基于ARIMA模型的安徽居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)實(shí)證分析

楊曉偉 劉相國(guó) 陶有田

（巢湖學(xué)院，安徽 巢湖 238000）

1 引言

大數(shù)據(jù)時(shí)代的到來(lái)產(chǎn)生了海量數(shù)據(jù)，為了有效地從數(shù)據(jù)中提取有用信息，也為了更好地對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)，出現(xiàn)了許多具有重要實(shí)際意義的相關(guān)指數(shù)。長(zhǎng)期以來(lái)，與人們生活息息相關(guān)的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)（CPI）備受關(guān)注。CPI是用來(lái)評(píng)價(jià)某段時(shí)間內(nèi)人們購(gòu)置物品（或進(jìn)行消費(fèi)服務(wù)）產(chǎn)生的物價(jià)波動(dòng)趨勢(shì)的宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)[1]，其不僅是宏觀經(jīng)濟(jì)分析與預(yù)測(cè)的重要評(píng)價(jià)指標(biāo)，也是國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值核算的主要量化測(cè)算指標(biāo)[2]。準(zhǔn)確的分析和預(yù)測(cè)CPI不僅是計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)長(zhǎng)期研討的熱點(diǎn)問(wèn)題，也是政府有關(guān)部門合理制定宏觀經(jīng)濟(jì)政策的重要參考依據(jù)[3]。

時(shí)間序列分析是一種能夠應(yīng)用于實(shí)際社會(huì)生活的定量分析或者預(yù)測(cè)的統(tǒng)計(jì)方法，該方法多數(shù)運(yùn)用于刻畫和探究事物隨時(shí)間推移而發(fā)生改變的量化型統(tǒng)計(jì)規(guī)律性[4]。平穩(wěn)時(shí)間序列（ARMA）模型與非平穩(wěn)時(shí)間序列（ARIMA）模型是目前分析時(shí)間序列的主要模型[5]。國(guó)內(nèi)已經(jīng)有許多專家和學(xué)者構(gòu)建了大量的時(shí)間序列分析模型并對(duì)其相關(guān)領(lǐng)域進(jìn)行了深入的研究，為宏觀經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)與決策提供了理論技術(shù)指導(dǎo)。本文依據(jù)安徽省2010年1月至2018年8月的實(shí)際CPI數(shù)據(jù)①安徽省統(tǒng)計(jì)局網(wǎng)站：http：//www.ahtjj.gov.cn/tjjweb/web/index.jsp.，構(gòu)建了基于ARIMA的CPI統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)模型[6]。

2 時(shí)間序列分析模型

2.1 平穩(wěn)時(shí)間序列模型

針對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列，若利用其均值與方差均為常值的特性來(lái)識(shí)別某預(yù)處理后的平穩(wěn)序列，則該序列會(huì)表現(xiàn)出在某個(gè)常值周圍隨機(jī)波動(dòng)，且具有有限的波動(dòng)范圍[7]。一般判別某序列是非平穩(wěn)的，通過(guò)觀察該序列時(shí)序圖的變化趨勢(shì)，可以發(fā)現(xiàn)其具有顯著的周期性特征。如果某平穩(wěn)序列包含更多其他信息，則該序列會(huì)被檢測(cè)為非白噪聲的。在統(tǒng)計(jì)研究分析中，為了能夠高效地提取序列的有用信息，考慮借助線性模型對(duì)此序列的波動(dòng)情況進(jìn)行擬合與逼近。目前，應(yīng)用ARMA模型對(duì)平穩(wěn)時(shí)間序列進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)是普遍認(rèn)可的。

自回歸移動(dòng)平均模型簡(jiǎn)稱ARMA模型，而AR模型、MA模型和ARMA模型是它的三種細(xì)化的結(jié)構(gòu)模型分類[8]。

AR（q）模型全稱p階自回歸模型，且滿足如下結(jié)構(gòu)模型：

MA（q）模型全稱q階移動(dòng)平均模型，且滿足如下結(jié)構(gòu)模型：

ARMA（p，q）模型全稱自回歸移動(dòng)平均模型，且滿足如下結(jié)構(gòu)模型：

針對(duì)ARMA（p，q）模型，我們?nèi)绻M(jìn)相應(yīng)的延遲算子，則有

代表ARMA（p，q）模型的p階自回歸系數(shù)多項(xiàng)式；

代表ARMA（p，q）模型的q階移動(dòng)平均系數(shù)多項(xiàng)式。

當(dāng)p=0或者q=0時(shí)，顯然有

2.2 非平穩(wěn)時(shí)間序列分析模型

非平穩(wěn)的時(shí)間序列在實(shí)際生活中是經(jīng)常出現(xiàn)的，并對(duì)社會(huì)生產(chǎn)具有顯著影響，因此，研究非平穩(wěn)時(shí)間序列對(duì)現(xiàn)實(shí)社會(huì)生產(chǎn)具有重要的實(shí)踐指導(dǎo)意義。如果對(duì)非平穩(wěn)序列進(jìn)行差分運(yùn)算后顯示出平穩(wěn)性的時(shí)間序列，稱之為差分平穩(wěn)時(shí)間序列[9]。針對(duì)差分平穩(wěn)時(shí)間序列，目前分析與預(yù)測(cè)的模型主要是ARIMA模型[10]。

