初中幾何證明的典型錯(cuò)誤及其應(yīng)對(duì)策略

□海南省東方市八所中學(xué) 吳東翔

初中平面幾何的學(xué)習(xí)是幾何學(xué)的入門(mén)學(xué)習(xí)。若學(xué)生掌握該學(xué)科的學(xué)習(xí)方法,則會(huì)激發(fā)他們對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的學(xué)習(xí)興趣。因此培養(yǎng)學(xué)生自覺(jué)、主動(dòng)地探求平面幾何的解題問(wèn)題，不僅是鑄造學(xué)生優(yōu)質(zhì)的思維品格的基礎(chǔ)、是培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力的有效途徑，也決定著學(xué)生往后能否向更廣更深的領(lǐng)域?qū)W習(xí)，關(guān)系著學(xué)生的成長(zhǎng)發(fā)展。為了讓學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)牢固，提升他們的邏輯推理能力，在幾年的教學(xué)中，我觀察到了學(xué)生在學(xué)習(xí)初中幾何的種種情況。如，平面幾何學(xué)習(xí)中幾何證明是學(xué)生的痛點(diǎn)，幾何證明問(wèn)題往往讓學(xué)生理不清頭緒，不知如何下手，久而久之，學(xué)生對(duì)幾何證明產(chǎn)生畏懼心理，對(duì)幾何的學(xué)習(xí)也失去興趣?！皫缀巫C明難”是學(xué)生不想學(xué)平面幾何的原因，要想從源頭上解決問(wèn)題，我們必須找出問(wèn)題的根源，以問(wèn)題為主線，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的研究分析，尋找出現(xiàn)問(wèn)題的原因，從而“對(duì)癥下藥”，尋找解決問(wèn)題的方法，使教師的教學(xué)引導(dǎo)更加高效，學(xué)生的學(xué)習(xí)更加科學(xué)，為學(xué)生獲取更多的“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”、為學(xué)生未來(lái)的發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

一、典型錯(cuò)誤

經(jīng)過(guò)多方面的經(jīng)驗(yàn)積累及調(diào)查分析，總結(jié)出幾何證明的典型錯(cuò)誤主要表現(xiàn)在以下幾點(diǎn)：

1.概念定理，理解不透。

（1）學(xué)生對(duì)幾何的概念、判斷定理的識(shí)記與理解流于表面，容易忽略定理的內(nèi)在含義，在應(yīng)用時(shí)不考慮它的適用條件和范圍。

在線段的垂直平分線的性質(zhì)學(xué)習(xí)中，學(xué)生沒(méi)有完全理解“線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離才相等”的內(nèi)在條件，在證明時(shí)，容易出錯(cuò)。

例：如圖，在△ABC中，AB=AC,點(diǎn)D是BC的中點(diǎn),求證：（1）△ABD≌△ACD ；（2）BE=CE。

錯(cuò)誤分析：對(duì)于（2）的證明，很多學(xué)生都認(rèn)為D是BC的中點(diǎn)，所以BE=CE，沒(méi)有去探討DE是BC的中垂線。

（2）在三角形全等的證明中，按照題目給出的已知條件，很多學(xué)生都會(huì)找出“邊邊角”的條件，然后就直接利用“邊邊角”直接得出兩個(gè)三角形全等了，錯(cuò)誤原因就是“無(wú)中生有，自創(chuàng)定理”。

2.隱含條件，不善挖掘。

在初中幾何證明中，有一些題目，證明結(jié)論所需要的已知條件，不是直接給出來(lái)的，而是隱含的。對(duì)于這類(lèi)題目，如果學(xué)生不善于挖掘這些條件，就沒(méi)有足夠的條件逐步推導(dǎo)出結(jié)論。這類(lèi)題目學(xué)生共同的感覺(jué)就是“缺少條件”。

例：如圖，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂線MN交AC于點(diǎn)N，交AB于點(diǎn)M，求證：△ABC∽△BCN。

分析：本題的關(guān)鍵在于抓住∠A=36°，AB=AC這

兩個(gè)已知條件，由∠A=36°，AB=AC可得到∠ABC=∠C=（180-36）/2=72°，進(jìn)而就可得所要證明的結(jié)論。但在實(shí)際證明中，很多學(xué)生都沒(méi)有挖掘出這個(gè)隱含條件，所以結(jié)論也就無(wú)法求證。

3.推理混亂，缺乏規(guī)范。

表達(dá)混亂，條理不清是屬于證明過(guò)程書(shū)寫(xiě)不規(guī)范的問(wèn)題，對(duì)于初學(xué)者來(lái)說(shuō)，這種現(xiàn)象尤為常見(jiàn)。這種現(xiàn)象，常見(jiàn)的有兩種：

