淺議數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的教學(xué)策略

楊赟 劉玉

摘 要：經(jīng)歷兩年多時(shí)間對(duì)課題《初中生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)的教學(xué)策略研究》的研究，本課題通過專家指導(dǎo)、同伴互助、多次實(shí)踐，整合提煉了初中生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)的“五建構(gòu)原則”教學(xué)策略，即“情境中、活動(dòng)過程中、數(shù)學(xué)的、有意義的、超越活動(dòng)過程的建構(gòu)”。下面是我們對(duì)“五建構(gòu)原則”的一些思考。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；教學(xué)；基本活動(dòng)

一、 情境中建構(gòu)

數(shù)學(xué)是與現(xiàn)實(shí)生活是緊密聯(lián)系的，“源于生活、高于生活、為了生活”，提出了立足現(xiàn)實(shí)生活的“情境中建構(gòu)”數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的方法論教學(xué)原則。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是按照“感性直觀、理性直觀、思維直觀”三層次水平逐步上升發(fā)展的。也有人認(rèn)為是“直接經(jīng)驗(yàn)——經(jīng)驗(yàn)的映象性表象——經(jīng)驗(yàn)的符號(hào)性表象”發(fā)展的。數(shù)學(xué)情境可分為操作情境、現(xiàn)實(shí)情境、問題情境、思維情境四類。

實(shí)施“情境中建構(gòu)”的原則要注意什么呢？

1. 操作情境要和數(shù)學(xué)化活動(dòng)結(jié)合，拓展操作情境的深度

單純的操作就是機(jī)械勞動(dòng)。操作只有和數(shù)學(xué)思想方法（抽象、推理、建模）聯(lián)系起來的操作才是有數(shù)學(xué)味的，才是有價(jià)值的。如運(yùn)用畫圖分析的操作活動(dòng)解決題目：有3只猴子分1堆桃子，有1只猴子先平均分成3份，結(jié)果多了1個(gè)，就將多的這個(gè)吃了，拿走其中的1份。第2只猴子剩下的桃子又平均分成3份，發(fā)現(xiàn)也多了1個(gè)，同樣吃了這1個(gè)，并拿走其中的1份。第3只猴子也這樣把剩下的分成3份多了一個(gè)，吃掉多的一個(gè)并拿走一份。問這3只猴子至少摘了多少個(gè)桃子？把操作和數(shù)學(xué)思想方法（列舉、圖表法、具體化）結(jié)合起來，積累有價(jià)值的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。教師然后在操作基礎(chǔ)上，根據(jù)題目的意思，引入數(shù)字進(jìn)行嘗試，其中還用到了整除性。然后追問，我們能引進(jìn)字母表示這個(gè)過程嗎？得到9x+54或4x-1927，探討x取什么整數(shù)時(shí)，算式的值是整數(shù)。在操作基礎(chǔ)上形式化、符號(hào)化、數(shù)學(xué)化，經(jīng)歷一個(gè)感性到理性的完整的過程，給操作賦予新的價(jià)值。

2. 現(xiàn)實(shí)情境要有數(shù)學(xué)化和教學(xué)化雙重價(jià)值，提升現(xiàn)實(shí)情境的高度

課程改革強(qiáng)調(diào)創(chuàng)設(shè)必要的現(xiàn)實(shí)情境來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出“課程內(nèi)容的選擇要貼近學(xué)生的實(shí)際，有利于學(xué)生體驗(yàn)與理解、思考與探索”。有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能止步于現(xiàn)實(shí)情境的創(chuàng)設(shè)，還必須引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)同現(xiàn)實(shí)情境，通過觀察、比較、分析、抽象、概括等數(shù)學(xué)活動(dòng)，實(shí)現(xiàn)必要的“數(shù)學(xué)化”，最終促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容及其實(shí)質(zhì)的理解，發(fā)展相應(yīng)的數(shù)學(xué)思考，實(shí)現(xiàn)其數(shù)學(xué)價(jià)值。現(xiàn)實(shí)情境只是教學(xué)學(xué)習(xí)得以展開背景和素材，數(shù)學(xué)內(nèi)涵是數(shù)學(xué)情境內(nèi)在的靈魂。如果我們的數(shù)學(xué)教學(xué)始終停留于現(xiàn)實(shí)情境中，缺乏對(duì)現(xiàn)實(shí)情境中非數(shù)學(xué)內(nèi)容、非數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的剝離性剔除，繼而缺乏對(duì)現(xiàn)實(shí)情境中所蘊(yùn)涵著的數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)模型的分析和抽象，那么就缺失了“教學(xué)化”過程，顯然無法真正幫助學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)核的把握與建構(gòu)。

