機(jī)電系統(tǒng)的尼爾森方程*

崔新斌 傅景禮

(1.浙江理工大學(xué)機(jī)械與自動(dòng)控制學(xué)院,杭州 310018) (2. 浙江理工大學(xué)理學(xué)院,杭州 310018)

引言

目前,拉格朗日方程被廣泛應(yīng)用于機(jī)械系統(tǒng)[1-3]、電路系統(tǒng)[4-6]、壓電系統(tǒng)[7]和機(jī)電系統(tǒng)[8-10]中,并在這些系統(tǒng)的建模和分析方面發(fā)揮著重要的作用.傅[8]等人研究了機(jī)電系統(tǒng)的Noether對(duì)稱性,這使得機(jī)械系統(tǒng)的一些理論擴(kuò)展到機(jī)電系統(tǒng)中.哈密頓-拉格朗日方程是基于能量的傳導(dǎo)機(jī)理推導(dǎo)出的,而關(guān)于能量傳導(dǎo)機(jī)理以及機(jī)電耦合系統(tǒng)的哈密頓原理,在很多論文中都已有講述.現(xiàn)在,機(jī)電換能器普遍出現(xiàn)在人們的生活當(dāng)中.在機(jī)電系統(tǒng)中,機(jī)械能通過(guò)換能器能夠轉(zhuǎn)化為電能,反之亦然.基于哈密頓-拉格朗日的原則,系統(tǒng)的且統(tǒng)一的研究機(jī)電系統(tǒng)的方法已經(jīng)被建立.尼爾森方程作為分析力學(xué)的一個(gè)重要結(jié)論,應(yīng)該被引入到機(jī)電系統(tǒng)的分析當(dāng)中去.

利用拉格朗日方程對(duì)機(jī)械系統(tǒng)、電路系統(tǒng)機(jī)電系統(tǒng)分析建模的方法已經(jīng)得到廣泛利用.在機(jī)械系統(tǒng)中,尼爾森方程是一個(gè)重要的結(jié)論,且得到廣泛應(yīng)用.在這里,我們研究并推導(dǎo)了機(jī)電系統(tǒng)的的尼爾森方程,給出利用尼爾森方程對(duì)機(jī)電系統(tǒng)分析建模的方法.文中通過(guò)研究電容式麥克風(fēng)給出尼爾森方程的使用方法和計(jì)算過(guò)程.

在機(jī)械系統(tǒng)中,尼爾森方程為分析機(jī)械系統(tǒng)建立其微分方程提供了一種新的方法[1].尼爾森方程與拉格朗日方程有這同等重要的地位,而且由于兩種方程求導(dǎo)方式不同,對(duì)一些系統(tǒng)建模時(shí),尼爾森方程可能更加的便捷.同樣,機(jī)電系統(tǒng)的尼爾森方程也具有這樣的作用.

1 機(jī)電系統(tǒng)中的尼爾森方程

1.1 機(jī)電系統(tǒng)的拉格朗日方程

機(jī)電系統(tǒng)的歐拉-拉格朗日動(dòng)力學(xué)方程為:

(1)

上式中,zi是機(jī)電系統(tǒng)相互獨(dú)立的所有機(jī)械廣義坐標(biāo),qk為機(jī)電系統(tǒng)相互獨(dú)立的所有電路廣義坐標(biāo).m和n分別為機(jī)械廣義坐標(biāo)和電路廣義坐標(biāo)的數(shù)量.Qi為系統(tǒng)中廣義坐標(biāo),zi對(duì)應(yīng)的廣義非勢(shì)力,Ek為廣義坐標(biāo),qk對(duì)應(yīng)的電源電壓,D為系統(tǒng)耗散函數(shù),其中包括電能耗散和機(jī)械耗散兩個(gè)部分.函數(shù)

(2)

1.2 機(jī)電系統(tǒng)的尼爾森方程

機(jī)電系統(tǒng)包括兩個(gè)部分,即機(jī)械部分和電路部分.兩個(gè)部分既有一定的聯(lián)系,又各自遵循各自相應(yīng)的法則.

