滾齒機(jī)刀架傳動(dòng)系統(tǒng)剛度對(duì)其性能的影響研究

趙江坤，王時(shí)龍，胡宗延

（重慶大學(xué) 機(jī)械傳動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，重慶 400044）

1 引言

齒輪是裝備制造業(yè)中極為重要的基礎(chǔ)件，精密超精密齒輪加工是機(jī)械制造業(yè)的發(fā)展方向，高精度齒輪機(jī)床是實(shí)現(xiàn)精密齒輪加工的首要條件。齒輪機(jī)床的精密傳動(dòng)系統(tǒng)的性能直接決定機(jī)床的加工精度和性能，而機(jī)床精密傳動(dòng)系統(tǒng)的性能受到了諸多因素的影響，比如接觸部件間間隙，傳動(dòng)鏈的剛度以及機(jī)電系統(tǒng)參數(shù)多元耦合等[1-4]?，F(xiàn)代精密機(jī)床大都采用位置環(huán)反饋來保證精度，位置閉環(huán)控制對(duì)剛度非常敏感。保證傳動(dòng)系統(tǒng)剛度才能避免其發(fā)生電子學(xué)振蕩。而且系統(tǒng)伺服剛度是影響系統(tǒng)加工精度的重要因素。國(guó)內(nèi)外學(xué)者在該領(lǐng)域做了大量的研究工作，文獻(xiàn)[5]通過建立考慮傳動(dòng)鏈剛度和間隙的二自由度數(shù)學(xué)模型并基于機(jī)床進(jìn)給系統(tǒng)的傳動(dòng)函數(shù)模型，分析了其對(duì)系統(tǒng)輸出的影響。文獻(xiàn)[6-7]建立了直驅(qū)進(jìn)給伺服系統(tǒng)的剛度模型，分析了系統(tǒng)伺服參數(shù)對(duì)跟隨誤差和進(jìn)給系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[8]利用閉環(huán)傳遞函數(shù)的靈敏度研究了數(shù)控機(jī)床傳動(dòng)剛度的變化對(duì)運(yùn)動(dòng)精度穩(wěn)定性的影響。文獻(xiàn)[9]建立了某傳動(dòng)鏈剛度模型，得到了傳動(dòng)鏈每個(gè)元件對(duì)整體剛度的影響因子，研究了傳動(dòng)鏈剛度對(duì)其輸出行為的影響。但是文中用工藝系統(tǒng)剛度的方法來等效傳動(dòng)鏈剛度，忽略了嚙合剛度的影響。另外中外文獻(xiàn)中鮮有提及控制系統(tǒng)參數(shù)與機(jī)械參數(shù)之間的耦合關(guān)系。不匹配的控制參數(shù)容易導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)振蕩、超調(diào)、運(yùn)行不穩(wěn)定等問題，直接影響到設(shè)備的穩(wěn)定性和效率[10]。

從全局機(jī)電耦合分析的角度，建立了某型滾齒機(jī)刀架傳動(dòng)系統(tǒng)機(jī)電耦合模型。然后基于靜剛度定義，建立計(jì)及齒輪副嚙合剛度、傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)剛度的動(dòng)力學(xué)模型，獲取刀架傳動(dòng)鏈的機(jī)械剛度模型。深入研究了機(jī)械剛度、系統(tǒng)伺服剛度、系統(tǒng)跟蹤誤差以及控制器參數(shù)之間的匹配關(guān)系，揭示了機(jī)械剛度和系統(tǒng)伺服剛度對(duì)刀架傳動(dòng)系統(tǒng)性能的影響規(guī)律。

2 刀架傳動(dòng)系統(tǒng)建模

2.1 傳動(dòng)系統(tǒng)機(jī)電耦合模型的建立

某型滾齒機(jī)刀架傳動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖，如圖1所示。采用電機(jī)經(jīng)三級(jí)齒輪減速驅(qū)動(dòng)滾刀軸旋轉(zhuǎn)。第一級(jí)為直齒輪傳動(dòng)，后兩級(jí)為斜齒輪傳動(dòng)。該系統(tǒng)是內(nèi)環(huán)為速度環(huán)，外環(huán)為位置環(huán)的雙閉環(huán)控制系統(tǒng)?？舍槍?duì)每一模塊的物理特性（機(jī)理建模方法）單獨(dú)建立其數(shù)學(xué)模型。分析每一模塊間的相互耦聯(lián)關(guān)系，根據(jù)它們的耦聯(lián)參數(shù)便可建立傳動(dòng)系統(tǒng)全局機(jī)電耦合模型。

