一種適應(yīng)于IEEE 802.15.4k標(biāo)準(zhǔn)的高精度頻偏估計(jì)算法*

葉曉青 羅炬鋒 邱云周 朱元萍 黃河笑

(1.中國科學(xué)院上海微系統(tǒng)與信息技術(shù)研究所，上海，200050；2.上海物聯(lián)網(wǎng)有限公司，上海，201899；3.上海開放大學(xué)理工學(xué)院，上海，200433)

引 言

IEEE 802.15.4k[1]標(biāo)準(zhǔn)面向低成本、遠(yuǎn)距離和關(guān)鍵基礎(chǔ)設(shè)施監(jiān)控網(wǎng)絡(luò)(Low energy critical infrastructure monitoring,LECIM)設(shè)計(jì)，其物理層支撐直接序列擴(kuò)頻(Direct sequency spread spectrum,DSSS)通信和頻移鍵控(Frequency-shift keying,FSK)通信，其中DSSS具有發(fā)射功率低、抗干擾性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，常用于低信噪比應(yīng)用環(huán)境[2]。實(shí)際數(shù)字通信中，晶振的頻率漂移將引起接收性能惡化，而噪聲的干擾會極大地影響接收端頻偏估計(jì)的精度，因此如何在極低信噪比環(huán)境下實(shí)現(xiàn)頻偏估計(jì)是無線通信系統(tǒng)中的關(guān)鍵技術(shù)。

IEEE 802.15.4k標(biāo)準(zhǔn)定義2或4字節(jié)的前導(dǎo)碼(Preamble)用于同步[3]，接收機(jī)利用已知的前導(dǎo)碼來完成捕獲和數(shù)據(jù)輔助的頻偏估計(jì)?；跀?shù)據(jù)輔助[4]的載波頻偏估計(jì)方法主要分為時(shí)域和頻域兩大類，而基于時(shí)域的頻偏估計(jì)方法又分為基于信號差分的相位和基于自相關(guān)函數(shù)的相位兩類，前者有經(jīng)典的Kay和L&R算法[5-6]，后者有Fitz和M&M等[7-8]，其中M&M基于自相關(guān)序列的輻角差分估計(jì)頻偏，估計(jì)范圍廣但信噪比門限較高，文獻(xiàn)[9]也從自相關(guān)輻角估計(jì)的角度提出相應(yīng)的算法。文獻(xiàn)[10]也給出了一種基于自相關(guān)函數(shù)加權(quán)平均的方法，可擴(kuò)展估量范圍但無法降低信噪比門限?；陬l域的頻偏估計(jì)方法主要借助于快速傅里葉變換(Fast Fourier transformation,FFT)[11]。在FFT基礎(chǔ)上進(jìn)行二次插值可以提高其精度，但僅適用于特定的頻偏，無法滿足隨機(jī)頻偏下的估計(jì)精度要求[12]，文獻(xiàn)[13]針對超高速的移動寬帶中的Doppler頻移提出了相應(yīng)的頻率偏移的計(jì)算方法。Hasebe等[14]借助奇異值分解(Singular value decomposition,SVD)和自適應(yīng)濾波的迭代方法可實(shí)現(xiàn)超大范圍的頻偏估計(jì)，但信噪比門限較高，均不能滿足IEEE 802.15.4k標(biāo)準(zhǔn)下長碼字?jǐn)U頻中低信噪比和估計(jì)精度的整體需求。

為實(shí)現(xiàn)極低信噪比環(huán)境下的準(zhǔn)確頻偏估計(jì)，本文給出了一種改進(jìn)的結(jié)合Fitz和提升信噪比的方法。Fitz算法是一種近似的最大似然(Maximum likelihood,ML)算法，實(shí)現(xiàn)簡單，但一方面其頻偏估計(jì)的范圍隨相關(guān)階數(shù)M的增大而減小，而估計(jì)精度隨著M的增大而提高，兩者存在矛盾，另一方面其近似的成立條件是噪聲不能太大，當(dāng)信噪比足夠低時(shí)無法正確估計(jì)。針對Fitz算法存在的第1個(gè)問題，已有學(xué)者進(jìn)行了相關(guān)的研究。因此本文主要解決Fitz算法在信噪比極低時(shí)如何繼續(xù)保證估算精度的問題。由于Fitz算法對自相關(guān)序列加權(quán)后運(yùn)行近似方法獲得相位，當(dāng)信噪比低時(shí)受噪聲影響大，近似條件不滿足。因此本文對消除偽碼信息后的序列先做有偏自相關(guān)，結(jié)合其幅度信息來提高攜帶相位信息序列的信噪比，然后基于加權(quán)的相關(guān)函數(shù)的輻角進(jìn)行高精度的頻偏估計(jì)，能適應(yīng)于IEEE802.15.4k標(biāo)準(zhǔn)下的長碼字通信應(yīng)用場景。

