參考系的轉(zhuǎn)換在高中物理中的妙用

龍怡天

（麓山國際實驗學(xué)校，湖南 長沙）

要描述物體的運動首先要確定參考系，原則上可以選除研究對象自身以外的任何物體為參考系。選不同的物體為參考系，對同一物體運動的描述可能不同，因而常選能使運動的描述最簡單的物體為參考系，實際常選地面為參考系。久而久之，在解題過程中不考慮參考系的選擇問題，習(xí)慣性地選用地面為參考系，導(dǎo)致解決有些問題的方法變得繁瑣，有時甚至感覺無從下手。本文的目的就是要拋開習(xí)慣思維的束縛，靈活選用參考系，運用相對運動的有關(guān)知識，簡化解題過程。

一、相對運動知識

小船在有一定流速的水中過河時，設(shè)水流速度為v水（水流相對地的速度）和小船靜水航速為v船（小船相對水的速度），小船實際運動速度為v（小船對地的速度）。則有v等于v水和v船的矢量和。

由此可知若運動參照系對地位移為x運、速度為v運、加速度為a運，質(zhì)點對運動的參照物的位移為為x相、速度為v相、加速度為a相，質(zhì)點對地位移為x、速度為ν、加速度為a，則對地位移x等于x運與x相的矢量和，對地v等于v運和v相的矢量和、對地加速度為a等于a運和a的矢量和。

當(dāng)質(zhì)點對地運動和運動參考系的對地運動在同一直線上時，可將矢量運算轉(zhuǎn)化為代數(shù)運算。

二、追擊相遇問題中的應(yīng)用

追擊相遇問題的實質(zhì)是兩個運動物體在相同或不同時間內(nèi)能否到達同一位置。若以地面為參考系，則需考慮兩個物體的速度、位移及其關(guān)系。根據(jù)參考系的定義：假設(shè)靜止不動、被選來作為標(biāo)準(zhǔn)的物體，若選擇其中一個物體為參考系來描述另一個物體的運動即相對運動，就將問題轉(zhuǎn)化為一個物體的運動問題。

例：2014年7月24日，受臺風(fēng)“麥德姆”影響，東部沿海多地暴雨，嚴(yán)重影響了道路交通安全。某高速公路同一直線車道上同向勻速行駛的轎車和貨車，其速度大小分別為v1=40 m/s，v2=25 m/s，轎車在與貨車距離x0=22 m時才發(fā)現(xiàn)前方有貨車，若此時轎車只是立即剎車，剎車的加速度大小為5 m/s2，兩車可視為質(zhì)點.

（1）若轎車剎車時貨車以v2勻速行駛，通過計算分析兩車是否會相撞？

（2）若轎車在剎車的同時給貨車發(fā)信號，貨車司機經(jīng)t0=2 s收到信號立即以加速度大小a2=2.5 m/s2勻速前進，通過計算分析兩車會不會相撞？

【分析】（1）勻減速追趕勻速，以勻速運動的貨車為參考系，則轎車的相對運動是相對初速度大小為15 m/s、相對加速度等于對地加速度5 m/s2的勻減速運動。相對速度減為零時相對位移與開始間隔距離22 m的大小關(guān)系，是撞上與撞不上的臨界條件，求出轎車剎車的相對位移比較即可。

（2）轎車前2 s的相對運動未變，2 s后相對加速度變?yōu)?7.5 m/s2，轎車相對速度減為零時的相對位移與開始間隔的距離相等是臨界條件，分別將前后兩段時間的相對位移求解出來。

【解答】解：（1）轎車經(jīng)過s=160 m才停下來的過程，由v12=2 a1s得：轎車剎車過程的加速度大小：a1=5 m/s2。以貨車為參考系，轎車相對運動的初速度、加速度分別為v1=υ2+υ相0得：v相0=15 m/s，a相=a1=-5 m/s2。轎車前進的相對位移

因為：s相1=22.5 m＞s0，即：兩車會相撞。

因為：s相1+s相2=21.7 m＜s0，兩車不會相撞。

三、在牛頓運動定律中的應(yīng)用

高中階段涉及滑動摩擦力的動力學(xué)問題經(jīng)常出現(xiàn)，解題時滑動摩擦力的方向很容易弄錯。原因是質(zhì)點受滑動摩擦力的方向與質(zhì)點相對滑動摩擦力的施力物體的相對運動方向相反，而不是與質(zhì)點相對地面的運動方向相反。因此確定滑動摩擦力的方向，要先確定質(zhì)點相對滑動摩擦力的施力物的相對運動方向。而且滑動摩擦力的方向就可能不會與物體對地運動的方向共線，使物體做曲線運動。