ARIMA（p，d，q） 模型的結(jié)構(gòu)如下：

式中：▽d＝（1－B）d；｛εt｝是一個(gè)白噪聲序列且E（εt）＝0；Φ（B）＝1-φ1B-…-φpBp、Θ（B）＝1-φ1B-… -φqBq與平穩(wěn)可逆ARMA（p，q）模型中關(guān)于系數(shù)多項(xiàng)式的定義是一致的。

特別地，當(dāng) d=1，p=q=0 時(shí)，ARIMA（0，1，0）模型將簡(jiǎn)化為xt=xt-1=εt，此時(shí)，稱該模型為隨機(jī)游走模型或者醉漢模型。

3 基于ARIMA的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)模型

居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)是目前國(guó)際社會(huì)廣泛編制認(rèn)可的一種宏觀經(jīng)濟(jì)指標(biāo)，它能夠較為準(zhǔn)確地反映市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的動(dòng)態(tài)變化趨勢(shì)，為政府有關(guān)部門確定薪資標(biāo)準(zhǔn)以及調(diào)控物價(jià)水平提供重要依據(jù)[11]。宏觀經(jīng)濟(jì)政策有效制定的前提條件之一就是需要準(zhǔn)確的量化分析與預(yù)測(cè)物價(jià)水平。下面針對(duì)2010年1月至2018年8月安徽省實(shí)際CPI數(shù)據(jù)進(jìn)行分析并預(yù)測(cè)安徽省2018年9月至11月的CPI。

3.1 數(shù)據(jù)的預(yù)處理與分析

本文數(shù)據(jù)來(lái)源于安徽省統(tǒng)計(jì)局，將實(shí)際數(shù)據(jù)導(dǎo)入EXCEL表格整理得到樣本數(shù)據(jù)，并利用SPSS軟件做出CPI的時(shí)間序列圖，如圖1所示。

從圖1可以看出，安徽省CPI的數(shù)據(jù)具有長(zhǎng)期變化趨勢(shì)，因此該序列是非平穩(wěn)的時(shí)間序列。對(duì)原序列做一階差分預(yù)處理▽xt=xt－xt-1，這樣可以達(dá)到消除原序列的變化趨勢(shì)以及降低其波動(dòng)范圍的目的。圖2是對(duì)原序列進(jìn)行一階差分運(yùn)算后的時(shí)序圖。

圖1 安徽省CPI原時(shí)間序列圖

圖2 安徽省CPI一階差分后的時(shí)間序列圖

由圖2可看出，經(jīng)過(guò)差分預(yù)處理后，基本消除了原序列的變化趨勢(shì)，可以判斷該序列滿足了時(shí)間序列的平穩(wěn)性。

為了更有效、準(zhǔn)確地識(shí)別序列的平穩(wěn)性，我們分別做了原CPI序列和一階差分后的CPI時(shí)間序列自相關(guān)系數(shù)表格（表1和表2），并進(jìn)行了對(duì)比。

表1 原時(shí)間序列的自相關(guān)系數(shù)

表2 一階差分后的自相關(guān)系數(shù)

表1和表2輸出的結(jié)果顯示原序列的自相關(guān)系數(shù)是緩慢變小的，但差分運(yùn)算后的序列其自相關(guān)系數(shù)在較短延遲時(shí)期里快速向0趨近，其數(shù)值都比較小，且都在0值附近以一個(gè)很小的幅度隨機(jī)波動(dòng)。結(jié)合上述樣本的時(shí)序圖、自相關(guān)系數(shù)表格和平穩(wěn)時(shí)間序列的性質(zhì)，可以判定原序列是非平穩(wěn)的，而經(jīng)過(guò)差分處理后的序列是平穩(wěn)的并且是白噪聲的。

3.2 基于ARIMA的物價(jià)指數(shù)模型的分析與預(yù)測(cè)

根據(jù)數(shù)據(jù)處理結(jié)果顯示，CPI時(shí)序圖具有顯著的趨勢(shì)，則該序列為典型的非平穩(wěn)序列，因此可以考慮應(yīng)用ARIMA模型（表3）來(lái)提取序列季節(jié)效應(yīng)和長(zhǎng)期趨勢(shì)信息以達(dá)到提高模型擬合精度并進(jìn)行計(jì)量分析與預(yù)測(cè)的目的。本文運(yùn)用SPSS軟件對(duì)CPI時(shí)間序列進(jìn)行模型選擇與預(yù)測(cè)，結(jié)果見表4和圖3。

