場方法的改進(jìn)及其在積分Riemann-Cartan空間運(yùn)動方程中的應(yīng)用?

王勇梅鳳翔曹會英郭永新

1)(北京理工大學(xué)宇航學(xué)院,北京 100081)

2)(廣東醫(yī)科大學(xué)信息工程學(xué)院,東莞 523808)

3)(遼寧大學(xué)物理學(xué)院,沈陽 110036)

4)(遼東學(xué)院影像物理教研室,丹東 118001)

1 引 言

Hamilton-Jacobi方法是求解Hamilton正則方程的重要方法,其特點(diǎn)之一是把求解常微分方程組通解的問題轉(zhuǎn)化為尋找一個一階非線性偏微分方程(Hamilton-Jacobi方程)完全解的問題.經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法本質(zhì)上體現(xiàn)了完整保守系統(tǒng)Hamilton正則方程與Hamilton-Jacobi方程特征曲線之間的關(guān)系,因而被廣泛應(yīng)用于經(jīng)典力學(xué)、幾何光學(xué)、流體力學(xué)、粒子物理、廣義相對論、量子力學(xué)、宇宙學(xué)、最優(yōu)控制、化學(xué)等諸多研究領(lǐng)域.但由于存在非常嚴(yán)苛的限制,經(jīng)典Hamilton-Jacobi方法很難直接推廣至非完整或非保守系統(tǒng)中[1].20世紀(jì)80年代,南斯拉夫?qū)W者Vujanovi?[2?4]提出了用于處理完整非保守問題的場方法,和Hamilton-Jacobi方法類似,這種方法把求解常微分方程組滿足初始條件特解的問題轉(zhuǎn)化為尋找一個一階擬線性偏微分方程(基本偏微分方程)完全解的問題.由于沒有像Hamilton-Jacobi方法那樣強(qiáng)的限制條件,Vujanovi?場方法很快被推廣至非完整系統(tǒng)、Birkhoff系統(tǒng)和可控力學(xué)系統(tǒng)等諸多研究領(lǐng)域中,取得了一系列重要研究成果[5?19].但Vujanovi?場方法在實(shí)際應(yīng)用中仍然存在一個基本困難,即Vujanovi?場方法依賴于求出基本偏微分方程的完全解,而這通常是很困難的.

本文把Vujanovi?場方法改進(jìn)為尋找動力學(xué)系統(tǒng)第一積分的場方法.改進(jìn)后的場方法只要能夠找到基本偏微分方程的包含若干個任意常數(shù)的解(完全解是此類解中包含有最多數(shù)目任意常數(shù)的特例),那么就可以由此找到系統(tǒng)若干個第一積分.特殊地,如果能夠求出基本偏微分方程的完全解,那么就可以由此找到系統(tǒng)全部第一積分,從而完全確定系統(tǒng)的運(yùn)動,Vujanovi?場方法等價(jià)于這種特殊情況.

然后本文使用改進(jìn)后的場方法來積分Riemann-Cartan空間中的運(yùn)動方程.在我們已有的研究中已經(jīng)指出[20?24],對一些比較復(fù)雜的一階線性定常齊次非完整約束系統(tǒng),可以先用一階線性非完整映射把系統(tǒng)的位形空間約化為低維Riemann-Cartan空間,從而使問題得以簡化.本文簡要介紹了用一階線性非完整映射構(gòu)造非完整約束系統(tǒng)在Riemann-Cartan位形空間中運(yùn)動方程的方法,然后用改進(jìn)后的場方法就有可能找到系統(tǒng)的若干個第一積分.

2 場方法及其改進(jìn)

Vujanovi?場方法指出,對于描述力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動的形如

的常微分方程組,如果把x1看作是其他xi和時間t的函數(shù),那么就可以構(gòu)造出形如

的基本偏微分方程.如果能夠找到基本偏微分方程(2)的一個完全解

其中Ci為任意常數(shù),并將初始條件

代入完全解(3)中求出其中任意一個常數(shù),例如C1,代回完全解(3),得到

那么將(5)式和(n?1)個代數(shù)方程

聯(lián)立后解出全部xi就可得到常微分方程組(1)的滿足初始條件的特解.

可以將上述求常微分方程組特解的場方法改進(jìn)為尋找力學(xué)系統(tǒng)第一積分的如下命題.