例：如圖所示，生產(chǎn)車間有兩個相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙，甲的速度為v0。質(zhì)量均為m的工件離開甲前與甲的速度相同，并平穩(wěn)地傳到乙上，工件與乙之間的動摩擦因數(shù)為μ.乙的寬度足夠大，重力加速度為g。

（1）若乙保持靜止，求某工件在乙上滑行的距離；

（2）若乙的速度也為v0，求：某工件在乙上滑行的過程中產(chǎn)生的熱量。

【分析】（1）工件滑上靜止傳送帶乙，垂直乙傳送帶方向向前滑，沿水平方向做勻減速運動。

（2）工件的初速度沿水平方向，傳送帶乙的運動方向與之垂直，用相對運動知識確定相對運動的方向，可知滑動摩擦力的方向與初速度方向有夾角，因此可判斷工件相對地面將做曲線運動。摩擦力方向是否變化無法判斷。如若將乙傳送帶選作參考系，由相對運動知識即可求得相對運動的速度大小和方向，因滑動摩擦力方向與相對運動方向相反，故工件相對乙傳送帶做勻減速運動，直到相對靜止。根據(jù)牛頓運動定律和運動學(xué)公式求得相對于傳送帶的位移，由Q=μmgx即可求得。

（3）通過運動學(xué)公式和牛頓第二定律即可求得。

【解答】解：（1）若乙保持靜止，根據(jù)牛頓第二定律和運動學(xué)公式μmg=ma解得工件在乙上滑行的距離

（2）沿甲與乙的運動方向建立坐標(biāo)系（如下圖所示）剛滑上乙時，工件相對乙運動的速度為方向如圖所示，θ=45°工件受到摩擦力的大小為f=μmg工件在乙上相對乙做初速度為加速度a=μg的與減速運動，直至相對靜止，故相對位移根據(jù)運動學(xué)公式可得

摩擦生熱 Q=μmgL 解得Q=mv02

四、在磁場問題中的應(yīng)用

帶電粒子垂直磁場的方向進入勻強磁場中，若不計重力，粒子將做勻速圓周運動。如果該區(qū)域還有勻強電場粒子將做什么運動呢？

例.（2013福建）如圖甲，空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場，磁感應(yīng)強度大小為B.讓質(zhì)量為m，電量為q（q＞0）的粒子從坐標(biāo)原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場中，不計重力和粒子間的影響。

（1）若粒子以初速度v1沿y軸正向入射，恰好能經(jīng)過x軸上的 A（a，0）點，求 v1的大??；

（2）如圖乙，若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強電場，一粒子從O點以初速度v0沿y軸正向發(fā)射。研究表明：粒子在xOy平面內(nèi)做周期性運動，且在任一時刻，粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標(biāo)成正比，比例系數(shù)與場強大小E無關(guān)。求該粒子運動過程中的最大速度值vm。

【分析】（1）根據(jù)所受洛倫茲力情況，畫出運動軌跡，求出半徑大小，即可求出速度v1的大??；

（2）轉(zhuǎn)換參考系，運用相對運動知識求解。

【解答】解：（1）根據(jù)運動軌跡可以求出半徑為：

答：v1的大小

（2）若有一個觀察者，以速度v人沿x軸正方向勻速運動，其速度滿足qv人B=qE，以觀察者為參考系，磁場相對觀察者以速度v人沿x軸負方向勻速運動，粒子相對磁場以初速度v0沿y軸正向發(fā)射，粒子相對于觀察者的速度為v粒，則三者速度關(guān)系如圖。由洛侖茲力計算公式得：f人=qv人B=qE，f0=qv0B，f粒=qv粒B，由三角知識可證明f0和f人的合力等于f粒，則粒子受洛侖茲力f0和電場力FE的合力等于f粒，粒子相對觀察者以速度做勻速圓周運動。所以粒子相對地面的運動是觀察者對地的勻速運動和粒子相對觀察者的勻速圓周運動的合運動。

當(dāng)粒子逆時針運動到圓周的最低點時，合速度最大，有：

通過本題的分析，可以了解到粒子在勻強復(fù)合場中的運動是一種周期性的運動，其周期由比荷和磁感強度決定。題干中所給的信息可以直接推出。

總結(jié)以上案例的解題思路不難看出，如何正確巧妙地選用參考系，將會使繁瑣的方法變簡捷，復(fù)雜運動變簡單。