高中數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)和評(píng)價(jià)

楊培

[摘 要] 高中數(shù)學(xué)教師應(yīng)該關(guān)注學(xué)生邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)，這直接對(duì)應(yīng)著學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)的建構(gòu)，也影響著他們思維品質(zhì)的提升. 文章結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)在課堂教學(xué)中發(fā)展學(xué)生邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的著力點(diǎn)進(jìn)行了分析，還探討了評(píng)價(jià)過程中的問題設(shè)計(jì).

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué)；邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性；著力點(diǎn)；問題設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)研究非常強(qiáng)調(diào)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，任何一項(xiàng)數(shù)學(xué)結(jié)論的得出都需要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嫹椒ㄓ枰源_認(rèn)，因此學(xué)生研究數(shù)學(xué)的過程不僅將掌握對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)知識(shí)，其邏輯推理能力也將得到培養(yǎng). 下面，筆者結(jié)合教學(xué)實(shí)踐探討一下高中數(shù)學(xué)課堂上有關(guān)學(xué)生邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng).

高中數(shù)學(xué)課堂發(fā)展學(xué)生邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的著力點(diǎn)

在高中數(shù)學(xué)課堂中，邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)應(yīng)該滲透在每一個(gè)細(xì)節(jié)中. 就具體操作而言，以下幾點(diǎn)應(yīng)該是教師培養(yǎng)學(xué)生邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的關(guān)鍵著力點(diǎn).

1. 引導(dǎo)學(xué)生證明力所能及的數(shù)學(xué)原理

在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，學(xué)生有必要對(duì)數(shù)學(xué)現(xiàn)象展開合情推理，由此將數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)和建構(gòu)的過程充分暴露出來. 當(dāng)學(xué)生對(duì)相關(guān)結(jié)論有所發(fā)現(xiàn)之后，教師要組織學(xué)生對(duì)那些力所能及的數(shù)學(xué)問題展開探討，并進(jìn)行嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)證明.

比如，當(dāng)前大多數(shù)版本的教材在引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，都采用了歸納推理的方式來進(jìn)行，在學(xué)生掌握了數(shù)學(xué)歸納法之后再進(jìn)行證明. 但事實(shí)上，當(dāng)學(xué)生在初次接觸這一部分內(nèi)容時(shí)，他們的已有認(rèn)知以及相關(guān)經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)足以支撐他們完成一系列證明工作. 當(dāng)學(xué)生對(duì)三角函數(shù)圖像變化進(jìn)行研究時(shí)，可以通過平移操作將函數(shù)y=sinx轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=sinx+，教材大多是采用描點(diǎn)作圖的方式讓學(xué)生繪制函數(shù)圖像，引導(dǎo)學(xué)生在觀察中獲得發(fā)現(xiàn). 但是事實(shí)上，學(xué)生完全可以在已經(jīng)確立感性認(rèn)知的前提下，展開更加嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明，這樣的操作顯然更有助學(xué)生對(duì)相關(guān)內(nèi)容形成認(rèn)知.

2. 幫助學(xué)生形成證明的基本意識(shí)

不可否認(rèn)，高中階段還有一些內(nèi)容，學(xué)生是無法進(jìn)行證明的，或是限于學(xué)生能力，直接證明存在較大的困難，這時(shí)即便不安排學(xué)生進(jìn)行證明操作，教師依然要強(qiáng)調(diào)證明的必要性，讓學(xué)生形成相應(yīng)的意識(shí)，因?yàn)檫@是發(fā)展邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的基本要求.

前段時(shí)間筆者曾經(jīng)觀摩過一節(jié)公開課，教學(xué)內(nèi)容是“冪函數(shù)”的第一課，教師安排學(xué)生描繪函數(shù)y=x2，y=x3和y=x的圖像，并要求學(xué)生結(jié)合圖像的觀察分析這些函數(shù)在（0，+∞）上都屬于增函數(shù)，并宣布冪函數(shù)y=xα（α>0）在區(qū)間（0，+∞）上都是增函數(shù)，并且補(bǔ)充說明：這一結(jié)論都可以在函數(shù)圖像的觀察中得到確認(rèn). 這樣的過程讓筆者產(chǎn)生了這樣的疑問：這個(gè)圖像是怎作出來的？?jī)H僅只是依靠圖像就能得到結(jié)論的“確認(rèn)”嗎？如果圖像不夠準(zhǔn)確，怎么辦？關(guān)于冪函數(shù)y=xα（α>0）單調(diào)性真的可以在圖像觀察中得到驗(yàn)證碼？數(shù)學(xué)結(jié)論都是從作圖的角度得到驗(yàn)證的嗎？一系列問題的討論最終指向上述教學(xué)最為本質(zhì)的問題：數(shù)學(xué)教學(xué)豈能如此欠嚴(yán)謹(jǐn). 在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師務(wù)必要引導(dǎo)學(xué)生強(qiáng)化數(shù)學(xué)研究的邏輯體系，這一點(diǎn)在高中階段顯得非常重要.

