張宏斌
(重慶市銅梁中學(xué)校,重慶)
一元二次函數(shù)是高中解題的基礎(chǔ),高中階段幾乎所有章節(jié)的數(shù)學(xué)問題,都可以與其結(jié)合,是歷年高考永恒的主題。而現(xiàn)階段初中教學(xué)降低了對一元二次函數(shù)的要求,學(xué)生對其圖象性質(zhì)把握不好,特別是對其零點的分布問題認(rèn)識不深入。教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)不少同行雖然也用數(shù)形結(jié)合對零點進行分析,但不透徹,甚至有些教學(xué)資料上將零點細分為多達八九種類型,不便于學(xué)生掌握。本文仍用數(shù)形結(jié)合的思想,把一元二次函數(shù)零點分布(亦即一元二次方程根的分布)問題總結(jié)為兩種主要類型,便于學(xué)生把握其本質(zhì),提高解題效率。
定義1.同一范圍:根所處的區(qū)間端點沒有把兩個根分開,稱根分布在不同范圍內(nèi)。
定理一.根在同一范圍時,需要列:
例 1.二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)二根 x1,x2均在區(qū)間(m,n)內(nèi),怎么列式?
解:記f(x)=ax2+bx+c。由題做出圖1,結(jié)合一元二次函數(shù)圖象開口方向、對稱軸、圖象所經(jīng)過的特殊點,容易列出如下不等式組。
圖1
若不等式組※缺少任何一個不等式,均得不到圖1。即不等式組※是題目成立的充要條件。四個不等式、三種條件缺一不可。
定義2.不同范圍:根所處的區(qū)間端點,將兩個根分開,稱根分布在不同范圍內(nèi)。
定理二.根在不同范圍時,只需列:端點函數(shù)值的正負(fù)。
區(qū)間的端點有幾個就要列幾個不等式,需全部考慮完整。
例 2.二次方程 ax2+bx+c=0(a>0)二根 x1,x2滿足 m<x1<x2<n,又怎么列式?
作圖2或圖3,因為軸的位置與m,n的關(guān)系不明確,可列出如下不等式組:
圖2
圖3
仔細研究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn):①開口向上;②f(m)<0,f(n)>0,自然二次函數(shù)圖象穿過x軸,所以不必要列判別式也可以得到m<x1<x2<n,自然對稱軸也不需要列了。僅(2)(3)兩式就可做出圖2或圖3,和原題等價。
由上例1和例2,簡單證明了定理一、二。
例3.關(guān)于x的方程x2-mx+2m-1=0滿足下列條件,分別求m的取值范圍。
(1)一根小于-1,一根大于2;
(2)一根在(0,2)內(nèi),一根在(3,5)內(nèi);
(3)二根均大于2;
(4)二根均在(-4,0)之間
(5)在區(qū)間(2,+∞)上無實根。
解:記f(x)=x2-mx+2m-1
(1)(2)均是根的不同范圍分布,只列端點函數(shù)值得正負(fù):
(3)(4)均是根的相同范圍分布,需列判別式、軸、端點函數(shù)值正負(fù)三種類型:
(5)方程要么無解,要么解都在(-∞,2]內(nèi):
特別注意的是,區(qū)間端點的開、閉對所列不等式可否取等號的影響,多用數(shù)形結(jié)合分析討論。
例4.二次方程2x2-(m+1)x+m=0有且僅有一實根在(0,1)內(nèi),求 m取值范圍。
此題容易作出如下圖4、5的形式,列出下式:
圖4
圖5
函數(shù)圖象也可能過x=1或x=2這兩點,即為圖6或圖7,就有f(1)=0或f(0)=0
圖6
圖7
但僅將上式(1)添個等號:f(1)·f(0)≤0,結(jié)果也不等價,如圖8,在區(qū)間內(nèi)就無解了。
圖8
實際上圖6、7應(yīng)歸結(jié)為根的相同范圍分布,要考慮軸靠近哪個端點,即軸與比較大小,綜合圖 6、7,應(yīng)列出如下式子:
有沒有更簡潔的方法呢?實際上等號的問題就是擔(dān)心圖6到圖8的情形,可直接算f(1)=0或f(0)=0,用算出的m再求根,檢驗根是否滿足題目就行了,結(jié)果f(0)=0時成立,f(1)=0時不成立。
如此一來,關(guān)于在某區(qū)間內(nèi)僅有一解的問題就有兩種解法了:①歸結(jié)成相同范圍和不同范圍,當(dāng)穿過端點時討論軸與端點中點的大小關(guān)系。②當(dāng)作不同范圍解,結(jié)合圖象檢驗端點函數(shù)值為0時是否符合要求。第二種能簡化計算。
數(shù)形結(jié)合是解決根分布問題的捷徑,緊緊抓住一元二次函數(shù)的3個圖象性質(zhì),將一元二次函數(shù)零點分布問題總結(jié)為分布在相同范圍或分布在不同范圍兩種基本類型,遇到區(qū)間內(nèi)僅有一解的問題多用檢驗端點函數(shù)值為0時根是否滿足題意,可簡化運算。