1 信號模型與經(jīng)典Fitz算法分析

IEEE 802.15.4k標(biāo)準(zhǔn)面向低成本、遠(yuǎn)距離通信，在低信噪比環(huán)境下工作，系統(tǒng)建模如下：物理層采用DSSS通信方式，采用長碼字?jǐn)U頻，在高斯信道中傳輸，接收端帶有載波頻偏的復(fù)采樣信號可以表示為

s(k)=a(k)ej(2πΔfTk+θ)+n(k)

(1)

式中：a(k)為第k個(gè)偽碼信息，Δf對應(yīng)載波頻偏，T為碼片周期，θ為本地相位，n(k)對應(yīng)于均值是零，方差是σ2的復(fù)高斯白噪聲項(xiàng)。

得到碼片同步信息之后，將s(k)與前導(dǎo)碼中對應(yīng)的碼字共軛相乘，消除偽碼信息的影響，即

t(k)=a(k)×a*(k)×ej(2πΔfTk+θ)+a*(k)n(k)=|a(k)|2×ej(2πΔfTk+θ)+a*(k)n(k)=x(k)+n(k)

(2)

經(jīng)典Fitz法是對最大似然估計(jì)方法的近似，它基于自相關(guān)函數(shù)，計(jì)算不同階次相關(guān)函數(shù)的輻角并賦予不同的權(quán)重，即

(3)

2 基于有偏自相關(guān)的頻偏估計(jì)算法

針對低信噪比環(huán)境下自相關(guān)函數(shù)受噪聲的影響非常大，無法估計(jì)出頻偏的問題，本文提出了一種增強(qiáng)處理方法。普通晶振的穩(wěn)定度在10～20 PPM左右，則收發(fā)頻差為20～40 PPM，對應(yīng)的頻偏范圍限定了M的選取，因此本文并不增加階數(shù)M，而是將幅度的信息和相位的信息結(jié)合，在保證頻偏估計(jì)范圍的前提下，進(jìn)行迭代有偏自相關(guān)增強(qiáng)處理，以保證其在極低信噪比下的精度。

本文先對接收端的采樣信號作有偏自相關(guān)增強(qiáng)處理，然后進(jìn)行迭代，不僅利用了其相位信息，還利用了其幅度信息。先對信號求有偏相關(guān)并結(jié)合式(2)，得到

k=1,2,…，N-1

(4)

式中：N為數(shù)據(jù)點(diǎn)數(shù)，且有N?M；有偏相關(guān)操作相當(dāng)于對攜帶頻偏信息的有用信號的每一項(xiàng)進(jìn)行幅值上的加權(quán)，而相位所包含的頻偏信息不變。若分別考慮信號和噪聲部分，式(4)可表示成

Rb(k)=R1(k)+R2(k)+R3(k)+R4(k)

(5)

式中

(6)

第1項(xiàng)對應(yīng)攜帶頻偏信息的有用信號部分，即

(7)

(8)

(9)

式中：M取值由最大頻偏范圍決定，滿足Δf<π/MT[8]且有M?N。

3 抗噪聲性能分析

有偏自相關(guān)操作相當(dāng)于對有用信號的幅值進(jìn)行加權(quán)，而相位信息不變，可以大大改善信噪比。分析式(6)，由于噪聲滿足均值為0，容易得到R2,R3和R4的均值均為0。第2項(xiàng)對應(yīng)于信號和噪聲相乘，其方差為

(10)

由高斯白噪聲的性質(zhì)可知，式(10)只在m=i時(shí)不為0，又由于均值為0，故可得出對應(yīng)方差為[15]

(11)

(12)