3. 問題情境要符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，提高問題情境的效度

數(shù)學(xué)問題情境包括“問題”和“情境”整合，不能簡單地把問題情境理解為生活情境，還包括數(shù)學(xué)內(nèi)部的數(shù)學(xué)情境，如數(shù)學(xué)問題、習(xí)題等形成的問題情境，初中數(shù)學(xué)創(chuàng)設(shè)純粹的生活情境是低效甚至無效的，也讓學(xué)生覺得小兒科。因此，要注意三點(diǎn)。第一，要指向?qū)W生最近智力發(fā)展區(qū)。要立足于學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)水平，能夠引起認(rèn)知沖突，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，能夠發(fā)展學(xué)生的知識(shí)能力以及思維結(jié)構(gòu)。第二，問題情境要具有直觀性。初中學(xué)生數(shù)學(xué)思維處在從感性直觀向理性直觀、初步形成思維直觀、以理性直觀為主的發(fā)展階段，需要學(xué)生借助“表象直觀、操作直觀、符號(hào)直觀、形式直觀、規(guī)律直觀、模式直觀”，進(jìn)行直觀聯(lián)想、猜想、表達(dá)、證明、推理、遷移運(yùn)用，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)思想方法，達(dá)到思維直觀。第三，問題情境要具有典型性?？勺兪?、可復(fù)制、可遷移數(shù)學(xué)情境才是具有典型性的問題情境。

4. 思維情境要在變化中統(tǒng)一，提高思維情境的廣度

學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行思考、抽象、推理、建模時(shí)的數(shù)學(xué)情境就是思維情境。思維情境重在變化中統(tǒng)一，在多種變化的數(shù)學(xué)情境中，多種解決方法中，思考、探究、發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)。在數(shù)學(xué)上就是要“變式”，變式就是不斷改變問題的組合形式，但保持本質(zhì)屬性不變。變式的活動(dòng)過程，就是思維整合的過程，使抽象的數(shù)學(xué)充滿靈活性和趣味性，同時(shí)學(xué)生在思維活動(dòng)中提高了思維的廣度，提高了數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)建構(gòu)的質(zhì)量。

二、 活動(dòng)過程中建構(gòu)

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)就是在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得的經(jīng)驗(yàn)。所以要讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察操作聯(lián)想、歸納猜測、表達(dá)、驗(yàn)證或證明、遷移類比應(yīng)用、反思與建構(gòu)”等數(shù)學(xué)基本活動(dòng)過程，建構(gòu)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，由此提出了“活動(dòng)過程中建構(gòu)”數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的方法論教學(xué)原則，也與新課程標(biāo)準(zhǔn)中“過程與方法并重”的基本原則相吻合。

學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的獲得是一個(gè)“遞進(jìn)”過程，“經(jīng)驗(yàn)之塔”理論關(guān)于學(xué)生經(jīng)驗(yàn)發(fā)展的抽象性逐漸升級(jí)的層次結(jié)構(gòu)說明學(xué)生經(jīng)驗(yàn)的獲得是一個(gè)“遞進(jìn)”過程，即“直接經(jīng)驗(yàn)——經(jīng)驗(yàn)的映象性表象——經(jīng)驗(yàn)的符號(hào)性表象”的過程，如圖。相應(yīng)地，教師提供的數(shù)學(xué)活動(dòng)任務(wù)以及蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)活動(dòng)任務(wù)的情境也應(yīng)該按照從具體到抽象、從實(shí)物到映象、從感官參與到思維對(duì)符號(hào)的參與轉(zhuǎn)化的層級(jí)演變的邏輯順序呈現(xiàn)。這和本課題的“觀察操作聯(lián)想、歸納猜測、表達(dá)、驗(yàn)證或證明、遷移類比應(yīng)用、反思與建構(gòu)”活動(dòng)過程不謀而合，與活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的“感性直觀、理性直觀、思維直觀”三層次水平不謀而合。

實(shí)施“活動(dòng)過程中建構(gòu)”的原則要注意什么呢？

1. 找準(zhǔn)數(shù)學(xué)活動(dòng)的現(xiàn)實(shí)背景；2. 設(shè)計(jì)活動(dòng)要聚焦思維核心素養(yǎng)；3. 實(shí)施活動(dòng)中用“追問”升華數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；4. 實(shí)施活動(dòng)中要“五動(dòng)”建構(gòu)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)；5. 要以思維為核心建構(gòu)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

三、 數(shù)學(xué)的建構(gòu)