表3 模型描述

表4 模型統(tǒng)計(jì)量

圖3 CPI序列的擬合效果圖

根據(jù)表3輸出結(jié)果可知，基于安徽省實(shí)際CPI數(shù)據(jù)，我們選擇了乘積季節(jié)模型為ARIMA（1，1，12）（1，0，0）的模型。表4中Ljung-Box檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量Sig.＞0.05，因此我們認(rèn)為該模型擬合的殘差序列通過(guò)了白噪聲檢驗(yàn)，消除了原序列長(zhǎng)期趨勢(shì)和季節(jié)效應(yīng)的影響，說(shuō)明了構(gòu)建的乘積季節(jié)模型對(duì)序列相關(guān)信息提取充分是顯著有效的。由圖3可以看出，CPI序列擬合值與其觀測(cè)值變化趨勢(shì)基本一致，說(shuō)明該模型擬合效果理想。因此，應(yīng)用該模型對(duì)安徽省公布的CPI實(shí)際數(shù)據(jù)進(jìn)行分析與預(yù)測(cè)是合理有效的，能夠?yàn)楹暧^經(jīng)濟(jì)調(diào)控提供可靠的技術(shù)支撐。下面對(duì)安徽省部分CPI數(shù)據(jù)進(jìn)行了擬合比較，2017年12月至2018年5月的擬合情況見表5。由預(yù)測(cè)圖3和表5可發(fā)現(xiàn)此擬合模型預(yù)測(cè)結(jié)果良好，能夠用于安徽省CPI的分析與預(yù)測(cè)，預(yù)測(cè)情況見表6。

表5 2017年12月至2018年5月安徽省CPI擬合比較

表6 2018年6月至11月安徽省CPI模型預(yù)測(cè)結(jié)果

3.3 結(jié)果分析

根據(jù)圖3預(yù)測(cè)結(jié)果顯示，安徽省居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)從2010年1月至2011年7月開始逐步上升到最高點(diǎn)，接著快速下滑直到2012年7月達(dá)到較低點(diǎn)，此時(shí)安徽省處于通貨緊縮的狀態(tài)，物價(jià)水平不穩(wěn)定。直到2018年5月，居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)緩慢回升、來(lái)回波動(dòng)，且波動(dòng)范圍較小，逐漸趨于穩(wěn)定。這是由于消費(fèi)者的信心逐漸回暖，另外相關(guān)政府部門采取了積極有效的宏觀調(diào)控措施，讓CPI能夠維持在一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的水平，有效控制了物價(jià)指數(shù)。

依據(jù)此模型對(duì)安徽省2010年1月至2018年8月的實(shí)際CPI數(shù)據(jù)的預(yù)測(cè)結(jié)果能夠發(fā)現(xiàn)，預(yù)測(cè)值接近真實(shí)值，擬合度較高。從表6能夠看出未來(lái)安徽省2018年9月份的CPI數(shù)值將會(huì)持續(xù)上升，達(dá)到一個(gè)較高水平后，10月份有所回落，11月份將繼續(xù)上升。這可能與市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的外部因素有關(guān)，比如中美貿(mào)易摩擦的不斷升級(jí)，導(dǎo)致物價(jià)上漲較快，但10月份這種情況將得到緩和。由于居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)進(jìn)一步呈現(xiàn)出上升趨勢(shì)，可能會(huì)帶來(lái)通貨膨脹的風(fēng)險(xiǎn)；為了使得物價(jià)處于一個(gè)合理的水平，相關(guān)政府部門應(yīng)該加強(qiáng)宏觀經(jīng)濟(jì)調(diào)控的力度。

4 結(jié)束語(yǔ)

本文依據(jù)安徽省2010年1月至2018年8月的實(shí)際CPI數(shù)據(jù)，構(gòu)建了乘積季節(jié)模型，即基于ARIMA（1，1，12）（1，0，0）的居民消費(fèi)價(jià)格指數(shù)預(yù)測(cè)模型。由實(shí)證分析的結(jié)果來(lái)看，此模型充分考慮了序列長(zhǎng)期趨勢(shì)效應(yīng)、季節(jié)效應(yīng)和隨機(jī)波動(dòng)之間的復(fù)雜交互影響，充分提取了CPI序列相關(guān)信息。模型的CPI預(yù)測(cè)值和實(shí)際觀測(cè)值的絕對(duì)誤差以及相對(duì)絕對(duì)誤差向零值逼近且對(duì)應(yīng)數(shù)值都比較小，說(shuō)明此模型擬合的情況良好。應(yīng)用該物價(jià)指數(shù)模型來(lái)分析和預(yù)測(cè)安徽省CPI的變化趨勢(shì)及內(nèi)在統(tǒng)計(jì)規(guī)律，具有良好的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。