類似地，有教師指導(dǎo)學(xué)生研究“指數(shù)函數(shù)”的單調(diào)性時(shí)，先引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)圖像的角度發(fā)現(xiàn)單調(diào)性特點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，教師繼續(xù)提問：結(jié)論能站住腳嗎？當(dāng)學(xué)生結(jié)合圖像確定認(rèn)識(shí)時(shí)，教師卻補(bǔ)充道：“僅從圖像上進(jìn)行定性的認(rèn)識(shí)，這還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，將來我們還將學(xué)習(xí)相關(guān)理論來完成上述結(jié)論的嚴(yán)謹(jǐn)證明. ”這樣的處理充分體現(xiàn)了教學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，我們一方面要讓學(xué)生明確以上處理方式的局限性，同時(shí)也要讓學(xué)生對(duì)后階段的學(xué)習(xí)產(chǎn)生期待.

實(shí)際上，學(xué)生在具體問題處理過程中，簡(jiǎn)單地從圖形角度就武斷下結(jié)論的情形很多，隨之發(fā)生的錯(cuò)誤也比比皆是，因此教師有必要引導(dǎo)學(xué)生逐步形成意識(shí)，培養(yǎng)他們思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.

3. 推理教學(xué)要注重邏輯性和規(guī)范性

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)，需要大量的數(shù)學(xué)公理，這些公理是人類在長(zhǎng)期實(shí)踐中得出的，一般都不需要進(jìn)行證明，是一種不證自明的事實(shí). 很多教師將這些內(nèi)容教學(xué)的思想延續(xù)下來，在推理教學(xué)的過程中忽視了數(shù)學(xué)研究必須遵循的邏輯性和規(guī)范性.

筆者曾經(jīng)觀摩一次教學(xué)基本功比武，針對(duì)“用定義來證明函數(shù)y=在區(qū)間（0，+∞）的單調(diào)性”這一問題，超過三分之二的參賽選手選擇以作圖的方式來“證明”，教師的基本素養(yǎng)是此情形，那么學(xué)生在這一方面的思維也必然受到限制. 從數(shù)學(xué)探究的邏輯思路來講，函數(shù)的圖像都是在單調(diào)性、奇偶性、有界性、周期性等基本性質(zhì)已經(jīng)明確的前提下繪制出來的，因此常規(guī)研究應(yīng)不是通過圖像來發(fā)現(xiàn)有關(guān)性質(zhì).

比如以上有關(guān)冪函數(shù)的研究，在課堂的鞏固階段，教師提出問題：請(qǐng)比較0.28-1和0.26-1的大小. 有學(xué)生回答：“因?yàn)?.28比0.26大，所以有結(jié)論0.28-1<0.26-1.” 教師評(píng)價(jià)并追問：“說得很好，那么是否還有其他的方法呢？”然而對(duì)此教學(xué)過程，筆者有如下疑問：這樣的處理真的很好嗎，這是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)恼f理嗎？這與直接說成“0.28比0.26大，所以有結(jié)論0.28-1<0.26-1”沒有什么差別. 筆者認(rèn)為，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膯栴}分析應(yīng)該表達(dá)成：“因?yàn)楹瘮?shù)y=x-1在（0，+∞）上屬于減函數(shù)，因此由0.28大于0.26，得出0.28-1<0.26-1.” 這時(shí)，教師還要和學(xué)生明確初中階段通過函數(shù)圖像來比較大小的做法，其實(shí)還是從函數(shù)單調(diào)性做出的論斷.

4. 結(jié)合公理化思想的滲透來提升數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的邏輯性

學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有必要把握數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯性，這需要教師對(duì)學(xué)生進(jìn)行公理化思想的滲透. 因此，教師結(jié)合一些具有公理化結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的知識(shí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生研究它的建構(gòu)過程. 比如“三角恒等變換”一章，其知識(shí)建構(gòu)是從基本公式cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ出發(fā)，通過代換、變形、特殊化等處理，可以得出兩角和、兩角差的三角函數(shù)、倍角三角函數(shù)等公式. 這樣的處理實(shí)際上是將上位知識(shí)轉(zhuǎn)化為下位知識(shí)，這正是一種公理性結(jié)構(gòu). 教師在教學(xué)過程中應(yīng)能夠努力讓學(xué)生接受這一點(diǎn)，同時(shí)也主動(dòng)采用這種方法來實(shí)現(xiàn)知識(shí)的建構(gòu). 高中數(shù)學(xué)研究中有類似結(jié)構(gòu)的內(nèi)容不少. 就教學(xué)來講，讓學(xué)生在教學(xué)中理解知識(shí)的結(jié)構(gòu)框架特點(diǎn)，這對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯能力培養(yǎng)以及邏輯嚴(yán)謹(jǐn)意識(shí)的形成都有非常大的意義.

