一種基于SGCMG的欠驅(qū)動(dòng)姿態(tài)控制方法

劉美師,吳敬玉,王文妍,楊盛慶,謝任遠(yuǎn)

(上海航天控制技術(shù)研究所，上海 201109)

0 引言

隨著衛(wèi)星趨于大型化發(fā)展，控制力矩陀螺(CMG)因其具有輸出力矩大、控制效率高等優(yōu)點(diǎn)常被選為執(zhí)行機(jī)構(gòu)。若衛(wèi)星的控制系統(tǒng)中只剩兩個(gè)單框架控制力矩陀螺(SGCMG)可以使用，則控制系統(tǒng)輸入維數(shù)少于輸出維數(shù)，稱為欠驅(qū)動(dòng)姿態(tài)控制[1]。欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星的姿態(tài)控制系統(tǒng)處于一種非完整配置狀態(tài)，是一種不可積分約束的非線性系統(tǒng)[2]。欠驅(qū)動(dòng)姿態(tài)控制可以在衛(wèi)星的部分執(zhí)行機(jī)構(gòu)失效時(shí)維持基本姿態(tài)，還能減輕整個(gè)控制系統(tǒng)的功耗、質(zhì)量、體積。傳統(tǒng)的線性控制方法及現(xiàn)代控制理論不能直接應(yīng)用于欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題。

欠驅(qū)動(dòng)控制主要有四類，分別為間斷反饋控制、時(shí)變穩(wěn)定控制、混合控制、最優(yōu)控制。反饋控制通過進(jìn)行非奇異坐標(biāo)變換來解決非線性問題，主要應(yīng)用于原系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的情況；時(shí)變穩(wěn)定控制法通過參數(shù)在一定范圍內(nèi)變化來實(shí)現(xiàn)控制系統(tǒng)的收斂，應(yīng)用于系統(tǒng)參數(shù)實(shí)時(shí)可測(cè)的情況；混合控制法結(jié)合多種線性控制，通過控制器的切換來實(shí)現(xiàn)對(duì)穩(wěn)健性要求不高的系統(tǒng)的控制；最優(yōu)控制法通過構(gòu)建一個(gè)特定的性能指標(biāo)，對(duì)這個(gè)指標(biāo)求極值來求解控制器，主要應(yīng)用于非線性較弱的系統(tǒng)[3-7]。而欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制主要有兩大類，即間斷定系數(shù)狀態(tài)反饋控制和連續(xù)時(shí)變狀態(tài)反饋控制[8-9]。國內(nèi)外對(duì)CMG的研究主要針對(duì)CMG的奇異問題，集中在操縱律設(shè)計(jì)上[10-13]。關(guān)于欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星最早的理論研究可以追溯到1984年，Crouch等基于微分幾何理論分別針對(duì)剛體衛(wèi)星在有一、二、三個(gè)獨(dú)立控制輸入力矩的情況下，給出了衛(wèi)星能控的充要條件[14]。并證明如果欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星是非軸對(duì)稱的，則衛(wèi)星在平衡點(diǎn)都是局部能控的。對(duì)于欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星要實(shí)現(xiàn)其在兩個(gè)給定姿態(tài)之間進(jìn)行機(jī)動(dòng)，通常有兩種方式：基于最優(yōu)控制策略的軌跡規(guī)劃算法或基于衛(wèi)星特殊特性(微分平滑、微分包含等)的軌跡規(guī)劃算法[15]。

