的關(guān)系，當(dāng)然，也可以借助誘導(dǎo)公式的使用，直接找到α、β的關(guān)系分情況求解。當(dāng)然，有可以抓圖形特征。

所以PF1-PF2=QF2-QF1 ②，

由①-②，PF2=QF1，由橢圓的對(duì)稱性（或第二定義）可知，Q和P關(guān)于y軸對(duì)稱或者關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

以下同。

解法5因?yàn)镻F1⊥QF1，PF2⊥QF，所以∠PF1Q=∠PF2Q=90°，

即∠PF1Q+∠PF2Q=180°。所以，四點(diǎn)P、F1、Q、F2在以PQ為直徑的圓上。

設(shè)圓心為M，則M為線段PQ的中點(diǎn)且線段在F1F2的中垂線上（y軸）上，設(shè)M（0，t），設(shè)P（x0，y0），x0>0，y0>0，則Q（-x0，2t-y0），

由P、Q均在橢圓上，x204+y203=1（-x0）24+（2t-y0）23=11+t2=x20+（y0-t）2，

所以P（477，377）。

一題多思

不難發(fā)現(xiàn)解法1、2、3在本質(zhì)上沒(méi)什么區(qū)別，都是最平實(shí)的思路，通過(guò)設(shè)點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為純坐標(biāo)運(yùn)算，依托于直線與橢圓聯(lián)立，一算到底使問(wèn)題得以解決，可以視為通性通法。值得注意的是解法1中要對(duì)斜率是否存在進(jìn)行討論。

解法4和解法5都是建立在對(duì)幾何圖形特征的分析上，直接找到P、Q坐標(biāo)的關(guān)系，最終回到解析幾何的核心——坐標(biāo)法解決。

在以上5種解法里，函數(shù)與方程思想貫穿始終，有的算的多、算的巧，有的想的多，算的少，歸納一下有兩個(gè)要點(diǎn)：

1.數(shù)形結(jié)合意識(shí)很重要：解析幾何仍是一種“幾何”，對(duì)圖形特征的分析必不可少，一定要仔細(xì)分析圖中的點(diǎn)、線、角特征，因?yàn)檫@些元素都有可能構(gòu)成等量關(guān)系；

2.計(jì)算能力要足夠強(qiáng)：解幾的本質(zhì)是坐標(biāo)法，代數(shù)運(yùn)算必不可少，計(jì)算量的大小與解題方向的選擇關(guān)系密切，但在考試中我們無(wú)暇顧及比較不同算法的優(yōu)劣，就只能遵循“只要解題方向正確，就一算到底”的原則。

2018備考啟示

在高考創(chuàng)新試題層出不窮的大環(huán)境下，回顧前幾年的解析幾何題，筆者認(rèn)為可以得到以下幾點(diǎn)啟示：

1.繼續(xù)注重基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的訓(xùn)練

學(xué)生基礎(chǔ)扎實(shí)，能力自然提升。備考時(shí)，不能一味的重難題和偏題，而忽視基礎(chǔ)。教師要對(duì)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)和方法點(diǎn)做到心中有數(shù)（高考考什么？怎么考？學(xué)生應(yīng)該掌握到什么程度？學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)在哪？障礙將在哪里產(chǎn)生？分化點(diǎn)在哪里？如何分析難點(diǎn)等），教學(xué)中要注重課本的回歸、重視通性通法的總結(jié)，基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的落實(shí)。

2.注重以能力立意

面對(duì)圓錐曲線的計(jì)算問(wèn)題，廣大學(xué)子為什么會(huì)如此恐懼呢？究其根源，原因一般在兩個(gè)方面：一、解幾對(duì)解題方法的選擇要求比較高，選擇合適的切入點(diǎn)可以簡(jiǎn)化運(yùn)算；二、對(duì)計(jì)算方法和技術(shù)能力的要求比較高。但不少學(xué)生的現(xiàn)狀是：計(jì)算能力的練習(xí)量不夠，計(jì)算練習(xí)的有效性不夠，計(jì)算技巧的把握還很欠缺，更重要的是，很多學(xué)生打心眼里反感，排斥，甚至從未試圖計(jì)算出準(zhǔn)確的答案來(lái)。對(duì)于掌握解析幾何方法不多、計(jì)算技能和技巧少的考生來(lái)說(shuō)，無(wú)疑是一道難以逾越的鴻溝。教學(xué)中，教師要能站在思想與方法、區(qū)別與聯(lián)系、延伸與拓展的高度揭示解決問(wèn)題的一般規(guī)律，形成方法體系，消除學(xué)生的恐懼，引導(dǎo)學(xué)生“反思再發(fā)現(xiàn)”，深化學(xué)生的理解，提高復(fù)習(xí)效率；

3.注重思想方法的滲透

解析幾何教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)要都要重視數(shù)形結(jié)合思想的滲透，當(dāng)然，也包括函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等等，還有極其重要的轉(zhuǎn)換思想，要把思想滲透到分析與探究問(wèn)題解決的細(xì)節(jié)過(guò)程中，思想及時(shí)總結(jié)，方法及時(shí)歸納，以提升認(rèn)知理解能力和優(yōu)化能力。