首先,研究機(jī)電系統(tǒng)的機(jī)械部分.一個(gè)機(jī)電系統(tǒng)的機(jī)械部分應(yīng)滿足虛位移的運(yùn)動(dòng)力學(xué)約束條件,即達(dá)朗貝爾-拉格朗日原理:

(3)

(4)

根據(jù)機(jī)械系統(tǒng)的尼爾森方程可以得到[1]:

(5)

(6)

通過(guò)計(jì)算拉格朗日函數(shù)對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)可得:

(7)

和式

(8)

由式(6)和(8)可得:

(9)

和式

(10)

在系統(tǒng)中,式(9)中δzi是彼此獨(dú)立的.因此,式(9)能夠改寫為:

(11)

在機(jī)電系統(tǒng)中,耗散函數(shù)為:

(12)

從上式(12)可以看出,Dm和De分別表示機(jī)電系統(tǒng)機(jī)械部分和電路部分的耗散,電路部分的耗散不依賴于機(jī)械的廣義坐標(biāo),機(jī)械部分的耗散與電路中電流無(wú)關(guān).因此含有耗散的尼爾森方程為:

(13)

然后,研究機(jī)電系統(tǒng)的電路部分.機(jī)電系統(tǒng)的機(jī)械部分和電路部分通過(guò)一些獨(dú)立的廣義坐標(biāo)聯(lián)系在一起.但是,電路部分必須滿足基爾霍夫電壓定律,電壓只依賴于電路部分的廣義坐標(biāo).

對(duì)于電路,電能函數(shù)為:

(14)

在對(duì)電容器充電的過(guò)程中,電容器兩極板間產(chǎn)生一個(gè)電勢(shì)差:

(15)

磁余能函數(shù)為:

(16)

上式中,Lkr(k≠r)是第k個(gè)獨(dú)立回路與第r個(gè)獨(dú)立回路的互感系數(shù),Lkk為第k個(gè)回路的自感系數(shù),且:

Lkr=Lrk(zi)

(17)

(18)

根據(jù)式(18)可得:

(19)

電路部分耗散為:

(20)

且

(21)

然后,計(jì)算偏導(dǎo)數(shù):

(22)

和偏導(dǎo)數(shù):

(23)

將式(21)、(22)和(23)帶入(19)得:

(24)

綜上所述,式(13)和(24)為機(jī)電系統(tǒng)的尼爾森方程,即:

(25)

1.3 機(jī)電系統(tǒng)的尼爾森方程與拉格朗日方程的等效性

電磁揚(yáng)聲器是一個(gè)簡(jiǎn)單的機(jī)電系統(tǒng).下面分析該系統(tǒng)來(lái)驗(yàn)證機(jī)電系統(tǒng)的尼爾森方程與拉格朗日方程的等效性.

揚(yáng)聲器將電能轉(zhuǎn)換為聲能.圖1是低頻的揚(yáng)聲器模型,其機(jī)械部分為含有阻尼的彈簧-質(zhì)量系統(tǒng),m、k、c為對(duì)應(yīng)元件的常數(shù),T是傳感器常數(shù).

圖1 電磁揚(yáng)聲器Fig.1 Electromagnetic loudspeaker

We=0

(26)

系統(tǒng)耗散為:

(27)

從上式(26)可得系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)為:

(28)

首先,將式(27)和(28)帶入式(1)得:

(29)

式(29)即為電磁揚(yáng)聲器的拉格朗日方程.

然后,對(duì)拉格朗日函數(shù)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)得:

(30)

將式(27)和(30)帶入式(25)得:

(31)

式(31)即為電磁揚(yáng)聲器的尼爾森方程.通過(guò)比較,式(29)和(31)完全相同.因此,我們可以看出機(jī)電系統(tǒng)的尼爾森方程與拉格朗日方程具有相同的作用.

2 電容式麥克風(fēng)

利用實(shí)例電容式麥克分來(lái)說(shuō)明機(jī)電尼爾森方程的分析建模過(guò)程.

電容式麥克風(fēng)由一個(gè)固定的極板和一個(gè)與之平行的可動(dòng)極板組成,后者與彈簧相連.該電容通過(guò)一個(gè)具有電壓源和RL支路的串聯(lián)電路充電.電阻R兩端的電勢(shì)差可反映作用于極板上的壓強(qiáng).