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星的姿態(tài)控制問題，在失控軸方向上無對(duì)應(yīng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)提供控制力矩，只能通過其余兩軸上執(zhí)行機(jī)構(gòu)的耦合影響來實(shí)現(xiàn)控制，因此較難處理的就是失控軸角速度分量對(duì)衛(wèi)星姿態(tài)的影響。SGCMG只能提供單自由度的控制力矩，通常構(gòu)成一定構(gòu)型如五棱錐構(gòu)型、金字塔構(gòu)型、雙平行構(gòu)型等。前人對(duì)SGCMG的研究集中在組成特定構(gòu)型后如何避免奇異問題，而未考慮只剩兩個(gè)SGCMG可用的欠驅(qū)動(dòng)控制情況。戈新生[16]以兩個(gè)飛輪為執(zhí)行機(jī)構(gòu)，并在整星零動(dòng)量條件下通過最優(yōu)控制方法和Ritz近似理論，得到以兩個(gè)動(dòng)量飛輪為執(zhí)行機(jī)構(gòu)的欠驅(qū)動(dòng)控制律。SGCMG較飛輪有更強(qiáng)的控制力矩輸出能力，能實(shí)現(xiàn)對(duì)更惡劣工況的控制，但需要增加操縱律設(shè)計(jì)來解決SGCMG帶來的奇異問題。本文通過欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制律和SGCMG操縱律的設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了使用SGCMG的欠驅(qū)動(dòng)控制。其中控制律決定如何用兩維控制力矩控制三軸姿態(tài)，操縱律決定如何用兩個(gè)SGCMG提供兩維控制力矩。

1 數(shù)學(xué)模型的建立

假設(shè)研究對(duì)象為剛體衛(wèi)星，由歐拉方程導(dǎo)出姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程，并建立用四元數(shù)描述的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程。

1.1 衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

定義衛(wèi)星本體坐標(biāo)系的三個(gè)軸，分別沿其主慣量軸方向。剛體衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

(2)

定義中間變量

(3)

則動(dòng)力學(xué)方程可以簡(jiǎn)化為

(4)

式(4)為z軸欠驅(qū)動(dòng)時(shí)衛(wèi)星的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型，其中u1和u2為控制器的輸入變量，c3為常數(shù)。

1.2 衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型

設(shè)q是把參考系轉(zhuǎn)動(dòng)到星體系時(shí)對(duì)應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)四元數(shù)，則衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(5)

四元數(shù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程不涉及三角函數(shù)，無奇點(diǎn)，且滿足歸一化約束條件。

2 控制器設(shè)計(jì)

根據(jù)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程，首先設(shè)計(jì)一個(gè)能實(shí)現(xiàn)姿態(tài)動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)穩(wěn)定的控制律，將衛(wèi)星的角速度控制為零，使失控軸的角速度不會(huì)對(duì)姿態(tài)角產(chǎn)生影響；然后在失控軸的角速度分量已經(jīng)收斂到零后，采用反步法對(duì)姿態(tài)角控制律進(jìn)行設(shè)計(jì)；最后由SGCMG力矩方程導(dǎo)出兩個(gè)SGCMG的操縱律。結(jié)合姿態(tài)穩(wěn)定控制律和SGCMG操縱律，能夠?qū)崿F(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制。

2.1 角速度控制律

為了剝離ωx和ωy對(duì)ωz的耦合影響，對(duì)動(dòng)力學(xué)方程(4)中的第三式求導(dǎo),可得到失控軸角速度分量的二階導(dǎo)數(shù)

(6)

(7)

結(jié)合式(4)、(6)、(7)求出控制律形式如下

(8)

式中：k1d，k1p為控制器參數(shù)；ε為一個(gè)用于避免奇異的小參數(shù)。

2.2 姿態(tài)角控制律

反步法的核心在于設(shè)計(jì)合適的中間控制律，控制系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)三軸角速度的穩(wěn)定后，反步法設(shè)計(jì)出的控制器只需實(shí)現(xiàn)四元數(shù)的收斂，這個(gè)控制器作用過程中角速度的變化直接決定四元數(shù)的變化，因此要設(shè)計(jì)一個(gè)合適的角速度中間控制律。

假設(shè)在角速度中間控制律的作用下姿態(tài)四元數(shù)q1、q2的目標(biāo)收斂形式為

(9)