由文獻(xiàn)[16]可知，零均值的復(fù)高斯信號滿足

(13)

從而將式(13)化簡為

(14)

式(14)只在m=i時(shí)不為0，因此噪聲復(fù)乘項(xiàng)的方差為

(15)

由文獻(xiàn)[8]可知，未處理的信噪比為SNRi=1/σ2。而處理后的信號平均功率為

(16)

處理后噪聲的平均功率可表示為

(17)

其中存在的交叉項(xiàng)為

故可將式(17)簡化為

(18)

對應(yīng)處理后的信噪比為

(19)

若轉(zhuǎn)化為dB形式，對式(19)兩邊取對數(shù)，則有

(20)

當(dāng)信噪比為正時(shí)，只要N大于1則必然有SNRo(dB)>SNRi(dB)。當(dāng)信噪比較小(為負(fù))時(shí)，SNRo與SNRi的大小與N長度有關(guān)，記N=2i，圖1給出了仿真結(jié)果。如圖1所示，低信噪比情況下，處理后信噪比(SNRo)曲線與處理前信噪比(SNRi)曲線在不同N時(shí)有一系列的交點(diǎn)。交點(diǎn)的含義是輸入信噪比與預(yù)處理輸出信噪比相等，在交點(diǎn)左邊代表預(yù)處理惡化性能，在交點(diǎn)右邊代表預(yù)處理提高了信噪比。從圖1中可以看出針對IEEE 802.15.4k標(biāo)準(zhǔn)的長碼字應(yīng)用，本算法適用的信噪比非常低，滿足系統(tǒng)接收靈敏度指標(biāo)。參考IEEE 802.15.4k標(biāo)準(zhǔn)，設(shè)置偽碼長度為1 024，發(fā)送端采用(2,1,7)卷積碼和O-QPSK調(diào)制，基帶系統(tǒng)工作的最低信噪比理論上約為-24dB@BER10-5，而本算法的適用范圍為大于-28 dB，因此完全滿足該工作環(huán)境。

經(jīng)過該處理后，有用的相位信息得以保存而噪聲項(xiàng)削減。在其基礎(chǔ)上進(jìn)行擴(kuò)展，即進(jìn)行有偏相關(guān)操作的迭代，可以進(jìn)一步抑制噪聲干擾，減小估計(jì)誤差。

4 仿真分析

分析基于IEEE802.15.4k的DSSS系統(tǒng)中長碼字?jǐn)U頻在低信噪比環(huán)境下的估計(jì)性能，仿真參數(shù)如下：采用1 024碼長的m序列，載波頻率780 MHz，普通晶振穩(wěn)定度為10 PPM，則實(shí)際的收發(fā)頻差是20 PPM內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，發(fā)送端經(jīng)過(2,1,7)卷積編碼，碼片速率400 kc/s。每個(gè)信噪比仿真幀數(shù)為10 000。采取歸一化的均方誤差(NMSE)[17]來對比幾種方法的估計(jì)性能。本文主要進(jìn)行了4部分的仿真與測試。

(1)比較算法在不同信噪比條件中的估計(jì)誤差。Fitz算法的頻偏估計(jì)范圍與相關(guān)階數(shù)M有關(guān)，為[-1/2MT,-1/2MT][8]，其中T為采樣周期。根據(jù)仿真參數(shù)可推出M應(yīng)小于12.8，仿真中M設(shè)置為10，前導(dǎo)碼利用的信息比特?cái)?shù)為8,仿真結(jié)果如圖2所示。其中I對應(yīng)經(jīng)典的Fitz法，當(dāng)其處于高信噪比(>-10 dB)時(shí)精度較高(圖中未畫出)，但隨著信噪比越來越低，已經(jīng)幾乎無法正常工作。II對應(yīng)文獻(xiàn)[10]的算法，與Fitz類似，低信噪比時(shí)估計(jì)偏差大。III對應(yīng)本文提出的通過有偏自相關(guān)增強(qiáng)處理的改進(jìn)算法，III與I相比，有較明顯的改善作用，但在更低信噪比下，估算精度未能達(dá)到IEEE 802.15.4k標(biāo)準(zhǔn)的要求。IV對應(yīng)本文的擴(kuò)展算法，即在III的基礎(chǔ)上迭代1次，其在低信噪比下的估算精度有顯著的提高。V對應(yīng)擴(kuò)展方法中迭代的次數(shù)取2，VI對應(yīng)擴(kuò)展方法中迭代3次。比較可知，當(dāng)?shù)螖?shù)取2和3時(shí)效果改善已經(jīng)不明顯， 迭代2次即已滿足要求， 在信噪比大于-28 dB環(huán)境中的估算精度接近克拉美勞下限[17]。