命題1 對描述力學(xué)系統(tǒng)運(yùn)動的形如(1)式的常微分方程組,如果把x1看作是其他xi和時間t的函數(shù),就可以構(gòu)造出形如(2)式的基本偏微分方程.如果能夠找到基本偏微分方程的一個包含m(m≤n)個獨(dú)立的任意常數(shù)CB的解

則只需將該解中任意(m?1)個常數(shù)固定,就可以得到系統(tǒng)的一個第一積分;重復(fù)這一操作,分別將該解中不同的(m?1)個常數(shù)固定,即可得到系統(tǒng)如下m個獨(dú)立的第一積分:

其中,每一個第一積分中除Cα外其他CB都固定.特別地,如果解(7)是基本偏微分方程的一個完全解,即m=n,那么用上述方法就可以得到系統(tǒng)的全部n個獨(dú)立的第一積分,并可由此完全確定系統(tǒng)滿足初始條件的特解.

要想證明命題1,首先注意到把解(7)中任意(m?1)個常數(shù)固定,所得結(jié)果(即(8)式中的任意一個)包含一個任意常數(shù),且仍然是基本偏微分方程的解,因而一定滿足描述系統(tǒng)運(yùn)動的微分方程組(1),因此(8)式中的任意一個等式都是系統(tǒng)的一個第一積分.再考慮到解(7)中常數(shù)CB的獨(dú)立性,即可知(8)式中的m個等式是相互獨(dú)立的.綜上可知(8)式是系統(tǒng)m個獨(dú)立的第一積分.證畢.

命題1擴(kuò)展了場方法的適用范圍.如果試圖用Vujanovi?場方法直接求出系統(tǒng)滿足初始條件的特解,則必須要找到基本偏微分方程(2)的包含n個獨(dú)立的任意常數(shù)的完全解,對大多數(shù)問題而言這是一件非常困難的任務(wù);在很多情況下,雖然不能找到完全解,但卻有可能找到基本偏微分方程(2)的包含m(m≤n)個獨(dú)立的任意常數(shù)的解,此時根據(jù)命題1就可以得到系統(tǒng)m個獨(dú)立的第一積分.

例1 Chaplygin雪橇的慣性運(yùn)動[5].

系統(tǒng)的Lagrange函數(shù)和約束方程分別為

令q1=x,q2=φ,q3=y,可得系統(tǒng)Chaplygin方程的顯式表達(dá)為

令x1=q1,x2=q2,x3=q˙1,x4=q˙2,則 由(10)式可得

考慮到初始條件

容易求出

代入(11)式的第一和第三式可得

令x1=u(t,x3),則與(14)式對應(yīng)的基本偏微分方程為

該基本偏微分方程的一個通解為

其中c1和c2為任意常數(shù).依次固定c1和c2,例如分別取c1和c2為零,即可得到如下兩個第一積分:

由此即可直接解出

可以驗(yàn)證(19)式確實(shí)是(14)式的通解,利用初始條件確定常數(shù)c1和c2后即得滿足初始條件的特解,所得結(jié)果和文獻(xiàn)[5]中的結(jié)果一致.

質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程為

這是一個非線性非齊次二階常微分方程,按照通常的方法很難直接求出其通解.

我們無法求出該基本偏微分方程的完全解,但容易驗(yàn)證

是(21)式的包含一個任意常數(shù)的解.根據(jù)命題1,該解就是系統(tǒng)的一個第一積分,所以有

由此可得

3 場方法在積分Riemann-Cartan空間中運(yùn)動方程中的應(yīng)用

本節(jié)中所有i,j,k=1,2,···,n; μ,ν,σ,π =1,2,···,m;α,β,γ =2,···,m;m ＜ n.

對于受到(n?m)個一階線性定常齊次非完整約束的系統(tǒng),從它的n維歐式位形空間[X]出發(fā),利用一個隱含非完整約束的不可積一階線性映射

可以把位形空間[X]映射為一個有撓率的Riemann-Cartan空間[Π],其中x˙i為系統(tǒng)在位形空間[X]中的速度,ωμ為由映射(25)所定義的系統(tǒng)的一個準(zhǔn)速度.由映射(25)可以計(jì)算出Riemann-Cartan空間[Π]的度規(guī)和聯(lián)絡(luò)分別為

描述系統(tǒng)運(yùn)動的運(yùn)動方程為

其中Fi為系統(tǒng)所受外力.將(25)和(28)式聯(lián)立,就得到了由(n+m)個方程所構(gòu)成的Riemann-Cartan空間[Π]中描述系統(tǒng)運(yùn)動的完備的一階常微分方程組.

用場方法求解上述常微分方程組,需要將(n+m)個變量x˙i和ωμ中的一個,例如ω1,看作是依賴于其他變量和時間t的場函數(shù),即取

則有

由(25)和(28)式,可得對應(yīng)的基本偏微分方程為

根據(jù)命題1,如果能夠找到基本偏微分方程(31)的包含h(h≤n+m)個獨(dú)立任意常數(shù)的解,就能確定出系統(tǒng)的h個第一積分.特殊情況下,如果能夠找到包含(n+m)個獨(dú)立任意常數(shù)的完全解,就可以由(n+m)個獨(dú)立的第一積分和(n?m)個約束完全確定系統(tǒng)的運(yùn)動.

