巧解多面體內(nèi)切球和外接球問(wèn)題

韓曉娟

（甘肅省岷縣第一中學(xué)，甘肅 定西）

多面體的內(nèi)切球和外接球問(wèn)題是一直困擾廣大高考考生的一個(gè)難點(diǎn)，又是高考的熱點(diǎn)，如何快速簡(jiǎn)單地解決這個(gè)問(wèn)題呢？下面談?wù)勎业膸c(diǎn)認(rèn)識(shí)。

巧解一：用特殊圖形體對(duì)角線求直徑

1.與正方體或長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問(wèn)題

題1.一個(gè)長(zhǎng)寬高長(zhǎng)分別為3、4、5的長(zhǎng)方體，它的外接球的表面積為_(kāi)_________。

2.棱柱的外接球與內(nèi)切球的問(wèn)題

題2.已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，AB⊥AC，AA1=12，則球 O 的半徑為_(kāi)____。

圖1

解析：如圖1所示，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點(diǎn)M。

3.正棱錐的外接球與內(nèi)切球的問(wèn)題

題3.已知棱長(zhǎng)為a的正四面體，則此正四面體的內(nèi)切球的表面積為_(kāi)____________。

解析：如圖2正四面體中，M為頂點(diǎn)P在下底面的射影，也就是底面三角形ABC的重心，

圖2

題4.已知側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都是3的正四棱錐，則其外接球的半徑是多少？

解析：依題意，過(guò)頂點(diǎn)P做下底面的垂線，垂足為M,則外接球的球心在線段PM上，設(shè)為O點(diǎn)，連接OA,在RT△OMA中，OM=PM-R=3-R，MA=3，又OA2=OM2+MA2，解得：R=3

巧解二：補(bǔ)形法（出現(xiàn)相互垂直的“墻角”時(shí)，可補(bǔ)形為正方體或長(zhǎng)方體）

巧解思路：如果在一個(gè)三棱錐中，同一頂點(diǎn)處有三條互相垂直的側(cè)棱，就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)形成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑。出現(xiàn)互相垂直的三條共點(diǎn)棱或互相垂直的三個(gè)共點(diǎn)面結(jié)構(gòu)時(shí)用補(bǔ)形方法，聯(lián)系長(zhǎng)方體可將復(fù)雜的問(wèn)題巧妙轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單問(wèn)題從而輕松解決。

題5.如圖3為某四棱錐的三視圖，則求該四棱錐的外接球的表面積為_(kāi)__________

圖3

解析：由三視圖可得該幾何體為一條側(cè)棱垂直于下底面的四棱錐，且下底面為正方形，由此可從該棱垂足處的三條相互垂直的棱將該四棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，所以該長(zhǎng)方體的外接球也是原四棱錐的外接球，又直徑=所以半徑所以外接球表面積S=

巧解三：由多面體體積和表面積利用公式求內(nèi)切球半徑

題6.已知某幾何體的三視圖如圖4所示，則該幾何體內(nèi)切球的表面積為_(kāi)_______________

圖4

巧解思路：將一個(gè)三棱錐按內(nèi)切球球心與各定點(diǎn)連線可分成四個(gè)等高的小三棱錐，高都為內(nèi)切球的半徑，而四個(gè)底則為原三棱錐四個(gè)側(cè)面，由四個(gè)小三棱錐的體積和為大三棱錐體積，可得公式由此可直接求得內(nèi)切球半徑。此方法適合表面積和體積易求的三棱錐中。

相信有了這些解題思路和方法，多邊形的內(nèi)切球和外接球再也不是困擾大家的難題了！