一元二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題新探

張宏斌

（重慶市銅梁中學(xué)校，重慶）

一元二次函數(shù)是高中解題的基礎(chǔ)，高中階段幾乎所有章節(jié)的數(shù)學(xué)問題，都可以與其結(jié)合，是歷年高考永恒的主題。而現(xiàn)階段初中教學(xué)降低了對一元二次函數(shù)的要求，學(xué)生對其圖象性質(zhì)把握不好，特別是對其零點(diǎn)的分布問題認(rèn)識(shí)不深入。教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)不少同行雖然也用數(shù)形結(jié)合對零點(diǎn)進(jìn)行分析，但不透徹，甚至有些教學(xué)資料上將零點(diǎn)細(xì)分為多達(dá)八九種類型，不便于學(xué)生掌握。本文仍用數(shù)形結(jié)合的思想，把一元二次函數(shù)零點(diǎn)分布（亦即一元二次方程根的分布）問題總結(jié)為兩種主要類型，便于學(xué)生把握其本質(zhì)，提高解題效率。

定義1.同一范圍：根所處的區(qū)間端點(diǎn)沒有把兩個(gè)根分開，稱根分布在不同范圍內(nèi)。

定理一.根在同一范圍時(shí)，需要列：

例 1.二次方程 ax2+bx+c=0（a＞0）二根 x1，x2均在區(qū)間（m，n）內(nèi)，怎么列式？

解：記f（x）=ax2+bx+c。由題做出圖1，結(jié)合一元二次函數(shù)圖象開口方向、對稱軸、圖象所經(jīng)過的特殊點(diǎn)，容易列出如下不等式組。

圖1

若不等式組※缺少任何一個(gè)不等式，均得不到圖1。即不等式組※是題目成立的充要條件。四個(gè)不等式、三種條件缺一不可。

定義2.不同范圍：根所處的區(qū)間端點(diǎn)，將兩個(gè)根分開，稱根分布在不同范圍內(nèi)。

定理二.根在不同范圍時(shí)，只需列：端點(diǎn)函數(shù)值的正負(fù)。

區(qū)間的端點(diǎn)有幾個(gè)就要列幾個(gè)不等式，需全部考慮完整。

例 2.二次方程 ax2+bx+c=0（a＞0）二根 x1，x2滿足 m＜x1＜x2＜n，又怎么列式？

作圖2或圖3，因?yàn)檩S的位置與m，n的關(guān)系不明確，可列出如下不等式組：

圖2

圖3

仔細(xì)研究函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)：①開口向上；②f（m）＜0，f（n）＞0，自然二次函數(shù)圖象穿過x軸，所以不必要列判別式也可以得到m＜x1＜x2＜n，自然對稱軸也不需要列了。僅（2）（3）兩式就可做出圖2或圖3，和原題等價(jià)。

由上例1和例2，簡單證明了定理一、二。

例3.關(guān)于x的方程x2-mx+2m-1=0滿足下列條件，分別求m的取值范圍。

（1）一根小于-1，一根大于2；

（2）一根在（0，2）內(nèi)，一根在（3，5）內(nèi)；

（3）二根均大于2；

（4）二根均在（-4，0）之間

（5）在區(qū)間（2，+∞）上無實(shí)根。

解：記f（x）=x2-mx+2m-1

（1）（2）均是根的不同范圍分布，只列端點(diǎn)函數(shù)值得正負(fù)：

（3）（4）均是根的相同范圍分布，需列判別式、軸、端點(diǎn)函數(shù)值正負(fù)三種類型：

（5）方程要么無解，要么解都在（-∞，2］內(nèi)：

特別注意的是，區(qū)間端點(diǎn)的開、閉對所列不等式可否取等號的影響，多用數(shù)形結(jié)合分析討論。

例4.二次方程2x2-（m+1）x+m=0有且僅有一實(shí)根在（0，1）內(nèi)，求 m取值范圍。

此題容易作出如下圖4、5的形式，列出下式：

圖4

圖5

函數(shù)圖象也可能過x=1或x=2這兩點(diǎn)，即為圖6或圖7，就有f（1）=0或f（0）=0

圖6

圖7

但僅將上式（1）添個(gè)等號：f（1）·f（0）≤0，結(jié)果也不等價(jià)，如圖8，在區(qū)間內(nèi)就無解了。

圖8

實(shí)際上圖6、7應(yīng)歸結(jié)為根的相同范圍分布，要考慮軸靠近哪個(gè)端點(diǎn)，即軸與比較大小，綜合圖 6、7，應(yīng)列出如下式子：

有沒有更簡潔的方法呢？實(shí)際上等號的問題就是擔(dān)心圖6到圖8的情形，可直接算f（1）=0或f（0）=0，用算出的m再求根，檢驗(yàn)根是否滿足題目就行了，結(jié)果f（0）=0時(shí)成立，f（1）=0時(shí)不成立。

如此一來，關(guān)于在某區(qū)間內(nèi)僅有一解的問題就有兩種解法了：①歸結(jié)成相同范圍和不同范圍，當(dāng)穿過端點(diǎn)時(shí)討論軸與端點(diǎn)中點(diǎn)的大小關(guān)系。②當(dāng)作不同范圍解，結(jié)合圖象檢驗(yàn)端點(diǎn)函數(shù)值為0時(shí)是否符合要求。第二種能簡化計(jì)算。

數(shù)形結(jié)合是解決根分布問題的捷徑，緊緊抓住一元二次函數(shù)的3個(gè)圖象性質(zhì)，將一元二次函數(shù)零點(diǎn)分布問題總結(jié)為分布在相同范圍或分布在不同范圍兩種基本類型，遇到區(qū)間內(nèi)僅有一解的問題多用檢驗(yàn)端點(diǎn)函數(shù)值為0時(shí)根是否滿足題意，可簡化運(yùn)算。