空間軌道交會非線性優(yōu)化方法研究

周新耀，陶勇鵬，曾 亮，周 亮

(上海機電工程研究所，上海 201109)

0 引言

航天技術(shù)的發(fā)展，以人造衛(wèi)星進入太空為起始點，迄今50年來取得長足的進步。在第一顆人造衛(wèi)星成功發(fā)射后，各國就發(fā)現(xiàn)它在軍事中的巨大潛力，早在20世紀60年代美國總統(tǒng)肯尼迪就說過：誰掌握了太空，誰就能更有效地控制地球。美、俄等超級大國更是不遺余力地進行著空間飛行器的研究，不斷搶占太空資源，力圖掌握絕對的制天權(quán)。

空間資源爭奪的形勢日趨嚴峻，必然促進各種空間飛行器的發(fā)展，隨著空間格局的變化，空間交會越來越受到各國的重視。交會過程燃料消耗的多少很大程度上決定了交會任務(wù)是否能夠圓滿完成，因此交會軌道的優(yōu)化和控制具有重要的意義[1]。

目前沖量交會基本都是基于Lambert問題[1-2]和基于微分修正法[3]的單脈沖交會，而Lambert問題是以中心引力體為模型，沒有考慮引力攝動因素，存在一定的誤差。單脈沖交會不存在優(yōu)化問題，但進行遠距離交會時消耗燃料太多。因此采用優(yōu)化后的多脈沖交會，可以有效地節(jié)省燃料和時間[4-11]。

本文在考慮地球扁率J2攝動影響的情況下，采用非線性規(guī)劃方法對于遠距離情況求解多沖量最優(yōu)空間交會問題，避開了求解兩點邊值問題的復(fù)雜數(shù)學(xué)計算，很方便地得到多沖量交會的最優(yōu)解。在建立普遍適用的空間飛行器數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，通過迭代算法估算交會時間從而確定預(yù)定交會點，進而按照時間、能量以及末端約束條件，建立了用于求解多脈沖最優(yōu)交會的非線性規(guī)劃模型；實現(xiàn)對雙脈沖固定時間交會軌道進行優(yōu)化設(shè)計，進而得到最優(yōu)速度增量的大小、方向和作用時間，但實際過程中，飛行器推力系統(tǒng)并不能提供一個瞬時速度增量，因此采用速度增益導(dǎo)引方法，實現(xiàn)交會軌道優(yōu)化方案[12-14]。最后通過數(shù)學(xué)仿真試驗證明了該方法的有效性。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

定義地心赤道慣性坐標系(O-xiyizi)，坐標系原點O在地球中心，平面xiyi和地球赤道平面重合，xi軸指向春分點，zi軸沿著地球旋轉(zhuǎn)軸(即垂直于赤道平面)，指向北極。yi軸與xi軸、zi軸構(gòu)成右手直角坐標系[9]。

在地心赤道慣性坐標系中，考慮地球扁平J2攝動作用的情況下，航天器運行軌道方程為

(1)

式中:r為航天器地心距矢量;r為r的模;v為航天器速度矢量;f為地球J2攝動加速度;μ=3.986×105km3/s2為地球引力常數(shù)。a為發(fā)動機推力的加速度矢量；f在地心慣性坐標系中的分量為

(2)

式中:x、y、z為航天器在地心慣性坐標系中的坐標;J2=1.082 64×10-3為地球引力勢的二階帶諧系數(shù)；Re=6 378.14 km為地球半徑。

(3)

2 預(yù)測交會點確定

為了達到交會的目的，必須先在目標航天器運行軌道上找到一個合適的預(yù)測交會點，預(yù)測交會點是有條件的，并不是目標將運行到的任何一點都能作為預(yù)測交會點。理論上，在運行時間確定后，空間的兩點間總能找到一條軌道。但預(yù)測交會點的選取必須合理，否則得到的變軌速度增量將超過實際許可，交會無法進行；或者交會軌道不合理，穿過地球表面等[4]。實際上，在交會航天器與目標航天器軌道為近圓的條件下，確定預(yù)測交會點的主要思想是：估算交會航天器和目標航天器運行到預(yù)測交會點的時間，如果兩者能夠大致相等，則此預(yù)測交會點是可取的。具體方法如圖1所示[5]。