（1）不知如何下筆，是學(xué)生覺(jué)得“幾何證明難”的共同心病，拿到一個(gè)幾何證明題目，學(xué)生看了，心里明白怎么得到需要證明的結(jié)論，但下筆書(shū)寫(xiě)時(shí)，不知怎么表達(dá)推理過(guò)程或者推理混亂，邏輯不嚴(yán)密。

（2）幾何證明的書(shū)寫(xiě)要求有它的獨(dú)特性：書(shū)寫(xiě)表達(dá)必須規(guī)范，然而在幾何證明中，學(xué)生表達(dá)不規(guī)范比比皆是。常見(jiàn)的情況有前因后果邏輯推理不嚴(yán)密、畫(huà)圖不規(guī)范、幾何符號(hào)語(yǔ)言應(yīng)用不規(guī)范等等。

4.添線助證，無(wú)從下手。

眾所周知，很多幾何題的證明，往往利用原圖現(xiàn)有的“線”是難于證明的，這就需要添加輔助線。添加輔助線可以使復(fù)雜的幾何證明問(wèn)題變得簡(jiǎn)單，然而，因?yàn)闆](méi)有掌握添加輔助線的要領(lǐng)，證明時(shí)，沒(méi)有找到證明的突破口，題目也就無(wú)法得證。添加輔助線解決幾何問(wèn)題是幾何證明的一大技巧，題目需要添加輔助線輔助證明時(shí)，學(xué)生沒(méi)有找到添加輔助線的切入口，因此無(wú)法進(jìn)行解題，這也是學(xué)生解決幾何問(wèn)題感到“無(wú)從下手”的原因。

5.文字命題，茫然無(wú)策。

在教學(xué)中，學(xué)生最難于應(yīng)對(duì)的是文字命題的證明，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題，學(xué)生無(wú)法理解命題的含義，未能從中找出命題的題設(shè)和結(jié)論，不僅如此，學(xué)生還難于根據(jù)題意規(guī)范畫(huà)圖、不懂得用幾何符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)出已知條件和求證。

6.生活問(wèn)題，不善建模。

數(shù)學(xué)是來(lái)源于生活，又為生活服務(wù)的一門(mén)學(xué)科，生活中的很多現(xiàn)象，我們都可以把它歸納為數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用數(shù)學(xué)思維進(jìn)行解決，然而，對(duì)于現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題，學(xué)生往往不能把它進(jìn)行建模，把生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題。幾何尤其如此，學(xué)生沒(méi)有耐心理解實(shí)際問(wèn)題和數(shù)學(xué)的關(guān)系，沒(méi)有更好地把實(shí)際問(wèn)題歸納成幾何問(wèn)題，沒(méi)有更好地畫(huà)圖加以直觀理解，從而就沒(méi)有達(dá)到解決實(shí)際問(wèn)題的目的。

二、應(yīng)對(duì)策略

以上是初中幾何教學(xué)中學(xué)生證明常見(jiàn)的幾類(lèi)典型錯(cuò)誤，在教學(xué)中如何有效應(yīng)對(duì)呢？通過(guò)思考探索和與同伴探討交流，總結(jié)出以下幾點(diǎn)體會(huì)：

1.夯實(shí)基礎(chǔ)、強(qiáng)化應(yīng)用。

學(xué)生幾何解題一切錯(cuò)誤的原因都是基礎(chǔ)不扎實(shí)，如果基礎(chǔ)扎實(shí)了，而不善于應(yīng)用，那就是平時(shí)缺少解題應(yīng)用訓(xùn)練。在平常教學(xué)中，老師必須幫助學(xué)生理清幾何定義、幾何定理、公理?xiàng)l件和結(jié)論之間的邏輯思維關(guān)系、掌握應(yīng)用范圍，在解題實(shí)踐中，放手讓學(xué)生大膽嘗試，要知道“只有讓學(xué)生在實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)自己解題存在的不規(guī)范及漏洞錯(cuò)誤，學(xué)生才能體會(huì)深刻及更好糾正”?！昂粚?shí)基礎(chǔ)、加強(qiáng)應(yīng)用”是學(xué)生熟練運(yùn)用的基礎(chǔ)，也只有基礎(chǔ)夯實(shí)，學(xué)生對(duì)幾何的學(xué)習(xí)才更有興趣，學(xué)生對(duì)學(xué)好幾何才更有信心。

