關(guān)于顏色與物質(zhì)濃度辨識的研究

周 同 杜珍珍

（銅陵職業(yè)技術(shù)學(xué)院，安徽 銅陵 244000）

1 引言

比色法是目前常用的一種檢測物質(zhì)濃度的方法，即把待測物質(zhì)制備成溶液后滴在特定的白色試紙表面，等其充分反應(yīng)以后獲得一張有顏色的試紙，再把該顏色試紙與一個標準比色卡進行對比，就可以確定待測物質(zhì)的濃度檔位了。每個人對顏色的敏感差異和觀測誤差，使得這一方法在精度上受到很大影響。隨著照相技術(shù)和顏色分辨率的提高，希望建立顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度的數(shù)量關(guān)系，即只要輸入照片中的顏色讀數(shù)就能夠獲得待測物質(zhì)的濃度。

本文以全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽2017年賽題C的數(shù)據(jù)，建立物質(zhì)濃度依顏色讀數(shù)來辨識的數(shù)學(xué)模型，并給出模型的誤差分析①文中所用數(shù)據(jù)下載于全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽組委會網(wǎng)站，鏈接為http：//www.mcm.edu.cn/html_cn/node/460baf68ab0ed 0e1e557a0c79b1c4648.html.。

2 顏色讀數(shù)與物質(zhì)濃度之間的關(guān)系

2.1 數(shù)據(jù)分析與處理

首先將數(shù)據(jù)按習(xí)慣的方式調(diào)整。（1）列的調(diào)整：原數(shù)據(jù)中按藍（B）、綠（G）、紅（R）排列的數(shù)據(jù)調(diào)整為按R、G、B排列；（2）行的調(diào)整：濃度值按從小到大排列。

據(jù)顏色編碼方法，RGB 編碼與色調(diào)（H）、飽和度（S）、亮度（V）編碼[1]可以互相轉(zhuǎn)換。通常，RGB 到HSV的轉(zhuǎn)換公式[2]為

表1 按轉(zhuǎn)換公式（1）計算的色調(diào)和飽和度

容易看出，題目所給數(shù)據(jù)并不滿足上述通行的轉(zhuǎn)換法則，即題目所給H和S并非按轉(zhuǎn)換公式所得的和。經(jīng)過對數(shù)據(jù)的仔細研讀，data1.xls中的數(shù)據(jù)與計算數(shù)據(jù)之間在計算機讀數(shù)存在隨機誤差的意義下滿足下述關(guān)系：

式（1）和式（2）表明，data1.xls中的五列數(shù)據(jù) R、G、B、H 和 S，獨立的僅有三個 R、G 和 B（根據(jù) RGB與HSV相互轉(zhuǎn)換關(guān)系，H、S、V也可視為相互獨立）。

在“組胺”數(shù)據(jù)中，同一濃度下都分別有兩組RGB值，考慮到計算機提取的RGB值都是區(qū)間[0，255]上的整數(shù)值[4－5]，故我們對這兩組RGB值平均后再“四舍五入”取整[3]作為模型中RGB的取值（見表2）。

表2 組胺濃度隨顏色變化情況

對“溴酸鉀”“硫酸鋁鉀”和“奶中尿素”也做類似的處理?！肮I(yè)堿”的數(shù)據(jù)中濃度與RGB值是一一對應(yīng)的。

2.2 模型的探索

本文以C表示物質(zhì)的濃度。

首先，觀察濃度值C分別隨R、G、B的變化情況，相應(yīng)的趨勢如下圖所示。

據(jù)圖可知，組胺濃度C隨R、G、B都呈遞減變化[6]，又C與R、G、B的函數(shù)關(guān)系是確定性的，所以C與R、G、B之間最簡單的數(shù)量關(guān)系可設(shè)定為：

式中 a0，a1，a2，a3為待定參數(shù)。

式（3）中待定參數(shù)有4個，而5種物質(zhì)的數(shù)據(jù)最少的有5組（最多的有7組），所以物質(zhì)濃度與顏色之間的依賴關(guān)系是可以確定的，即：由data1.xls中的數(shù)據(jù)能確定顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系。進而，本文提煉出如下一個結(jié)論：

物質(zhì)濃度通過顏色讀數(shù)來辨識，至少需要4組（C，R，G，B）觀測值。

3 物質(zhì)濃度依顏色讀數(shù)（R，G，B）辨識的數(shù)學(xué)模型

根據(jù)后面求解需要，本文提出如下兩個假設(shè)：（1）溶液顏色隨物質(zhì)濃度的變化是連續(xù)的；（2）題意中“水”對應(yīng)的物質(zhì)濃度為0，為分析需要本文在必要時假設(shè)其對應(yīng)的物質(zhì)濃度是一個很小的數(shù)，本文取為0.1ppm。

3.1 關(guān)于組胺的模型及求解

假設(shè)組胺濃度C與顏色讀數(shù)R、G、B之間的關(guān)系服從式（3），應(yīng)用最小二乘法擬合式（3），得模型參數(shù)值及模型精度如表3所示。

表3 組胺濃度辨識模型中的參數(shù)值及精度

即物質(zhì)濃度隨顏色變化的數(shù)學(xué)模型為

從模型精度指標看來，R2＝0.9974，說明有近 99.74%的（C，R，G，B），數(shù)據(jù)符合上述線性關(guān)系，F(xiàn)值較大說明模型的整體線性關(guān)系顯著，p=0.0645說明線性關(guān)系不成立的概率僅有0.0645。這些指標表明，模型精度高，據(jù)顏色辨識物質(zhì)濃度可信度高。

3.2 其它四種物質(zhì)的模型及計算結(jié)果

按組胺的分析和求解過程，其他四種物質(zhì)的模型及精度見表4。

表4 四種物質(zhì)濃度辨識模型及精度（RGB）

4 物質(zhì)濃度依顏色讀數(shù)（H，S＝，V）辨識的數(shù)學(xué)模型

4.1 模型及精度

第3節(jié)建立了物質(zhì)濃度依顏色RGB編碼的辨識模型。雖然用RGB來表示顏色很方便，但也有其明顯的不足，就是兩個相近的顏色（意味著對應(yīng)的物質(zhì)濃度是相近的）RGB值卻可能相差較大，所以本節(jié)以顏色的HSV編碼來辨識建立物質(zhì)濃度的HSV辨識模型，結(jié)果見表5。

表5 五種物質(zhì)濃度辨識模型及精度（HSV）

對比表4和表5，物質(zhì)濃度的RGB辨識模型的精度稍優(yōu)于HSV辨識模型。

4.2 兩類辨識模型的誤差分析

式中n為觀測值組數(shù)。模型總體預(yù)測誤差定義為

計算出五種物質(zhì)在兩類模型下的總體誤差[7]見表6所示。

表6 五種物質(zhì)在兩類模型下的總體誤差

通過對比知，對于“組胺”和“奶中尿素”選擇HSV模型來辨識物質(zhì)濃度是較好的策略；而對于“溴酸鉀”“工業(yè)堿”和“硫酸鋁鉀”選擇RGB模型來辨識物質(zhì)濃度是較好的策略。

5 結(jié)論

本文以組胺、溴酸鉀、工業(yè)堿、硫酸鋁鉀、奶中尿素為研究對象確定了顏色讀數(shù)和物質(zhì)濃度之間的關(guān)系，得到了顏色和物質(zhì)濃度辨識的各種數(shù)學(xué)模型，并從模型的統(tǒng)計檢驗精度和誤差分析兩個方面擇優(yōu)選擇辨識模型。