數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的建構(gòu)必須符合數(shù)學(xué)規(guī)律、體系、學(xué)科特點(diǎn)，因此提出了“數(shù)學(xué)的建構(gòu)”的方法論基本原則。數(shù)學(xué)的建構(gòu)，是指按照“現(xiàn)實(shí)→數(shù)學(xué)→現(xiàn)實(shí)”的過程，用抽象、推理、建模的數(shù)學(xué)思想方法，建構(gòu)實(shí)踐活動(dòng)和思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維分析世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界，用數(shù)學(xué)的方法改造世界的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

實(shí)施“數(shù)學(xué)的建構(gòu)”的原則要注意什么呢？

1. 要讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，積累數(shù)學(xué)化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)知識(shí)是現(xiàn)實(shí)生活原型經(jīng)過抽象后符號(hào)化所獲得的，在現(xiàn)實(shí)生活的直接經(jīng)驗(yàn)上將實(shí)際問題進(jìn)行抽象，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，用前人已經(jīng)探究、積累并總結(jié)的間接經(jīng)驗(yàn)解決問題，從而積累猜想、抽象、表達(dá)、驗(yàn)證、推理、建模、遷移、類比、運(yùn)用、反思等數(shù)學(xué)化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。在類似情景發(fā)生時(shí)，自覺地將現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)化，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題解決，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)化活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的自主化、個(gè)性化積累。

2. 要形成數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，積累數(shù)學(xué)化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)知識(shí)體系中很多知識(shí)之間存在相關(guān)性或相似性，要在觀察聯(lián)想、分類、表達(dá)、猜想、歸納、推理、遷移類比應(yīng)用等活動(dòng)中讓新知識(shí)和已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)生聯(lián)系，指向最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生經(jīng)歷“同化、順應(yīng)、平衡”的過程，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，積累數(shù)學(xué)化的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

四、 有意義的建構(gòu)

有意義的建構(gòu)包括兩個(gè)方面，一是讓新知識(shí)和學(xué)生已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)發(fā)生聯(lián)系，指向最近發(fā)展區(qū)，學(xué)生經(jīng)歷“同化、順應(yīng)、平衡”的過程，讓學(xué)生自主地建構(gòu)知識(shí)結(jié)構(gòu)體系，進(jìn)行有意義的學(xué)習(xí)活動(dòng)，建構(gòu)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。二是指要立足現(xiàn)實(shí)生活，建構(gòu)對(duì)人的終身發(fā)展有意義的數(shù)學(xué)知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)、能力、思想方法，學(xué)有意義的數(shù)學(xué)。因此提出了“有意義的建構(gòu)”的方法論的基本原則。

實(shí)施“有意義的建構(gòu)”的原則要注意什么呢？

1. 通過賦予數(shù)學(xué)知識(shí)意義來實(shí)現(xiàn)有意義的建構(gòu)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)過程，就是建構(gòu)和賦予知識(shí)意義的過程，也是積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過程。中學(xué)數(shù)學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)知識(shí)意義的賦予。一方面聯(lián)系學(xué)生現(xiàn)實(shí)生活經(jīng)驗(yàn)，從生活經(jīng)驗(yàn)中賦予數(shù)學(xué)知識(shí)意義。如，從向東向西走的過程中，我們往往更關(guān)注的是距離，體會(huì)絕對(duì)值的現(xiàn)實(shí)意義。另一方面要聯(lián)系學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、思維經(jīng)驗(yàn)等認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，賦予數(shù)學(xué)知識(shí)意義，有意義的建構(gòu)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。如全等三角形證明辦法，在學(xué)習(xí)“三邊相等，三角相等”這一性質(zhì)后，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生參與比較、探究、歸納、類比活動(dòng)，獲得“三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（SSS）、兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（SAS）、兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（ASA）、兩角分別相等且其中一組等角的對(duì)邊相等的兩個(gè)三角形全等（AAS）、斜邊和一條直角邊分別相等的兩個(gè)直角三角形全等（HL）”五種證明方法的理性經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展和完善了學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，對(duì)學(xué)生是有意義的建構(gòu)。

2. 精心設(shè)計(jì)“組織者”，促進(jìn)有意義的建構(gòu)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

設(shè)計(jì)“組織者”的目的是“已經(jīng)知道的”和“需要知道的”知識(shí)之間架起橋梁紐帶。精心設(shè)計(jì)“組織者”有助于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，有助于實(shí)現(xiàn)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的有意義的建構(gòu)。一是要充分了解學(xué)生“知識(shí)、技能、思想、經(jīng)驗(yàn)”的基礎(chǔ)，是開展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的起點(diǎn)。二是要研究新內(nèi)容與舊內(nèi)容之間的關(guān)系，有上位關(guān)系、下位關(guān)系、并列關(guān)系，充分利用這種關(guān)系設(shè)計(jì)“組織者”，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)活動(dòng)。

