Mathews-Lakshmanan振子方程的分析力學(xué)解法*

李京潁 丁光濤

(1.阜陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子科學(xué)學(xué)院,阜陽(yáng) 236032) (2.安徽師范大學(xué)物理與電子信息學(xué)院,蕪湖 241000)

引言

非線性的振蕩是無(wú)處不在的事物運(yùn)動(dòng)發(fā)展的現(xiàn)象,除了傳統(tǒng)的力學(xué)物理學(xué)和諸多工程技術(shù)科學(xué)外,還涉及從天體系統(tǒng)大氣系統(tǒng),到生態(tài)系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)等很多自然和社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域,人們以非線性微分方程模擬這些現(xiàn)象,利用多種方法求解這些方程,得到很多重要的研究成果[1,2].然而,對(duì)有些基本的理論問(wèn)題而言,例如,涉及的系統(tǒng)的量子化時(shí),近似解法、計(jì)算方法或?qū)嶒?yàn)的方法就達(dá)不到要求,因?yàn)槔碚撘竽軌驅(qū)С鱿到y(tǒng)的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù),能夠得到精確的解析解.雖然這樣的非線性系統(tǒng)很少,但是有必要研究它們,而且也存在不同的研究途徑和方法[3-10].上世紀(jì)中葉以來(lái),分析力學(xué)理論在很多方面仍然取得新的進(jìn)展,例如,變分法逆問(wèn)題和對(duì)稱性與守恒量理論,分析力學(xué)理論和方法在求解微分方程中得到廣泛的應(yīng)用,這就為非線性系統(tǒng)研究提供了新的重要基礎(chǔ)和途徑[11-20].在力學(xué)和物理學(xué)的研究中,振動(dòng)是一個(gè)重要課題,人們將線性的保守的振子系統(tǒng),多方面推廣變形,其中之一就是非線性非保守的Mathews-Lakshmanan振子(以下簡(jiǎn)寫成M-L振子),此后,對(duì)該振子及其推廣進(jìn)行了多方面的研究,包括它的量子化[7-10].本文利用分析力學(xué)研究M-L振子,包括根據(jù)變分法逆問(wèn)題理論和方法,將方程變換為自伴隨方程,利用四種方法計(jì)算對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù),實(shí)現(xiàn)方程的分析力學(xué)化,再?gòu)睦窭嗜樟W(xué)和哈密頓力學(xué)兩條途徑,得到振子方程的解,從而以此振子為例,說(shuō)明分析力學(xué)理論和方法在非線性系統(tǒng)研究中的價(jià)值.

1 M-L振子方程的自伴隨形式

1.1 一維微分方程系統(tǒng)的自伴隨條件

根據(jù)變分法逆問(wèn)題的理論和方法[12],對(duì)寫成基本形式的一維系統(tǒng):

(1)

自伴隨的充分和必要條件是:

(2)

據(jù)此可知,對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)形式的一維系統(tǒng):

(3)

自伴隨的充分和必要條件是:

(4)

(5)

代入條件(2),得到確定φ的方程:

(6)

1.2 將M-L振子方程變換為自伴隨形式

1974年,Mathews和Lakshmanan提出一種非線性非保守振子[6,7]:

(7)

多年來(lái),已經(jīng)有一系列工作涉及上述振子的經(jīng)典解和量子化的研究,也涉及將它推廣成多維系統(tǒng)等[8-10].下面將根據(jù)變分法逆問(wèn)題理論和方法,實(shí)現(xiàn)方程(7)分析力學(xué)化.首先,將它變換成為自伴隨形式的方程,從而證明該方程可以構(gòu)造對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù),將其表示為拉格朗日方程和哈密頓方程形式.顯然,方程(7)不滿足條件(4),故引入因子φ,代入式(6)得到:

(8)

這個(gè)方程的一個(gè)解為:

(9)

即方程(7)能夠變換成為如下自伴隨方程:

(10)

換句話說(shuō),M-L振子(7)能夠間接地表示為拉格朗日方程形式.

2 M-L振子方程的拉格朗日函數(shù)

2.1 構(gòu)造M-L振子方程的拉格朗日函數(shù)的途徑一

對(duì)于自伴隨形式的微分方程有多種途徑構(gòu)造拉格朗日函數(shù),其中之一是Engels第一方法[12].若一維系統(tǒng)(1)是自伴隨的,則其拉格朗日函數(shù)為:

(11)

這是一種比較簡(jiǎn)單的直接計(jì)算方法,將

代入式(11),計(jì)算得到:

(12)

2.2 構(gòu)造M-L振子方程的拉格朗日函數(shù)的途徑二

有些情況下,通過(guò)變量變換可以將非自伴隨的方程變換成為自伴隨形式的,構(gòu)造得到新變量的拉格朗日函數(shù)后,再變換成原來(lái)變量的拉格朗日函數(shù)[17,18].

文獻(xiàn)[18]中通過(guò)變量變換方法,對(duì)下列變系數(shù)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng):

(13)

(14)

其中:

(15)

比較式(13)和(7),對(duì)M-L振子有:

(16)

代入式(15)和(14),得到式(12)拉格朗日函數(shù)L.