圖1 預(yù)測交會點確定Fig.1 Determination of predictive interception point

已知一條空間軌道上的兩點r1,r2,則兩點之間的運行時間估算公式為

(4)

(5)

初始條件給定了此刻的交會航天器和目標航天器的位置(分別為r1和r)和速度矢量。先利用數(shù)值方法對目標進行某個步長的軌道遞推，得到目標的一個步長后的位置矢量，設(shè)為r2,再利用剛才的方法分別估算交會航天器和目標航天器從初始位置運行到此位置矢量的大致時間，設(shè)為Δt1,Δt2。如此重復(fù)，直到|1-Δt1/Δt2|<ε，便可得到預(yù)測交會點，它可保證比較容易地實現(xiàn)交會航天器與目標航天器同時到達此位置。當(dāng)然，在遞推過程中，必須對遞推步數(shù)作個限制，一般將目標航天器的遞推限制在一個周期內(nèi)，如在此之內(nèi)|1-Δt1/Δt2|一直大于ε，則認為當(dāng)前的初始條件不能進行交會。

3 遠距離交會軌道優(yōu)化

3.1 最優(yōu)交會的非線性規(guī)劃模型

首先對航天器多脈沖交會軌道進行非線性規(guī)劃，規(guī)劃過程中的約束條件如下：

1) 運動狀態(tài)約束

飛行器在脈沖施加點按照式(1)的規(guī)律運行。以x表示飛行器的狀態(tài)矢量(3個位置和3個速度矢量)，令式(1)為Φ(x,t)，則在脈沖施加點間(包括最后一次脈沖施加點和交會點間)飛行器的運動狀態(tài)約束為

(6)

2) 時間約束

當(dāng)交會時間確定后，交會過程中的n次脈沖作用的時刻ti(i=1,2,…,n)應(yīng)在初始時刻t0和末端時刻tf之間。即滿足

t0≤t1

(7)

3) 能量約束

飛行器所攜帶的燃料有限，能夠提供的速度增量有一定的限制，設(shè)能提供的最大速度增量為Δvmax，則交會過程中施加的速度增量要滿足

Δvtotal≤Δvmax

(8)

式中:Δvtotal為n次速度增量總和，表示為

(9)

4) 末端狀態(tài)約束

設(shè)在交會點處飛行器和目標航天器的位置矢量分別為rIp和rtp，速度矢量分別為vIp和vtp。要保證飛行器最后要命中目標，需要滿足

(10)

5) 性能指標

選取能量消耗最少作為性能指標，則性能指標為

J=min(Δvmax)

(11)

綜合以上約束，非線性規(guī)劃模型可表示為

(12)

3.2 非線性規(guī)劃算法

如果目標函數(shù)中或者約束條件中至少有一個是非線性函數(shù)，則最優(yōu)化問題就叫做非線性規(guī)劃問題。它的一般形式為

式中：X=(x1,x2,…,xn)∈Rn；f，gi，hj是定義在Rn上的實值函數(shù)。

一般來說，解非線性規(guī)劃問題要比求解線性規(guī)劃問題困難得多，而且也不像線性規(guī)劃那樣有統(tǒng)一的數(shù)學(xué)模型及如單純形遺傳法這一通用解法[6]。非線性規(guī)劃的各種算法都有自己特定適用范圍。都有一定的局限性，到目前為止還沒有適合于各種非線性規(guī)劃問題的一般算法[13]。通常求解非線性規(guī)劃問題的方法有罰函數(shù)法和近似規(guī)劃法[8]。本文采用近似規(guī)劃法進行求解:

式中：Δvmax為發(fā)動機能提供的最大速度增量，為一常值。h(X)=rIp-rtp。以雙脈沖為例X為第一次施加的速度增量和第二次施加的速度增量及其作用時間，為7個量。

具體迭代算法如下：

1) 給定初始可行點X1={(x1)1,(x2)1,…,(xn)1}，步長限制為(δj)1(j=1,2,…,n)，步長縮小系數(shù)β∈(0,1)，取0.5。允許誤差ε>0，取1×10-6,令k=1。

2) 在點Xk處，將f(X)，g(X)，h(X)按泰勒級數(shù)展開并取一階近似，得到近似線性規(guī)劃問題

(14)

