基于噪聲的非線性多智能體系統(tǒng)的均方一致性*

邱麗 過榴曉 劉佳

(江南大學(xué)理學(xué)院, 無錫 214122)

引言

近年來多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的合作與協(xié)調(diào)控制已成為眾多領(lǐng)域研究的熱點(diǎn),在無人航天[1],傳感器網(wǎng)絡(luò)[2],衛(wèi)星編隊(duì)[3,4],數(shù)據(jù)融合,多機(jī)械臂的協(xié)同裝備,以及魚群或鳥群的行動(dòng)方向[5,6],分布傳感器的濾波值[7]等眾多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用而引起的.文獻(xiàn)[8,9]對(duì)于多智能體網(wǎng)絡(luò)的基本問題進(jìn)行了綜述.另一方面,多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)往往受到環(huán)境不確定性導(dǎo)致通信延遲[10,11],使它很難及時(shí)準(zhǔn)確的獲得相鄰節(jié)點(diǎn)的信息.由于網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)模型的建立與真實(shí)結(jié)構(gòu)的差異[12,13]、環(huán)境的溫度與濕度等外部條件的變化,節(jié)點(diǎn)之間通信的各種不確定因素的影響,復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)中的隨機(jī)性因素是客觀存在的,而且隨機(jī)性因素對(duì)系統(tǒng)造成的影響是不可忽略的,因此造成的延遲通常是由有限的信號(hào)傳輸和記憶效應(yīng)所引起的.主體之間的信息通訊自然相應(yīng)與時(shí)滯效應(yīng)[14].具有延遲非線性的復(fù)雜多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的一致性問題引起越來越多的關(guān)注[15].在非線性系統(tǒng)的一致性控制控制研究中,更多借鑒線性的分析時(shí)所用的代數(shù)圖論[16],非負(fù)矩陣論[17]等工具來進(jìn)行研究.陳關(guān)榮[18]運(yùn)用這些工具介紹了帶有延遲方法采樣信息非線性多智能體網(wǎng)絡(luò)的控制問題.最近的工作,Huang和Manton[19]研究在切換拓?fù)浯嬖诨虿淮嬖诘那闆r下,使用算法從隨機(jī)近似在離散時(shí)間情況下的隨機(jī)一致性問題.Li和Zhang[20]將 Huang和Manton的工作擴(kuò)展到連續(xù)時(shí)間設(shè)置,得到平衡網(wǎng)絡(luò)和包含的一個(gè)生成樹隨機(jī)一致的充要條件.因此,建立與實(shí)際情況盡量接近的隨機(jī)復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)模型,并在根據(jù)具體問題變換模型的基礎(chǔ)上,研究采用不同的分析方法與控制策略是有必要的.另一方面,對(duì)于非線性動(dòng)力學(xué)的多智能體系統(tǒng),每個(gè)代理節(jié)點(diǎn)的內(nèi)在動(dòng)力會(huì)作為耦合項(xiàng)在最終的一致狀態(tài)時(shí)將會(huì)消失.因此,一致性協(xié)議必須是一個(gè)孤立的系統(tǒng).一致性協(xié)議可能是一個(gè)孤立的軌跡平衡點(diǎn),周期軌道,或是一個(gè)混沌軌道[21-23].但是上述論文是基于一個(gè)共同的假設(shè),即每個(gè)節(jié)點(diǎn)與鄰居節(jié)點(diǎn)之間信號(hào)傳遞沒有時(shí)間延遲,在許多情況下是不切實(shí)際的.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 基礎(chǔ)圖論知識(shí)[24,25]

令G(V,E,A)表示一個(gè)有向加權(quán)圖,其中V={v1,v2,…vN}表示圖G的頂點(diǎn)集合,E?V×V,V為圖G的邊集,節(jié)點(diǎn)的下標(biāo)集合為Q={1,2,…,N}.定義節(jié)點(diǎn)vi的鄰居集合為Ni={vj∈V|(vi,vj)∈E}.圖G的鄰接矩陣A=[aij]∈RN×N,其中矩陣元素aij為節(jié)點(diǎn)vi與節(jié)點(diǎn)vj的連接權(quán)重. 如果vj∈Ni,則aij>0.否則aij=0.假設(shè)圖G中每個(gè)節(jié)點(diǎn)沒有自連,即對(duì)于?i∈Q,aii=0.