例3受非完整約束(x1+x2+x3)x˙1?x˙3=0的質(zhì)點(diǎn),所受非保守力為

求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動.

質(zhì)點(diǎn)帶乘子的Lagrange方程為

和非完整約束聯(lián)立后可以解得乘子為

代入(32)式即得消去乘子后的方程,該方程很難直接求解.

取一階線性非完整映射

代入(28)式并和(34)式聯(lián)立后可得系統(tǒng)在Riemann-Cartan位形空間[Π]中的運(yùn)動方程為

顯然,(37)式是一個可以直接求解的常微分方程組,但為了驗(yàn)證命題1的結(jié)論,下面仍然采用場方法來求解.

為了一次得到系統(tǒng)全部獨(dú)立的第一積分,對問題不加任何簡化,直接將(37)式代入(30)式中,所得基本偏微分方程為

基本偏微分方程的一個完全解為

將完全解中五個獨(dú)立的任意常數(shù)中的任意四個固定,例如都取為零,即可得到系統(tǒng)的五個獨(dú)立的第一積分:

將這五個第一積分和約束方程聯(lián)立后即可完全確定粒子的運(yùn)動,所得結(jié)果與直接求解(37)式的結(jié)果相同.從五個第一積分中消去兩個準(zhǔn)速度即得質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程,代入(32)和(33)式即可驗(yàn)證結(jié)果的正確性.

求質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程.

質(zhì)點(diǎn)帶乘子的Lagrange方程為

和非完整約束聯(lián)立后可以解得乘子為

代入(32)式即得消去乘子后的方程.可以看出該方程很難直接求解,但利用一階線性非完整映射的方法和改進(jìn)后的場方法可以得到兩個第一積分.

取一階線性非完整映射

由(26)和(27)式計(jì)算出系統(tǒng)對應(yīng)的Riemann-Cartan位形空間[Π]的度規(guī)和聯(lián)絡(luò)分別為

代入(28)式并和(34)式聯(lián)立后可得系統(tǒng)在Riemann-Cartan位形空間[Π]中的運(yùn)動方程為

我們無法求解(50)式,但在此基礎(chǔ)上用場方法可以得到兩個第一積分.

應(yīng)用場方法,由(50)式后兩式可得與之對應(yīng)的基本偏微分方程為

如果能直接解出(52)式,就能得到基本偏微分方程的一個完全解,但這一步比較麻煩.注意到如果令(52)式中的c=0,則可以很容易求得基本偏微分方程的如下只包含一個任意常數(shù)的解:

由命題1可知,這是系統(tǒng)的一個第一積分.將(53)式代入(50)式中的第五式,可得

和(53)式聯(lián)立,消去c1后即得系統(tǒng)第二個第一積分:

由(50)式中的后兩式可直接驗(yàn)證兩個第一積分的正確性.

4 結(jié) 論

Vujanovi場方法依賴于求出基本偏微分方程的完全解,而這通常是很難的,這就極大地限制了場方法的應(yīng)用.本文把Vujanovi場方法改進(jìn)為尋找動力學(xué)系統(tǒng)第一積分的場方法.改進(jìn)后的場方法不僅計(jì)算相對簡單,而且具有更大的靈活性.如果可以求出基本偏微分方程的完全解,則改進(jìn)后的場方法等價(jià)于Vujanovi場方法.但更一般地,根據(jù)改進(jìn)后的場方法,只要能夠找到基本偏微分方程的包含任意常數(shù)的解,即使不是完全解,也能由此直接得到動力學(xué)系統(tǒng)的若干個第一積分,這必將拓寬場方法的適用范圍.此外,本文介紹了用一階線性非完整映射構(gòu)造一階線性非完整約束系統(tǒng)在Riemann-Cartan位形空間中運(yùn)動方程的方法,并用改進(jìn)后的場方法研究了Riemann-Cartan空間中運(yùn)動方程的積分問題,通過算例可以看出這是研究某些非完整非保守運(yùn)動問題的一種有效方法.最后需要指出的是,盡管本文只是應(yīng)用改進(jìn)后的場方法求解了一些非完整系統(tǒng)和非保守系統(tǒng)的例子,但可以看出,只要采用和文獻(xiàn)[5–19]完全相似的方法,就可以把改進(jìn)后的場方法應(yīng)用于Vacco動力學(xué)系統(tǒng)、Birkhoff系統(tǒng)、變質(zhì)量系統(tǒng)、相對運(yùn)動的力學(xué)系統(tǒng)、可控力學(xué)系統(tǒng)、相對論系統(tǒng)、轉(zhuǎn)動相對論系統(tǒng)等研究領(lǐng)域.

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