此外，在高中數(shù)學(xué)的整個(gè)教學(xué)過程中，教師應(yīng)該全程都能凸顯邏輯結(jié)構(gòu)的意識(shí). 比如在引導(dǎo)學(xué)生研究“直線的方程”時(shí)，教師實(shí)際上是從定義出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生由曲線上的點(diǎn)需要滿足的幾何關(guān)系，推導(dǎo)出點(diǎn)的坐標(biāo)所對(duì)應(yīng)的代數(shù)關(guān)系，進(jìn)而形成點(diǎn)斜式的方程，并研究斜截式的方程. 上述知識(shí)的發(fā)展其實(shí)也類似于從定理發(fā)展出相應(yīng)的推論，所對(duì)應(yīng)的過程屬于由一般到特殊的過程，相關(guān)知識(shí)點(diǎn)也是上位知識(shí)和下位知識(shí)的關(guān)系. 比如提供學(xué)生直線上兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，引導(dǎo)學(xué)生完成兩點(diǎn)式的推導(dǎo)，在思路上有兩個(gè)選擇：（1）直接操作，假定直線上的某點(diǎn)的坐標(biāo)（x，y），然后用這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)與另外兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別構(gòu)建斜率，所得的斜率具有相等關(guān)系，依次構(gòu)建等式即可得到直線方程；（2）用定理進(jìn)行推導(dǎo)，直接從已知兩點(diǎn)的坐標(biāo)推導(dǎo)直線的斜率，然后采用點(diǎn)斜式來建立直線方程. 上述操作并不是要強(qiáng)調(diào)多樣化的問題解決思路，而是希望學(xué)生在不同的研究思路中明確推理中的邏輯關(guān)聯(lián)，培養(yǎng)學(xué)生的相關(guān)意識(shí).

優(yōu)化問題設(shè)計(jì)，以評(píng)價(jià)來調(diào)控發(fā)展

在高中數(shù)學(xué)的教學(xué)過程中，教師要善于設(shè)計(jì)問題對(duì)學(xué)生的成長(zhǎng)進(jìn)行合理評(píng)價(jià)，以此來對(duì)學(xué)生進(jìn)行及時(shí)診斷，并對(duì)學(xué)生邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的發(fā)展提供更具針對(duì)性的引導(dǎo). 為此，筆者認(rèn)為教師在設(shè)計(jì)問題時(shí)，要注意以下幾個(gè)方面的工作.

1. 注重問題設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)性

最基礎(chǔ)的問題往往最能凸顯數(shù)學(xué)理論在整體結(jié)構(gòu)上的邏輯性，在數(shù)學(xué)研究過程中涉及大量的邏輯思維、推理方法以及相應(yīng)的分析手段，這些都可以在問題中得以體現(xiàn). 現(xiàn)如今的高考試題中也經(jīng)常出現(xiàn)類似的問題，這些凸顯邏輯性的問題不再依賴具體的知識(shí)，需要學(xué)生以靈活的思維來應(yīng)對(duì). 比如下面的問題從“城市旅游”這一話題切入，需要學(xué)生從對(duì)話內(nèi)容中提煉信息，理清內(nèi)部隱藏著的邏輯關(guān)聯(lián)，并積極展開推理，形成相應(yīng)的結(jié)論. 問題如下： 甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個(gè)城市時(shí)，甲回答：這三個(gè)城市，我去過的比乙多，但沒去過B城市；乙回答：我沒去過C城市；丙回答：我們?nèi)巳ミ^同一個(gè)城市. 由此可判斷乙去過上述三個(gè)城市中的哪一個(gè).

上述問題曾經(jīng)是2014年的數(shù)學(xué)高考題，它應(yīng)該是邏輯題首度直接出現(xiàn)在高考試卷中，這在師生中一度引起很大的反響. 大家都認(rèn)為這樣的問題生動(dòng)而真實(shí)，能夠?qū)W(xué)生的邏輯意識(shí)和相關(guān)能力進(jìn)行較為真實(shí)的考查. 上述問題新穎且生動(dòng)，而且語言措辭也比較生活化，具有很強(qiáng)的實(shí)際意義，能夠把生活與數(shù)學(xué)有效地銜接起來. 如果將這類問題融入日常的教學(xué)之中，能夠強(qiáng)化學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生有意識(shí)地培養(yǎng)他們的邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性，同時(shí)還可以提升他們應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力. 這樣的問題也是對(duì)課標(biāo)精神的有力詮釋，能夠強(qiáng)化學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的意識(shí)，學(xué)生也將發(fā)現(xiàn)邏輯思維是銜接數(shù)學(xué)理論和生活的重要途徑.