一個(gè)有向圖叫做強(qiáng)連接的當(dāng)且僅當(dāng)任意兩個(gè)不同的頂點(diǎn)之間存在一個(gè)有向的路徑.此外,一個(gè)有向圖包含一個(gè)有向生成樹,如果存在一個(gè)頂點(diǎn)稱為根,即存在著從這個(gè)根到每一個(gè)其他的頂點(diǎn)的有向路徑.

引理1[24]: 假設(shè)一個(gè)有向圖G(A)是強(qiáng)連接的,且它的拉普拉斯矩陣L不可約,且滿足L1N=0,并且存在一個(gè)對(duì)應(yīng)于零特征值的左特征向量ξ=(ξ1,ξ2,…ξN)T使得ξTL=0,ξT1N=1.

1.2 系統(tǒng)模型

這里xi∈Rn表示第i個(gè)節(jié)點(diǎn)的位置,L=(lij)n×n是通信拓?fù)銰(A)的拉普拉斯矩陣,ui(t)∈Rn為設(shè)計(jì)的控制輸入.然而,每個(gè)個(gè)體的動(dòng)力學(xué)行為一般不是一個(gè)常數(shù),是時(shí)變的.許多學(xué)者開始研究非線性多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)[18]:

i=1,2,…N

(1)

注1: 本文在系統(tǒng)中充分考慮了環(huán)境噪聲對(duì)多智能體一致性的影響.線性多智能體網(wǎng)絡(luò)中處理噪聲延遲已是很大挑戰(zhàn),目前較多的是離散系統(tǒng)下的噪聲延遲,隨機(jī)布朗運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)對(duì)個(gè)體的動(dòng)力學(xué)行為有很大影響.本文的模型主要用來描述外部隨機(jī)噪聲,且高斯白噪聲過程滿足dw(t)=n(t)dt,因此本文處理在噪聲環(huán)境下的非線性連續(xù)多智能體網(wǎng)絡(luò)是一個(gè)很大的進(jìn)步.

考慮非線性動(dòng)力系統(tǒng)的多智能體網(wǎng)絡(luò)的延遲控制,那么給出如下的控制協(xié)議:

ui(t)= ∑vj∈Niaij[(xj(t-τ(t))-

xi(t-τ(t))]

(2)

其中τ(t)是在[0,τ](τ>0)的連續(xù)時(shí)間延遲.

為了證明定理,給出如下引理:

引理2: 假設(shè)x∈Rn,Γ=ΓT∈Rn×n,A∈Rm×n并且有Rank(A)=l

證明: ∵E(Ay)=0,即A(E(y))=0.

令y′=E(y),即Ay′=0.

由文獻(xiàn)[26]引理2,有y′TΓy′<0,

又y′TΓy′=(E(y))TΓ(E(y))

=(E(y))TE(Γy)

=E(yTΓy)

∴E(yTΓy)≤0

注2: 本文的分布式控制協(xié)議基于延遲控制方法,考慮時(shí)變延遲采樣信息,不僅簡(jiǎn)化控制方法,而且利用客觀環(huán)境噪聲下的動(dòng)態(tài)延遲信息.能夠很好的解釋和理解非線性復(fù)雜性引起的動(dòng)力學(xué)行為.

綜合(1)和(2),非線性動(dòng)力系統(tǒng)的多智能體網(wǎng)絡(luò)一致性的隨機(jī)延遲控制描述為:

xi(t-τ(t))]+σi(t,xi(t))n(t)

i=1,2,…,N

(3)

1.3 動(dòng)力學(xué)模型

將(3)寫成隨機(jī)延遲矩陣形式:

dx(t)=[f(x(t))-Lx(t-τ(t))]dt+θdw(t)

(4)

其中w(t)是一維高斯白噪聲過程,dw(t)=n(t)dt,L=(lij)n×n,是通信拓?fù)銰(A)的拉普拉斯算子矩陣θ=diag(θ1,…,θn) ,θ=[σ1i,σ2i,…,σni] 是n維行向量.