圖2為電容式麥克風(fēng)的模型,在系統(tǒng)中,c為機(jī)械部分阻尼系數(shù),k是彈簧彈性系數(shù),m為動(dòng)極板的質(zhì)量.x0表示兩個(gè)極板的距離,x1表示彈簧在平衡位置的伸長(zhǎng).假設(shè)可動(dòng)極板電容的電容值為:

(32)

在平衡位置時(shí),電容器的電量q0在兩極板間產(chǎn)生一個(gè)吸引力為:

(33)

它與彈簧力相平衡,因此有:

(34)

圖2 電容式麥克風(fēng)Fig.2 Capacitive microphone

(35)

因此,系統(tǒng)拉格朗日函數(shù)為:

(36)

求上式的關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)為:

(37)

系統(tǒng)耗散為:

(38)

因此,由上可以得到系統(tǒng)的尼爾森方程為:

(39)

(40)

假設(shè)q?q0、x?x0,即系統(tǒng)關(guān)于平衡位置作小幅度振動(dòng),有:

(x0-x)(q0+q)≈x0q0-q0x+x0q

(41)

通過(guò)式(40)和(41)，式(39)能被改寫為:

(42)

3 小結(jié)

在本文中,我們提出用尼爾森方程為機(jī)電系統(tǒng)建模的方程并給出了計(jì)算過(guò)程.這種方法與拉格朗日方程具有相同的作用.無(wú)論機(jī)電系統(tǒng)中機(jī)械部分和電路部分是否有耦合,我們都可以利用尼爾森方程為其建模.在機(jī)械系統(tǒng)中,尼爾森方程為一些系統(tǒng)建立方程提供一種更為簡(jiǎn)單的方法,而本文將這種方程擴(kuò)展到機(jī)電系統(tǒng)中,為機(jī)電系統(tǒng)建立微分方程提供了一種新的方法.

1梅鳳翔. 分析力學(xué). 北京:北京理工大學(xué)出版社, 2013 (Mei F X. Analytical mechanics. Beijing: Beijing Institute of Technology Press, 2013 (in Chinese))

2翟曉陽(yáng),傅景禮. 汽車車體振動(dòng)系統(tǒng)的對(duì)稱性與守恒量研究. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2015,36(12):1285～1239 (Zhai X Y, Fu J L. Study on symmetries and conserved quantities of vehicle body vibration system.AppliedmathematicsandMechanics, 2015,36(12):1285～1293 (in Chinese))

3梅鳳翔. 李群和李代數(shù)對(duì)約束力學(xué)系統(tǒng)的應(yīng)用. 北京:科學(xué)出版社, 1999 (Mei F X. Application of lie groups and lie algebras to constrained mechanical systems. Beijing: Science Press,1999 (in Chinese))

4Scherpen J M A, Klaassensi J B, Ballini L. Lagrangian modeling and control of DC-to-DC converters.ProceedingsoftheIEEEINTELEC, 1999,99CH37007:31～41

5Scherpen J M A, Jeltsema D, Klaassensi J B. Lagrangian modeling and control of switching networks with integrated coupled magnetics.IEEEConferenceonDecision&Control, 2000,4:4054～4059

6Stramigioli S. Modeling and IPC control of interactive mechanical system: A coordinate free approach. London: Springer, 2001

7謝煜,傅景禮,陳本永. 壓電堆疊作動(dòng)器的對(duì)稱性求解. 應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué), 2016,37(8):778～790 (Xie Y, Fu J L, Chen B Y. Solution of symmetries for piezoelectric stack actuators.AppliedMathematicsandMechanics, 2016,37(8):778～790 (in Chinese))

8Fu J L,Chen L Q. On Noether symmetries and form invariance of mechanico-electrical systems.PhysicsLettersA, 2004,331(3-4):138～152

9Preumont A. Mechatronics dynamics of electromechanical and piezoelectric systems. Netherlands: Springer, 2006

10 邱家俊. 機(jī)電分析動(dòng)力學(xué). 北京:科學(xué)出版社, 1992 (Qiu J J. Electromechanical analytical mechanics. Beijing: Science Publishing Company, 1992 (in Chinese))