2.深入挖掘，突破瓶頸。

幾何證明中，綜合題目都有“瓶頸”，題目中設(shè)置的“瓶頸”往往讓學(xué)生找不到解題的突破口，如果“瓶頸”突破了，學(xué)生證明也會(huì)豁然開(kāi)朗，有一種“柳暗花明又一村”的感覺(jué)，此時(shí)的學(xué)生會(huì)無(wú)比興奮，也會(huì)很享受那種成就感，這給學(xué)生學(xué)習(xí)幾何帶來(lái)多大的興趣??！何樂(lè)而不為呢？然而，幾何證明中的“瓶頸”如何突破呢？課堂教學(xué)中必須做好以下幾點(diǎn)：

（1）培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真閱題、審題的良好習(xí)慣，在審題中能充分挖掘題目中的顯性和隱性已知條件的意識(shí)。幾何結(jié)論的證明，碰到最多的問(wèn)題就是“結(jié)論的推導(dǎo)缺少條件”，然而題目給的條件肯定是足夠的，有顯性的，也有隱性的，只是學(xué)生不善于挖掘或利用而已。只有充分利用題目中的顯性和隱性已知條件，結(jié)論的證明才能順利推導(dǎo)出來(lái)。

（2）引導(dǎo)學(xué)生逆向分析，證明幾何問(wèn)題時(shí)，要讓學(xué)生懂得從要證明的結(jié)論開(kāi)始，逆向分析，結(jié)論的得出需要哪些條件，再?gòu)念}目中去尋找這些條件，逐一突破。

（3）幾何結(jié)論的證明，學(xué)生心里往往明白由這些條件可以得出這個(gè)結(jié)論，但要書(shū)寫(xiě)時(shí)卻不知如何下筆。對(duì)于這樣的問(wèn)題，在教學(xué)中我們可以讓學(xué)生多模仿例題的書(shū)寫(xiě)過(guò)程，讓學(xué)生多嘗試，學(xué)生之間相互糾正，這樣他們體會(huì)到的知識(shí)會(huì)更深刻。

（4）幾何文字命題的證明，學(xué)生的難點(diǎn)是：①無(wú)法找出命題的題設(shè)和結(jié)論，即找不出已知條件和需要證明的結(jié)論；②畫(huà)簡(jiǎn)圖，不懂得用幾何符號(hào)語(yǔ)言寫(xiě)出已知和求證，針對(duì)這樣的情況我們可以采取“化整為零，逐一突破”的策略。即要讓學(xué)生懂得把問(wèn)題分成幾個(gè)步驟：第一，理清題意，畫(huà)出草圖；第二，根據(jù)題目中的條件和結(jié)論，用幾何符號(hào)寫(xiě)出已知和求證；第三，從已知條件開(kāi)始，逐一規(guī)范寫(xiě)出推導(dǎo)過(guò)程。

（5）數(shù)學(xué)文化的精華就是“化為數(shù)學(xué)”和“數(shù)學(xué)化為”，生活中的幾何問(wèn)題，要把它化為數(shù)學(xué)問(wèn)題去求解，需要學(xué)生有良好的“建?！蹦芰Γ诮虒W(xué)中，我們要注重?cái)?shù)學(xué)“建模”思想的參透，多設(shè)置生活實(shí)例讓學(xué)生練習(xí)，老師和學(xué)生一起探討如何把“生活問(wèn)題”化為“數(shù)學(xué)問(wèn)題”之間的過(guò)渡關(guān)系。

3.方法歸納，形成思維。

方法歸納需要多思考，只有多思考才能找到不同問(wèn)題的解決規(guī)律，例如添加輔助線證明問(wèn)題時(shí)，不同類(lèi)型的題目有不同的添加方法，但它們是有規(guī)律的，需要老師引導(dǎo)學(xué)生多思考、多體會(huì)、多總結(jié)。在幾何證明的訓(xùn)練中，教師要多引導(dǎo)、幫助學(xué)生進(jìn)行解題方法、解題技巧及分析思路的整理和歸納，只有這樣，學(xué)生才能把老師的分析思路、解題技巧和證明思維轉(zhuǎn)變?yōu)樽约旱姆椒ǎ簿褪且寣W(xué)會(huì)收“漁”而不是收“魚(yú)”，學(xué)生才能更好地開(kāi)啟幾何證明的智慧之門(mén)。

解決問(wèn)題的對(duì)策是很多的，在教學(xué)實(shí)踐中，師生只有“持之以恒”，“幾何證明難”的問(wèn)題才能有效解決。