簡單化處理
——數(shù)學(xué)的不懈追求

趙 剛

（山東淄博第四中學(xué)，山東 淄博）

我們都知道愛迪生測(cè)量燈泡容積的故事，故事的內(nèi)容不再贅述.這個(gè)故事告訴我們：可以把一個(gè)相對(duì)復(fù)雜的問題進(jìn)行簡單化處理.如何對(duì)一個(gè)復(fù)雜的問題進(jìn)行簡單化處理，彰顯的是我們對(duì)復(fù)雜問題本質(zhì)的理解與把握.同時(shí)自然科學(xué)研究的最高使命是從繁雜中整理出秩序，秩序就意味著真理，意味著簡潔.簡單性是科學(xué)工作者一貫追求的目標(biāo).正如莎士比亞所說：“簡潔是智慧的靈魂，冗長是膚淺的藻飾.”

那么在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程中，“簡單化處理”能帶給我們哪些啟示呢？

一、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的“簡單化處理”

“簡單化處理”應(yīng)孕育在平時(shí)的潛移默化的教學(xué)之中，只有教師不失時(shí)機(jī)地引導(dǎo)學(xué)生去領(lǐng)悟教材如何對(duì)一些數(shù)學(xué)內(nèi)容進(jìn)行“簡單化處理”，才能讓學(xué)生感悟到“簡單化處理”的意義和作用，通過“簡單化處理”使學(xué)生更加明確要掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，提高數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng).我們從課本中的幾處定義說起.

1.異面直線所成的角（或夾角）

異面直線所成的角（或夾角）的定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點(diǎn) O，作直線 a′∥a，b′∥b 我們把 a′與 b′所成的銳角（或直角）叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）.在這個(gè)定義中，O點(diǎn)是空間中任意一點(diǎn)，既然任意，所以課本才有下面一段話！

為了簡便（即簡單化處理），點(diǎn)O常取在兩條異面直線中的一條上.正因?yàn)檫@樣，我們?cè)谇蠼鈨蓷l異面直線所成角時(shí)，對(duì)點(diǎn)O的處理本著簡單化原則進(jìn)行處理.

2.任意角的三角函數(shù)

人教A版必修四是這樣定義“任意角的三角函數(shù)”的.

設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P（x，y），那么

（1）y叫做 α 的正弦，記作 sinα，即 sinα=y；

（2）x叫做 α 的余弦，記作 cosα，即 cosα=x；

在課本的這個(gè)定義中，為什么引進(jìn)單位圓？引進(jìn)單位圓的意義是什么？課本都沒有交代.

任意角的三角函數(shù)應(yīng)這樣定義比較好：

設(shè)α是一個(gè)任意角，在它終邊上任取一點(diǎn)P（x，y），這個(gè)點(diǎn)P（x，y）到原點(diǎn)O的距離記為r，則那么有（x≠0）.又因?yàn)?P（x，y）為角 α 終邊上任意一點(diǎn)，既然任意，為了簡單——數(shù)學(xué)所追求的境界，取r=1，這樣就有sinα=y、cosα=x.并且這樣理解以后，也就能理解課本中關(guān)于正切線的定義了——也是為了“簡單”，取了“x=1”.

二、數(shù)學(xué)思維中的“簡單化處理”

面對(duì)繁雜的數(shù)學(xué)問題，如何透過現(xiàn)象看到問題本質(zhì)，對(duì)問題做簡單化處理，不僅是正確、迅速解題的需要和保證，而且是優(yōu)化思維品質(zhì)、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)精神、提高創(chuàng)新能力的有效途徑.對(duì)學(xué)生來說，則是一種對(duì)所學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用和高超駕馭基礎(chǔ)上的創(chuàng)新，是一種精神的升華和對(duì)數(shù)學(xué)美的追求.

1.平面向量

平面內(nèi)有無數(shù)多個(gè)向量，我們不可能一一進(jìn)行研究，那該如何處理呢？這就是平面向量的基本定理，即我們可以把平面內(nèi)無數(shù)多個(gè)向量進(jìn)行簡單化處理，轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量即可.即我們?cè)谟孟蛄恐R(shí)與方法處理數(shù)學(xué)問題時(shí)，做的第一件事就是建立一組基底，還要注意基底的最高境界是單位正交基底——平面直角坐標(biāo)系.

例 1.在△ABC 中，∠BAC=120°，AB=2，AC=1．D 是邊 BC 上的一點(diǎn)，DC=2BD，則=_______．

由于 D 是邊 BC 上的一點(diǎn)，且 DC=2BD，所以有故而這樣

此題還可以建立直角坐標(biāo)系——基底的最高境界，利用坐標(biāo)的運(yùn)算解決問題，請(qǐng)讀者自己給出.

2.解析幾何

解析幾何的問題做一簡單化處理就是可以把它濃縮成三種交點(diǎn)：即直線與直線交點(diǎn)；直線與圓錐曲線交點(diǎn)；圓錐曲線間的交點(diǎn).對(duì)于這三種交點(diǎn)我們會(huì)采取不同的策略來處理.

對(duì)于直線與直線交點(diǎn)，我們的處理策略是將直線方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)；對(duì)于直線與圓錐曲線的交點(diǎn)，我們的處理策略采用大家都非常熟悉的“設(shè)而不求”的處理策略。下面通過例題說一說圓錐曲線間的交點(diǎn)處理策略.

解析：橢圓與雙曲線的交點(diǎn)P就其本意而言，我們應(yīng)該將其方程組成方程組從中求出P的坐標(biāo)，再利用P的坐標(biāo)和F1、F2的坐標(biāo)，求∠cosF1PF2的大小.

當(dāng)然了，這樣做無可厚非，只是過程復(fù)雜了一點(diǎn).

但這個(gè)題我們并不需要這樣做，只是將交點(diǎn)P看成是橢圓和雙曲線上的點(diǎn)來使用即可.

所以在碰到有關(guān)圓錐曲線間的交點(diǎn)問題時(shí)，交點(diǎn)坐標(biāo)是不需要求的，只是將交點(diǎn)分別看成是圓錐曲線上的點(diǎn)即可.

總之，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅要善于引導(dǎo)學(xué)生探索知識(shí)內(nèi)部錯(cuò)綜復(fù)雜的細(xì)節(jié)，認(rèn)知知識(shí)核心及其整體結(jié)構(gòu)，還要善于引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟?qū)?fù)雜的數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡單化處理的數(shù)學(xué)思想和策略智慧，帶領(lǐng)學(xué)生達(dá)到鳥瞰數(shù)學(xué)的境界．