淺談利用導(dǎo)數(shù)解決與不等式有關(guān)的問(wèn)題

陳露

【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù)不等式單調(diào)性最值

導(dǎo)數(shù)是高中生學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)的一種重要工具。例如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求最大（小）值、求函數(shù)的值域等等。而在處理與不等式有關(guān)的綜合性問(wèn)題時(shí)往往需要利用函數(shù)的性質(zhì)；因此，很多時(shí)侯可以利用導(dǎo)數(shù)作為工具得出函數(shù)性質(zhì)，從而解決不等式的一些問(wèn)題。下面我簡(jiǎn)單探討導(dǎo)數(shù)在解決與不等式有關(guān)的問(wèn)題時(shí)的作用，請(qǐng)各位老師指導(dǎo)。

一、利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來(lái)證明不等式

我們知道函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的導(dǎo)數(shù)值大于（或小于）0時(shí)，則該函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。即把證明不等式轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)的單調(diào)性。具體有如下幾種形式：

1.直接構(gòu)造函數(shù)

直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大（?。?，來(lái)證明不等式成立。

例1：x>0時(shí)，求證；x-x22-ln（1+x）<0

證明：設(shè)f（x）= x-x22-ln（1+x） （x>0）， 則f ′（x）=-x21+x

∵x>0，∴f ′（x）<0，故f（x）在（0，+∞）上遞減，

所以x>0時(shí)，f（x）

2.合理變形后再構(gòu)造函數(shù)

有時(shí)無(wú)法直接求導(dǎo)而利用函數(shù)單調(diào)性，此時(shí)把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的。

例2：已知：a，b∈R，b>a>e， 求證：ab>ba， （e為自然對(duì)數(shù)的底）

證：要證ab>ba只需證lnab>lnba 即證：blna-alnb>0

設(shè)f（x）=xlna-alnx （x>a>e）；則f′ （x）=lna-ax，

∵a>e，x>a ∴l(xiāng)na>1，ax<1，∴f ′（x）>0，因而f（x）在（e， +∞）上單調(diào)遞增

∵b>a，∴f（b）>f（a）；故blna-alnb>alna-alna=0；即blna>alnb 所以ab>ba成立。

（注意，此題若以a為自變量構(gòu)造函數(shù)f（x）=blnx-xlnb （e

則f ′（x）=bx-lnb，f ′（x）>0時(shí)xblnb，故f（x）在區(qū)間（e， b）上的增減性要由e與blnb的大小而定，當(dāng)然由題可以推測(cè)e>blnb

故f（x）在區(qū)間（e， b）上的遞減，但要證明e>blnb則需另費(fèi)周折，因此，本題還是選擇以a為自變量來(lái)構(gòu)造函數(shù)好，由本例可知用函數(shù)單調(diào)性證明不等式時(shí)，如何選擇自變量來(lái)構(gòu)造函數(shù)是比較重要的。）

二、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值后，再證明不等式

導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)作用是求函數(shù)的最值. 因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r(shí)，不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問(wèn)題。

例3：f（x）=13x3-x， x1，x2∈[-1，1]時(shí)，求證：|f（x1）-f（x2）|≤43

證明：∵f ′（x）=x2-1， x∈[-1，1]時(shí)，f ′（x）≤0，

∴f（x）在[-1，1]上遞減.故f（x）在[-1，1]上的最大值為f（-1）=23

最小值為f（1）=-23，即f（x）在 [-1，1]上的值域?yàn)閇-23，23]；

所以x1，x2∈[-1，1]時(shí)，|f（x1）|≤23]， |f（x2）|≤23]，

即有 |f（x1）-f（x2）|≤|f（x1）|+ |f（x2）| ≤23+23=43

三、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問(wèn)題

不等式恒成立問(wèn)題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為m>f（x） （或m

例4：已知函數(shù)f（x）=（ax+x）9（a∈R），對(duì)f（x）定義域內(nèi)任意的x的值，

f（x）≥27恒成立，求a的取值范圍

解：函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），由f（x）≥27對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立

知ax+x≥ = 對(duì)一切x∈（0，+∞）恒成立，

即a≥x-xx對(duì)x∈（0，+∞）恒成立

設(shè)h（x）=x-xx，則h′（x）=-32x，，由h′（x）=0解x=4 9

h′（x）>0時(shí)，解得00時(shí)x>4 9

所以h（x）在（0，4 9）上遞增，在（4 9，+∞）上遞減，

故h（x）的最大值為h（4 9）=49，所以 a≥49

總之，無(wú)論是證明不等式，還是解不等式，只要在解題過(guò)程中需要用到函數(shù)的單調(diào)性或最值，我們都可以用導(dǎo)數(shù)作工具來(lái)解決。這種解題方法也是轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中學(xué)生解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要能力體現(xiàn)。

【參考文獻(xiàn)】

[1]趙大鵬：《3+X高考導(dǎo)練.數(shù)學(xué)》，中國(guó)致公出版社

[2]王宜學(xué)：《沙場(chǎng)點(diǎn)兵.數(shù)學(xué)》，遼寧大學(xué)出版社

[3]《狀元之路.數(shù)學(xué)》

（指導(dǎo)老師：耒陽(yáng)市第二中學(xué) 龍小連）

（作者單位：耒陽(yáng)市第二中學(xué)H1520班）