3) 在上述近似線性規(guī)劃問題的基礎(chǔ)上增加一組限制步長的線性約束條件，因為線性近似通常只在展開點附近近似程度較高，故需要對變量的取值范圍加以限制，所以增量的約束條件為

(15)

求解該線性規(guī)劃問題，得到最優(yōu)解Xk+1。

4) 檢驗Xk+1對原約束是否可行，若Xk+1對原約束可行，則轉(zhuǎn)化為步驟5)；否則，縮小步長限制，令

(δj)k=β(δj)k(j=1,2,…，n)

(16)

返回步驟3)，重新解算當(dāng)前的線性規(guī)劃問題。

5) 判斷精度：若(δj)k<ε(j=1,2,…，n)，則點Xk+1為近似最優(yōu)解；否則令(δj)k+1=(δj)k(j=1,2,…，n)，k=k+1，返回步驟2)。

根據(jù)上述最優(yōu)軌道優(yōu)化算法，可以得出雙脈沖最優(yōu)點火時刻t1、t2以及該時刻所需要的速度增量Δv1、Δv2；但實際過程中，飛行器的推力系統(tǒng)并不能夠提供一個瞬時速度增量，而是通過速度增益導(dǎo)引方法來實現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移[10-12]，如圖2所示。

圖2 非線性最優(yōu)交會軌跡Fig.2 Optimal interception trajectory of nonlinearity

4 仿真計算分析

交會航天器包括平臺和載荷，其中載荷從平臺發(fā)射，自主變軌完成與目標的交會。設(shè)交會時間為12 000 s，載荷所能提供的最大速度增量為2.0 km/s。初始時刻平臺與目標航天器的參數(shù)如表1所示，目標星為中軌衛(wèi)星，軌道高度16 000 km，三個軌道面參數(shù)如表1所示。

表1 軌道運行狀態(tài)

由表2、表3和圖3、圖4對比，可以看出，采用Lambert方法所得的結(jié)果脫靶量較大，同時消耗燃料較多，而本文采取的非線性規(guī)劃方法，不僅速度增量減少了0.08 km/s，而且精度達到85.6 m，遠優(yōu)于Lambert的位置精度18 368 m，如圖5所示。

表2 雙脈沖最優(yōu)交會結(jié)果

表3 Lambert交會結(jié)果

圖3 非線性規(guī)劃彈目相對距離曲線Fig.3 Relative distance curve of missile-target based on nonlinear programming

圖4 Lambert彈目相對距離變化曲線Fig.4 Relative distance curve of missile-target based on Lambert

圖5 Lambert交會軌跡Fig.5 Interception trajectory of Lambert

5 結(jié)束語

本文對空間軌道的遠距離交會進行了研究，通過迭代算法對預(yù)測交會點進行可行性預(yù)估，進而選取能量消耗和末端精度為控制變量，將軌道交會問題轉(zhuǎn)化為最優(yōu)控制問題，采用非線性規(guī)劃的方法對軌道離散化后所轉(zhuǎn)化的非線性問題進行求解，最終得到最優(yōu)交會軌道。相比于傳統(tǒng)的軌道優(yōu)化設(shè)計，本文將時間、能量以及末端位置、速度狀態(tài)變量同時引入約束中，在節(jié)省能量的前提下，保證了交會的速度需求，極大地提高了末端交會的控制精度。

非線性規(guī)劃是解決最優(yōu)控制問題的一種有效方法，可以滿足控制中的各項約束，而且在求解過程中避免了復(fù)雜的計算[13]。通過仿真可以看出，本文所采用的非線性規(guī)劃策略大大提高了交會的控制精度，同時當(dāng)飛行時間較長時，單脈沖交會軌跡不再為最優(yōu)軌跡，在交會時間固定的前提下，非線性規(guī)劃得出的雙脈沖策略相比傳統(tǒng)Lambert軌道設(shè)計可有效降低速度增量，減小發(fā)動機燃料消耗。不過非線性規(guī)劃只是一種局部優(yōu)化方法，不能得到全局最優(yōu)解，并且隨著脈沖次數(shù)的增加，計算量較大，因此，如何在本文的研究基礎(chǔ)上，進一步對優(yōu)化算法進行改進，從而更加充分地利用有限燃料，提高對目標的交會精度將是今后需要研究的內(nèi)容。

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