文獻(xiàn)[17]提出另一種利用變量變換構(gòu)造拉格朗日函數(shù)的方法,將此方法應(yīng)用到方程(13),同樣得到式(14)結(jié)果,即對(duì)方程(7)又導(dǎo)出式(12).

2.3 構(gòu)造M-L振子方程的拉格朗日函數(shù)的途徑三

文獻(xiàn)[19]給出一種從下列一維系統(tǒng):

(17)

(18)

系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)可以寫成以下形式:

(19)

其中系數(shù)A(t,x)和B(t,x)由下列方程確定:

(20)

對(duì)方程(7)應(yīng)當(dāng)先導(dǎo)出第一積分,為此將方程改寫成:

由此可得第一積分:

(21)

上述方程存在如下一組解:

(22)

代入式(20),又得到式(12)拉格朗日函數(shù)L.

2.4 構(gòu)造M-L振子方程的拉格朗日函數(shù)的途徑四

文獻(xiàn)[20]給出一種直接從運(yùn)動(dòng)方程構(gòu)造Lagrange函數(shù)的直接方法.根據(jù)此方法,對(duì)方程(7),可以設(shè)拉格朗日函數(shù):

(23)

代入拉格朗日方程,得到:

與方程(7)比較,得到:

(24)

由此可得一組解:

(25)

代入式(23),又導(dǎo)出式(12)拉格朗日函數(shù)L.

3 M-L振子方程的哈密頓函數(shù)

對(duì)于非線性系統(tǒng)的某些研究,還需要構(gòu)造系統(tǒng)的哈密頓函數(shù).在導(dǎo)出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)后,利用勒讓德變換,即可以導(dǎo)出哈密頓函數(shù).由式(12)得到方程(7)的哈密頓函數(shù):

(26)

式中廣義動(dòng)量:

(27)

上述拉格朗日函數(shù)(12)和哈密頓函數(shù)(26),與通常簡(jiǎn)諧振子拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù)存在一定的相似性,因此有人將M-L振子(7)看作質(zhì)量與位置(坐標(biāo))相關(guān)的振子,哈密頓函數(shù)(26)是討論M-L振子量子化的出發(fā)點(diǎn).

4 M-L振子方程的經(jīng)典解

4.1 利用拉格朗日函數(shù)根據(jù)諾特理論求解

導(dǎo)出拉格朗日函數(shù)(12)后,可以根據(jù)諾特(Noether)理論導(dǎo)出守恒量[14],由于函數(shù)L不顯含時(shí)間t,故可從時(shí)間平移對(duì)稱性導(dǎo)出振子的守恒量為:

(28)

這就是前面已經(jīng)從運(yùn)動(dòng)方程直接導(dǎo)出的廣義能量積分(21).由此積分進(jìn)一步得到振子的解為:

(29)

當(dāng)I<0時(shí),振子存在嚴(yán)格的周期解:

x=Acos(ωt+φ0)

(30)

式中:

(31)

這就是說(shuō),這個(gè)非線性振子周期(頻率)與振幅相關(guān).

4.2 利用哈密頓函數(shù)根據(jù)哈密頓-雅可比理論求解

在導(dǎo)出哈密頓函數(shù)(26)后,可以列出正則方程求解,也根據(jù)哈密頓-雅可比理論求解[22].由于式(26)中的哈密頓函數(shù)不顯含時(shí)間,故哈密頓-雅可比方程寫成:

(32)

上述方程的積分為:

(33)

振子的運(yùn)動(dòng)方程由下式給出:

這個(gè)結(jié)果與式(29)相同.

5 結(jié)果與討論

(1)本文對(duì)M-L振子給出了全面的分析力學(xué)求解過(guò)程:根據(jù)變分法逆問(wèn)題理論和方法,從變換為自伴隨形式的方程,說(shuō)明它能夠分析力學(xué)化；利用多種不同的途徑構(gòu)造得到振子的拉格朗日函數(shù),進(jìn)而導(dǎo)出哈密頓函數(shù),即實(shí)現(xiàn)振子的分析力學(xué)化；分別通過(guò)諾特對(duì)稱性與守恒量理論和哈密頓-雅可比方法,得到M-L振子的解析解.

(2)非線性現(xiàn)象是普遍存在的,研究的方法也多種多樣的.M-L振子是一種非線性非保守的振動(dòng)系統(tǒng),也研究了它的量子化問(wèn)題,這個(gè)振子系統(tǒng)可以被推廣,有些系統(tǒng)的近似研究可以由它出發(fā),因此,在經(jīng)典力學(xué)基礎(chǔ)上給出它的解析解是必要的.M-L振子的解法說(shuō)明在非線性研究中可以利用分析力學(xué)理論和方法,與矢量力學(xué)相比,分析力學(xué)發(fā)展了更多更有效的積分方法[14,15,22],因此在研究非線性系統(tǒng)時(shí),應(yīng)當(dāng)重視分析力學(xué)理論和方法.

(3)力學(xué)系統(tǒng),包括非線性系統(tǒng)的分析力學(xué)化,關(guān)鍵在于構(gòu)造對(duì)應(yīng)的拉格朗日函數(shù)和哈密頓函數(shù),這就表明變分法逆問(wèn)題的理論和方法的研究和應(yīng)用,應(yīng)當(dāng)?shù)玫竭M(jìn)一步重視.

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