得到主要結(jié)論前,給出如下假設(shè):

假設(shè)1[27]: 對(duì)任意x,y∈Rn,存在常數(shù)α>0,β>0使得非線性函數(shù)f(·)滿足:

(x-y)T[f(x)-f(y)-a(x-y)]

≤-β(x-y)T(x-y)

假設(shè)2:對(duì)于任意的x1,x2∈Rn,t≥0,存在一個(gè)非負(fù)常數(shù)ρ,使得:

‖f(x1,t)-f(x2,t)‖≤ρ‖x1-x2‖

2 主要結(jié)論

定理1假設(shè)網(wǎng)絡(luò)圖G是連通的,如果存在正數(shù)λ,α,β且存在對(duì)稱矩陣Q,使得ETQE>0并且矩陣不等式成立:

(5)

其中:

Φ11=2τ2ETQE-ETE

Φ22=ET[λI+2(α-β)(I-F)+ρI]E-ETQE

Φ33=-2ETQE

Φ44=2τ2ETLTQLE-ETQE

則非線性多智能體系統(tǒng)(4)將均方有界一致.

證明:誤差系統(tǒng):

δ(t)=x(t)-1α(t)=(I-F)x(t)

這里1表示元素均為1的N維列向量,I是單位矩陣,

dδ(t) =(I-F)dx(t)

=(I-F)[f(x(t))-Lx(t-τ(t))]dt+

(I-F)θdω(t)

Lδ(t-τ(t))]dt+(I-F)θdw(t)

(6)

對(duì)系統(tǒng)(6)選取Lyapunov-Krasovskii函數(shù):

V(t)=V1(t)+V2(t)

其中V1(t)=eλtδT(t)δ(t),

這里對(duì)于對(duì)稱矩陣Q,有ETQE>0,其中:

ξ=(ξ1,ξ2,…ξN)T是拉普拉斯矩陣L的零特征值的左特征向量,有ξT1N=1.

dV(δ(t),t)= 2eλtδT(t)(I-F)θdw(t)+

(7)

這里L(fēng)V1≤λeλtδT(t)δ(t)+2eλtδT(t)[(I-F)·

eλttrace(I-F)2θTθ

≤λeλtδT(t)δ(t)+2eλtδT(t)[(I-F)·

(α-β)δ(t)-Lδ(t-τ(t))]+

eλttrace(I-F)2θTθ

≤λeλtδT(t)δ(t)+2eλtδT(t)[(I-F)·

(α-β)δ(t)-Lδ(t-τ(t))]+

eλttrace(I-F)2θTθ-

eλtfT(x(t),t)f(x(t),t)+

eλtρδT(t)δ(t)

(8)

(9)

根據(jù)Jensen不等式:

≤-eλt[δ(t)-δ(t-τ)]TQ[δ(t)-δ(t-τ)],

≤-eλt[δ(t-τ(t))-δ(t-τ)]TQ

[δ(t-τ(t))-δ(t-τ)],

≤-eλt[δ(t)-δ(t-τ(t))]TQ

[δ(t)-δ(t-τ(t))]

令:

δ(t)-δ(t-τ)=v1(t)

δ(t-τ(t))-δ(t-τ)=v2(t)

δ(t)-δ(t-τ(t))=v3(t)

則綜上可得:

dV(δ(t),t)≤ 2eλtδT(t)(I-F)θdw(t)+

eλtηT(t)Γη(t)dt+

eλtC0dt

(10)

其中:

其中,M=λI+2(α-β)(I-F)+ρI

C0=trace(I-F)2θTθ

T=1T

容易驗(yàn)證Ε(Aη(t))=0,

由條件:

A⊥TΓA⊥<0

(11)

其中:

則由條件(11)和引理2得E(ηT(t)Γη(t))≤0.

不等式(11)可以寫成:

其中:

N=-2τ2ETLTQE

Φ11=2τ2ETQE-ETE

Φ22=ET[λI+2(α-β)(I-F)+ρI]E-ETQE

Φ33=-2ETQE

Φ44=2τ2ETLTQLE-ETQE

它與(5)等價(jià).因?yàn)镋TQE>0,因此對(duì)任意小的ε>0,ηT(t)Γη(t)<-ε‖δ(t)‖2.