3. 多種方式激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)實(shí)現(xiàn)有意義的建構(gòu)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

增強(qiáng)認(rèn)知驅(qū)力、自我內(nèi)驅(qū)力、附屬驅(qū)力三種成就動(dòng)機(jī)，能夠促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。首先要挖掘知識(shí)對(duì)于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展的積極意義，把握關(guān)鍵點(diǎn)，在解決現(xiàn)實(shí)問題中、在認(rèn)知沖突中促使學(xué)生產(chǎn)生認(rèn)知驅(qū)力。其次要在問題解決中、觀察操作聯(lián)想中、表達(dá)中、猜想驗(yàn)證中、遷移類比應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)自我價(jià)值和表現(xiàn)自我，獲得成功的體驗(yàn)，激發(fā)學(xué)生增強(qiáng)自我內(nèi)驅(qū)力。

4. 選擇適合數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)方式促進(jìn)有意義的建構(gòu)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)知識(shí)的特征決定了學(xué)習(xí)活動(dòng)的方式。適合操作的可通過操作學(xué)習(xí)，適合探究的可通過觀察、聯(lián)想、表達(dá)、猜想、驗(yàn)證、遷移類比應(yīng)用等探究活動(dòng)學(xué)習(xí)，在遵循學(xué)科規(guī)律的基礎(chǔ)上有意義的建構(gòu)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

五、 超越活動(dòng)過程的建構(gòu)

而經(jīng)歷數(shù)學(xué)基本活動(dòng)過程建構(gòu)數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并不只重過程，也重結(jié)果，關(guān)注學(xué)生在活動(dòng)過程中所獲的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)、能力、思維模式、思想方法，關(guān)注學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)，因此從終身發(fā)展的宏觀角度、培養(yǎng)核心素養(yǎng)的高度，提出了“超越活動(dòng)過程的建構(gòu)”的課堂教學(xué)方法論基本原則。

實(shí)施“超越活動(dòng)過程的建構(gòu)”的原則要注意什么呢？

1. 要充分挖掘知識(shí)與活動(dòng)過程的育人價(jià)值

很多教師往往單純從學(xué)科角度設(shè)計(jì)活動(dòng)過程，沒有看到知識(shí)背后對(duì)人的教育價(jià)值，對(duì)活動(dòng)過程注重經(jīng)歷觀察、聯(lián)想、表達(dá)、猜想、驗(yàn)證、遷移類比應(yīng)用等探究活動(dòng)發(fā)展認(rèn)知結(jié)構(gòu)、思維能力。但數(shù)學(xué)活動(dòng)要能促進(jìn)學(xué)生“認(rèn)知、交往、自我認(rèn)識(shí)”三方面發(fā)展，才是高效優(yōu)質(zhì)的教學(xué)活動(dòng)。因此要超越活動(dòng)過程，以人的終身發(fā)展、持續(xù)發(fā)展為最高價(jià)值取向，設(shè)計(jì)和實(shí)施學(xué)習(xí)活動(dòng)，建構(gòu)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2. 要實(shí)踐生本課堂，從“知識(shí)中心”“能力中心”轉(zhuǎn)向“人本中心”

施良方等認(rèn)為課堂教學(xué)原理是“先生責(zé)任不在教，而在教學(xué)，教學(xué)生學(xué)”“教是為了不需要教”；郭思樂認(rèn)為“學(xué)生是教學(xué)過程的終端，是教育的主體”“一切為了兒童，高度尊重兒童，全面依靠兒童”。一些學(xué)校提出的有效課堂、高效課堂、和諧課堂、生態(tài)課堂等課堂概念，以洋思模式為代表，提供了“先學(xué)后教、以評(píng)促學(xué)”的范例，但綜觀種種課堂模式，雖然將傳統(tǒng)的“先教后學(xué)”變?yōu)椤跋葘W(xué)后評(píng)”，卻依然未能走出“在教師誘導(dǎo)下亦步亦趨‘入套學(xué)習(xí)”的路子”。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)過程不是教育追求的終極目標(biāo)，要超越活動(dòng)過程，以人為本，建構(gòu)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

總之，我們的數(shù)學(xué)課堂要注意恰當(dāng)?shù)脑O(shè)置情景、適當(dāng)?shù)脑O(shè)置活動(dòng)，讓學(xué)生符合數(shù)學(xué)規(guī)律的、與學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的建構(gòu)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，要關(guān)注學(xué)生在活動(dòng)過程中思維模式的形成，從而培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，為學(xué)生的終身發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

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作者簡介：

楊赟，劉玉，重慶市，重慶市兩江育才中學(xué)校。