代入姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(5)中可解得角速度中間控制律為

式中：k>0為控制器參數(shù)；E2和H為參數(shù)矩陣

(11)

欠驅(qū)動(dòng)軸角速度ωz是一個(gè)接近于零的小量，對(duì)式(9)進(jìn)行修正，并引入耦合參數(shù)β，有

(12)

則角速度中間控制律式(10)調(diào)整為

由式(12)可知在ωz為小量的前提下，如果β收斂到零，則q1和q2收斂到零。令q3的收斂形式為

(14)

q3的收斂通過調(diào)節(jié)參數(shù)β的大小來實(shí)現(xiàn)。結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)方程(5)、角速度中間控制律式(13)和q3收斂形式式(14)可以求出包含耦合項(xiàng)的參數(shù)

(15)

式中：k3>0為反步法控制器的參數(shù)；e2>0是一個(gè)充分小的正數(shù)，可以使控制參數(shù)不會(huì)進(jìn)入奇異。參數(shù)β跟隨ωz的變化進(jìn)行收斂，q3也收斂。選擇合適的參數(shù)，可以使q3迅速收斂。在角速度跟蹤誤差消除之后，衛(wèi)星的角速度能跟隨所設(shè)計(jì)的角速度中間控制律的變化而變化。參數(shù)β保持單調(diào)變化，且最終收斂到零。

2.3 SGCMG操縱律

SGCMG操縱律是指根據(jù)控制器產(chǎn)生的指令力矩，解算出相應(yīng)的框架轉(zhuǎn)動(dòng)指令，驅(qū)動(dòng)電機(jī)使各個(gè)SGCMG的框架軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使得SGCMGs的總角動(dòng)量發(fā)生改變，從而提供需要的控制力矩。理想情況下操縱律可以使SGCMGs的輸出力矩和控制器產(chǎn)生的指令要求的控制力矩大小相等。

(16)

式中hw為單個(gè)SGCMG角動(dòng)量大小。對(duì)式(16)兩端進(jìn)行求導(dǎo)，得

(17)

(18)

由式(18)可得操縱律，即SGCMGs的框架角速度為

(19)

3 仿真結(jié)果與分析

圖1 控制器輸入Fig.1 Input of the controller

圖2 控制力矩Fig.2 Controlling torque

從圖1、圖2可以看出，控制量和控制力矩都是一個(gè)小量。從圖3可以看出，SGCMG框架角速度和轉(zhuǎn)動(dòng)的框架角也保持在初值的一個(gè)小的鄰域內(nèi)。從圖4可以看出，在狀態(tài)反饋非線性控制器的作用下，在仿真時(shí)間780 s后欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星角速度收斂到零。

圖3 SGCMG框架角速度Fig.3 Angular velocity of the SGCMG

圖4 星體角速度Fig.4 Angular velocity of the satellite

圖5 反步控制器作用下的控制力矩Fig.5 Controlling torque under with the back-stepping controller

圖6 反步控制器作用下的角速度中間控制律Fig.6 Angular velocity controlling law with the back-stepping controller

圖7 反步控制器作用下的姿態(tài)四元數(shù)Fig.7 Attitude quaternion with the back-stepping controller

圖8 反步控制器作用下的SGCMG框架角速度Fig.8 Angular velocity of the SGCMG with the back-stepping controller