圖1 不同N長度下處理前后信噪比的對比Fig.1 Comparison of SNR before and after treatment with different N

圖2 不同信噪比條件下的歸一化估計(jì)方差Fig.2 Normalized estimation variance under different SNRs

(2) 仿真通過比較理論推導(dǎo)結(jié)果與實(shí)際測試結(jié)果的對比來驗(yàn)證第3部分中分析的正確性。借助求解實(shí)際信號的信噪比并與理論分析結(jié)果比較，如圖3所示,其中N=212，213。由圖3可見，其理論值和實(shí)際測試結(jié)果的吻合度較高，說明理論的分析在一定程度上可靠。

(3)比較不同相關(guān)階數(shù)下估計(jì)的精度差異。Fitz算法的性能與最大延遲長度M有關(guān)，不同M取值下算法估計(jì)的性能仿真結(jié)果如圖4所示。其中I對應(yīng)經(jīng)典Fitz放法，增大M對較高信噪比環(huán)境下的估計(jì)性能有一定的改善作用，當(dāng)信噪比較低時(shí)，基本沒有改善。II對應(yīng)本文的改進(jìn)方法，III對應(yīng)擴(kuò)展方法，仿真中迭代取1次。由圖4的仿真結(jié)果可以看出，在不超過最大允許延遲長度的前提下，增大M一定程度上可以改善性能，但同時(shí)看到隨著迭代次數(shù)的增加，增大M改善性能的幅度已經(jīng)不大。

圖3 理論和實(shí)際信噪比對比Fig.3 Comparison between theoretical and practical SNR

圖4 不同M長度情況下的歸一化估計(jì)方差Fig.4 Normalized estimation variance under different M

(4)測試改進(jìn)算法的估計(jì)誤差范圍。當(dāng)擴(kuò)頻因子為1 024，碼片速率Rc=1/Tc=400 kc/s時(shí)，根據(jù)IEEE 802.15.4k標(biāo)準(zhǔn)，若要保證無誤碼情況，數(shù)據(jù)在一個(gè)比特內(nèi)相位旋轉(zhuǎn)不應(yīng)超過π/4，則殘余頻偏不能超過48 Hz。為評估本文方法在低信噪比時(shí)的誤差分布范圍，在信噪比均為-27 dB時(shí)，令頻率偏移分別等于1，10和20 PPM并各仿真10 000次得到估計(jì)誤差的直方圖如圖5所示。

圖5 不同頻偏條件下估計(jì)殘余偏差分布直方圖Fig.5 Histogram of residual estimation error under different frequency offsets

當(dāng)信噪比為-27 dB且預(yù)置頻偏在1，10和40 PPM時(shí)，估計(jì)殘余偏差均在[-15,15]Hz范圍內(nèi)，此時(shí)不會引起誤碼，滿足IEEE 802.15.4k中長碼字?jǐn)U頻系統(tǒng)對殘余頻偏的容忍度。

5 結(jié)束語

為解決長碼字直接序列擴(kuò)頻在極低信噪比中的頻偏估計(jì)問題，在不增加自相關(guān)階數(shù)的前提下，本文提出了一種增強(qiáng)處理方法。該算法通過有偏自相關(guān)并迭代的方法抑制噪聲，同時(shí)結(jié)合其相位信息和幅度信息，在保證頻偏信息不受影響的同時(shí)提升信噪比，使Fitz算法的近似條件得以成立，具有一定的適用性，可應(yīng)用于借助自相關(guān)函數(shù)進(jìn)行頻偏估算的同類算法。本方法實(shí)現(xiàn)了低信噪比環(huán)境下的穩(wěn)定、高精度的頻偏估計(jì)，適合于IEEE802.15.4k標(biāo)準(zhǔn)下超長碼字、超低信噪比和遠(yuǎn)距離通信應(yīng)用領(lǐng)域。

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