2. 關(guān)注問題設(shè)計(jì)的實(shí)踐性

實(shí)踐性應(yīng)該是邏輯思維的重要標(biāo)準(zhǔn)，關(guān)注邏輯意識(shí)培養(yǎng)的數(shù)學(xué)問題應(yīng)該注意實(shí)踐性的體現(xiàn). 實(shí)踐和生活本就是數(shù)學(xué)的起源，數(shù)學(xué)理論的發(fā)展也正是為了解決實(shí)踐性的問題. 很多富有實(shí)踐性的問題在學(xué)生對(duì)其進(jìn)行分析和解決的過程中，需要學(xué)生充分聯(lián)系已有的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，充分發(fā)揮思維的嚴(yán)謹(jǐn)性和邏輯性，多方位地整合數(shù)學(xué)理論和相關(guān)知識(shí)，并最終在問題的分析和解決中發(fā)現(xiàn)自己在邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性發(fā)展上的短板，同時(shí)還能在訓(xùn)練中得到彌補(bǔ)和強(qiáng)化.

教師在設(shè)計(jì)實(shí)踐性問題時(shí)，可以跟蹤社會(huì)熱點(diǎn)，從學(xué)生關(guān)心的社會(huì)話題中選擇素材，這樣的問題將讓數(shù)學(xué)研究更顯真實(shí)性，而且還能充分顯示數(shù)學(xué)研究的作用和價(jià)值，展示邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性在社會(huì)實(shí)踐中的重要意義. 比如“空氣質(zhì)量”是一個(gè)社會(huì)關(guān)注度較高的問題，教師以此為背景，設(shè)計(jì)凸顯實(shí)踐性的問題：結(jié)合以往的資料，氣象分析專家確定某地區(qū)一天空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良級(jí)別的概率是0.75，連續(xù)兩天空氣質(zhì)量達(dá)到優(yōu)良級(jí)別的概率為0.6. 現(xiàn)在已知當(dāng)天的空氣質(zhì)量級(jí)別為優(yōu)良，則第二天有多大概率空氣質(zhì)量也為優(yōu)良？這是一個(gè)概率問題，它是對(duì)隨機(jī)事件可能性的一種探索，在邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性上有著非常高的要求，同時(shí)這個(gè)問題以學(xué)生關(guān)心的話題切入，能夠引導(dǎo)學(xué)生深度領(lǐng)會(huì)概率研究的社會(huì)價(jià)值和實(shí)際意義.

學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生都有這樣的體會(huì)：很多課堂上的內(nèi)容，如果只是紙面上分析一下，一切貌似非常嚴(yán)謹(jǐn)，但是如果將其放到實(shí)踐的背景下，就發(fā)現(xiàn)不少缺陷. 這也表明，要強(qiáng)化學(xué)生邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)，教師要注重將實(shí)踐性的素材引入課堂教學(xué)之中，讓學(xué)生在實(shí)踐與探索中感受最純正、最質(zhì)感的數(shù)學(xué)問題，由此才能讓學(xué)生真正從學(xué)習(xí)中獲得提升和發(fā)展，他們的思維也將因此而變得更加嚴(yán)謹(jǐn)，相關(guān)能力將在潛移默化的過程中得到發(fā)展.

3. 關(guān)注問題設(shè)計(jì)的綜合性

在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯意識(shí)時(shí)，教師還必須設(shè)計(jì)一些具有綜合性的問題，這些問題要側(cè)重于學(xué)生對(duì)通用數(shù)學(xué)研究方法的鞏固和診斷，規(guī)避某些特殊的分析技巧. 這樣的目的是為了訓(xùn)練學(xué)生更具一般化的解題思維和常規(guī)方法. 整個(gè)數(shù)學(xué)課程體系中，數(shù)學(xué)思想及方法是對(duì)知識(shí)的高度概括和抽象，相關(guān)內(nèi)容可以有效遷移并應(yīng)用于其他學(xué)科，并拓展到生活實(shí)踐問題的解決之中. 高中數(shù)學(xué)教學(xué)所涉及的數(shù)學(xué)方法很多都與邏輯學(xué)密切相關(guān)，比如綜合法、歸納法、窮舉法、反證法等，這些內(nèi)容應(yīng)該成為設(shè)計(jì)綜合性問題的落腳點(diǎn).

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師要從教學(xué)和評(píng)價(jià)兩個(gè)層面雙管齊下，深度而有效地關(guān)注學(xué)生邏輯嚴(yán)謹(jǐn)性的培養(yǎng)，這也將成為發(fā)展學(xué)生核心素養(yǎng)工作中的關(guān)鍵一環(huán)，對(duì)學(xué)生的終身發(fā)展大有裨益.