4 結(jié)束語

針對(duì)基于SGCMGs的欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星，首先建立剛體衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型；根據(jù)動(dòng)力學(xué)方程設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器；根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程設(shè)計(jì)反步法控制器；再結(jié)合SGCMGs的操縱律實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)姿態(tài)控制。所提出的結(jié)合反步法控制器和SGCMGs操縱律的方法避免了使用SGCMGs控制過程中的奇異問題，實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星的姿態(tài)穩(wěn)定控制。本文設(shè)計(jì)的角速度中間控制律要求先將失控軸的角速度控制到零后再進(jìn)行下一步控制，對(duì)控制過程中的誤差信號(hào)無法有效抑制，故控制器魯棒性和實(shí)時(shí)性較差。后續(xù)對(duì)于存在干擾力矩、非零慣量積等情況，需要進(jìn)一步設(shè)計(jì)魯棒控制器。反步法設(shè)計(jì)過程中中間控制律的具體形式對(duì)控制效果影響較大，后續(xù)可以對(duì)不同形式的中間控制律進(jìn)行研究。文中只研究了SGCMGs平行安裝時(shí)的姿態(tài)控制，對(duì)于如何提高SGCMGs的角動(dòng)量利用率，以及非平行構(gòu)型SGCMGs情況下的操縱律設(shè)計(jì)，也可以進(jìn)行深入研究。

[1] 胡兵, 戈新生. 欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定的非線性控制[J]. 北京機(jī)械工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào), 2009, 24(1): 12-16.

[2] 莊宇飛. 帶有非完整約束的欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星控制方法研究[D]. 哈爾濱： 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2012: 2-14

[3] 金磊, 徐世杰. 帶有兩個(gè)飛輪的欠驅(qū)動(dòng)衛(wèi)星姿態(tài)穩(wěn)定控制研究[J]. 中國空間科學(xué)技術(shù), 2009, 29(2): 8-16.

[4] POPESCU M, DUMITRACHE A. Stabilization of feedback control and stabilizability optimal solution for nonlinear quadratic problems[J]. Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011, 16: 2319-2327.

[5] 牛瑞艷, 許午嘯, 劉金琨. 欠驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂滑?？刂婆c實(shí)驗(yàn)研究[J]. 儀器儀表學(xué)報(bào), 2016, 37(2): 348-355.

[6] 劉海穎, 王惠南, 陳志明, 等. 基于(w,z)參數(shù)化的欠驅(qū)動(dòng)微小衛(wèi)星姿態(tài)再定位控制[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào), 2008, 6(1): 14-18.

[7] 劉楊, 郭晨, 沈智鵬, 等. 欠驅(qū)動(dòng)船舶路徑跟蹤的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)穩(wěn)定自適應(yīng)控制[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2010, 27(2): 169-174.

[8] BROCKETT R W. Asymptotic stability and feedback stabilization[M]. Boston: Differential Geometric Control Theory, 1983: 181-191.

[9] XU R, ?zgüner ü. Sliding mode control of a class of underactuated systems[J]. Automatica, 2008, 44(1): 233-241.

[10] 張志方, 董文強(qiáng), 張錦江, 等. 控制力矩陀螺在天宮一號(hào)目標(biāo)飛行器姿態(tài)控制上的應(yīng)用[J]. 空間控制技術(shù)與應(yīng)用, 2011, 37(6): 52-59.

[11] 賈飛蕾, 徐偉, 李恒年. 采用變速控制力矩陀螺的航天器姿態(tài)跟蹤研究[J]. 空間科學(xué)學(xué)報(bào), 2012, 32(1): 106-112.

[12] KWON S, OKUBO H, SHIMOMURA T. Pointing control of spacecraft using two single-gimbal control moment gyros[R]. Proceedings of the 27th International Symposium on Space Technology and Science, 2009: 47-51.

[13] 何昱. 基于單框控制力矩陀螺的敏捷小衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制研究[D]. 哈爾濱: 哈爾濱工業(yè)大學(xué), 2011: 1-11.

[14] CROUEH P E. Satellite attitude control and stabilization: Application of geometric control theory to rigid body models[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1984, 29(4): 87-95.

[15] TSIOTEAS P, LUO J. Control of underactuated spacecraft with bounded inputs[J]. Automatica, 2000, 36(8): 1153-1169.

[16] 戈新生. 欠驅(qū)動(dòng)剛體衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃遺傳算法[J]. 動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào), 2004, 2(2): 53-57.