所以(10)式可以轉(zhuǎn)化為:

dV(δ(t),t)≤ 2eλtδT(t)(I-F)θdw(t)+eλtC0dt

(12)

由(12)式對(duì)不等式兩邊取期望可得:

從而:

E‖δ(t)‖2≤e-λtE(V(δ(0),0))+λ-1C0

(13)

對(duì)式(13)兩側(cè)取極限:

根據(jù)定義以及李雅普諾夫分析方法,誤差系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的,則多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(4)可達(dá)到均方有界一致.定理證畢.

注3: 由于在現(xiàn)實(shí)應(yīng)用程序的多智能體的結(jié)構(gòu)中,每個(gè)代理的速度通常不是一個(gè)常數(shù)而是一個(gè)時(shí)變變量, 且介于個(gè)體的通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)可能動(dòng)態(tài)改變,因此導(dǎo)致連接的失敗或成功,結(jié)合這兩個(gè)方面,考慮切換拓?fù)涞慕Y(jié)構(gòu).

dx(t)=[f(x(t))-Lpx(t-τ(t))]dt+θdw(t)

這里P和切換信號(hào)對(duì)應(yīng).

類似可得以下結(jié)論:

設(shè)多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(4)是切換拓?fù)渚W(wǎng)絡(luò),則如果存在正數(shù)λ,α,β且存在對(duì)稱矩陣Q,使得ETQE>0并且矩陣不等式成立:

其中:

N1=-2τ2ETLPTQE

Φ11=2τ2ETQE-ETE

Φ22=ET[λI+2(α-β)(I-F)+ρI]E-ETQE

Φ33=-2ETQE

Φ44=2τ2ETLPTQLE-ETQE

那么在控制協(xié)議(3)下的多智能體非線性動(dòng)力系統(tǒng)(5)實(shí)現(xiàn)均方有界一致.

3 仿真結(jié)果

該部分運(yùn)用計(jì)算機(jī)數(shù)值仿真驗(yàn)證所得理論的正確性和有效性.考慮多智能體網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)(3),網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)f(xi(t),t)取2維為例.

例:

取f(xi(t),t)=[0.15sin(xi1(t)),0.15cos(xi2(t))]T∈R2,xi(t)=(xi1(t),xi2(t)).設(shè)有5個(gè)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn),每個(gè)節(jié)點(diǎn)取2維系統(tǒng),網(wǎng)絡(luò)通訊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)為強(qiáng)連接圖,如圖1所示.

隨機(jī)取初始值為:

x1(0)=(1.25,0.05)T,

x2(0)=(-0.5,0.175)T,

x3(0)=(0,0)T,

x4(0)=(1.5,-0.75)T,

x5(0)=(3.0,-0.65)T.

圖1 5個(gè)節(jié)點(diǎn)的強(qiáng)連接拓?fù)鋱DFig. 1 Strong connection topology of five nodes

動(dòng)態(tài)延遲τ(t)=(|sinπt|,|cost|),隨機(jī)噪聲:

在隨機(jī)噪聲環(huán)境下非線性多智能體網(wǎng)絡(luò)的兩分量的狀態(tài)圖可以達(dá)到一致,見圖2和圖3.數(shù)值仿真得到延遲間隔τ≤0.7.圖4為多智能體誤差系統(tǒng)的狀態(tài).多智能體的一致性整體誤差見圖5,為:

圖2 加入控制后每個(gè)個(gè)體第一個(gè)分量的狀態(tài)圖Fig. 2 State diagram of the first component of each individual under the control protocol

圖3 加入控制后每個(gè)個(gè)體第二個(gè)分量的狀態(tài)圖Fig. 3 State diagram of the second component of each individualunder the control protocol

圖4 系統(tǒng)(1)主體的兩分量誤差狀態(tài)圖Fig. 4 Error state diagram of two components of the system (1)

圖5 系統(tǒng)(1)主體的一致性整體誤差圖Fig. 5 Graph of the consensus global error of the system (1)

4 結(jié)論

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