微積分思想方法及教學(xué)思考

舒斯會 易云輝

摘 要：微積分思想方法是微積分的基礎(chǔ)和精髓。在教學(xué)過程中，應(yīng)盡早地讓學(xué)生接觸和了解微積分思想方法。文章總結(jié)了微積分思想方法的三個步驟，并介紹了在微積分教學(xué)中，怎樣引入和應(yīng)用微積分思想方法，為讀者講授微積分思想方法提供參考。

關(guān)鍵詞：微積分；微積分思想；教學(xué)思考

中圖分類號：O172

文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

微積分思想方法是微積分的基礎(chǔ)和精髓，是微積分創(chuàng)立和發(fā)展的基石，所以學(xué)好微積分的關(guān)鍵是要理解和掌握好微積分思想與方法。所以在教學(xué)過程中，要盡早地讓學(xué)生接觸和了解微積分思想方法。建議在講完數(shù)列極限后，就對微積分思想方法進(jìn)行較為系統(tǒng)的介紹。

微積分思想方法來源于現(xiàn)實并能廣泛應(yīng)用于現(xiàn)實，特別是平面圖形面積、曲線的切線和非勻速運動物體的瞬時速度計算等問題在微積分的建立過程中起到極其重要的作用，毫不夸張地說微積分就是當(dāng)初為了解決這些方面的問題而產(chǎn)生的。在教學(xué)過程中，我們可以通過微積分的上述幾個方面經(jīng)典應(yīng)用來引出微積分思想方法，這樣能幫助學(xué)生了解微積分思想方法產(chǎn)生的過程及其應(yīng)用。下面是我們在微積分思想方法的過程。

一、微積分思想方法的引入

我們通過觀察以下現(xiàn)象導(dǎo)出微積分思想方法并對微積分思想方法進(jìn)行了系統(tǒng)的總結(jié)，使學(xué)生對微積分思想方法有完整系統(tǒng)的認(rèn)識。

（1）引入：如圖1，設(shè)L是一條連續(xù)曲線，在曲線上任取很小的一曲線段A1A2，發(fā)現(xiàn)它很接近直線段。而且不難理解曲線段分（取）的越細(xì)，它越接近直線段。

我們可以將任意的曲線段進(jìn)行不斷的細(xì)分，如不斷用曲線段的中點對它們進(jìn)行不斷的細(xì)分，使得每個細(xì)分的曲線段的長度無限接近零，那么這些曲線段也就無限接近直線段。

根據(jù)上述發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)家創(chuàng)立了一種先對曲線段無限細(xì)分，再用直線來近似代替細(xì)分后的每曲線段（即以直代曲），然后取極限（看無窮趨勢）的數(shù)學(xué)方法。由此，歸納出下列微積分思想方法。

（2）微積分思想方法：第一步無限細(xì)分；第二步近似（以直代曲）；第三步取極限。

這三個步驟缺一不可，近似是微積分方法的精髓，它主要包括用直線來近似代替曲線（簡稱以直代曲）和以不變的量來近似代替變化的量（簡稱以不變代變）。 無限細(xì)分是近似的前提，沒有無限細(xì)分，近似不可能通過無限接近（求極限）達(dá)到準(zhǔn)確。第三步需要通過看近似的極限得到準(zhǔn)確，也是我們要求的結(jié)果。

這樣讓學(xué)生在開始學(xué)習(xí)微積分時就對微積分思想方法有一個系統(tǒng)的認(rèn)識，明白微積分思想方法包含三個步驟，不能片面的理解微積分思想方法只是“以直代曲”或 “以不變代變”。

緊接著我們講述微積分思想方法在曲邊圖形的面積、曲線的切線計算等問題的應(yīng)用，讓學(xué)生知道微積分思想方法的強大作用，提高學(xué)生學(xué)習(xí)微積分的興趣。

二、微積分思想方法的應(yīng)用

在講微積分思想方法應(yīng)用時，要緊扣其三個步驟。

1.曲邊圖形的面積

例1，求由曲線y=x²， 0≤x≤1，和直線x=0，x=1，y=0所圍曲邊梯形的面積S。

解：（1）無限細(xì)分，即將x軸的區(qū)間[0，1]細(xì)分成n等分，然后過各分點作平行y軸的直線與曲線y=x²相交，這樣將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形S_i，其面積仍記為 S_i（如圖2）；