圖1 刀架傳動(dòng)系統(tǒng)機(jī)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig．1 Schematic Diagram of Tool Carrier Transmission System

2.1.1 伺服電機(jī)

輸入為電樞電壓Ud，輸出為電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)角。根據(jù)牛頓第二定律，基爾霍夫電路定律可得到以下方程式：

式中：Ld、id—電樞電感、電樞電流；Rd—電樞電阻；TLi—等效負(fù)載轉(zhuǎn)矩；Km、Kε—電矩系數(shù)和反電勢(shì)系數(shù)；J、B—電機(jī)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)。

2.1 .2機(jī)械傳動(dòng)裝置

刀架傳動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械裝置為三級(jí)齒輪減速機(jī)構(gòu)，輸入為電機(jī)轉(zhuǎn)角θ，輸出為滾刀軸轉(zhuǎn)角θL。可得方程式：

式中：K—傳動(dòng)系統(tǒng)機(jī)械剛度；JL、BL—傳動(dòng)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和阻尼系數(shù)。

根據(jù)輸入偏差信號(hào)可將式（1）電流方程變形為：

將式（2）～式（4）進(jìn)行拉布拉斯變換，聯(lián)立可得系統(tǒng)的機(jī)電耦合控制方框圖，如圖2所示。

圖2 系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)框圖Fig．2 Block Diagram of System Transfer Function

2.2 機(jī)械剛度建模

在齒輪傳動(dòng)過程中，即使加工制造、裝配沒有誤差。也會(huì)因?yàn)辇X輪副，轉(zhuǎn)軸的彈性變形而使輸出轉(zhuǎn)角產(chǎn)生一定的偏差，這個(gè)偏差值即為靜傳遞誤差。在不考慮機(jī)械系統(tǒng)加工制造、裝配誤差時(shí)，刀架傳動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械剛度即為負(fù)載轉(zhuǎn)矩和傳動(dòng)鏈組成件彈性變形所產(chǎn)生的滾刀軸轉(zhuǎn)角誤差之間的比值。可得：

刀架傳動(dòng)鏈為4軸3齒輪副的3級(jí)減速機(jī)構(gòu)，建立計(jì)及齒輪副嚙合剛度和軸扭轉(zhuǎn)剛度的動(dòng)力學(xué)模型。取傳動(dòng)鏈中間一對(duì)齒輪副進(jìn)行受力分析，如圖3所示。

圖3 齒輪副受力簡(jiǎn)圖Fig．3 Force Diagram of Gear Pair

假設(shè)齒輪制造誤差為零，齒廓曲線為標(biāo)準(zhǔn)漸開線，并忽略齒側(cè)間隙和軸承間隙。從圖中可以看出每個(gè)齒輪既受到由傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)變形產(chǎn)生的扭矩又受到齒輪副輪齒變形產(chǎn)生的力矩。圖中：Ji、Ji+1—兩齒輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；ki—兩齒輪的嚙合剛度；ki-1、ki+1—兩軸的扭轉(zhuǎn)剛度?？傻脙升X輪動(dòng)力學(xué)方程分別為：

式中：rb—齒輪基圓半徑。

令：qi=θi-1-θi；qi+1=rbiθi-rbi+1θi+1；qi+2=θi+1-θi+2

即：qn=θn-θn+1n=odd；qn=rbnθn-rbn+1θn+1n=even

初始條件：k1·q1=T

式中：k1—三級(jí)齒輪減速機(jī)構(gòu)輸入軸扭轉(zhuǎn)剛度；T—減速機(jī)構(gòu)輸入轉(zhuǎn)矩。

刀架傳動(dòng)系統(tǒng)，如圖1所示。具體結(jié)構(gòu)參數(shù)，如表1所示。

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù) 單位（mm）Tab.1 Structure Parameters

根據(jù)式（8），刀架傳動(dòng)系統(tǒng)的機(jī)械剛度為：

2.3 伺服剛度建模

伺服系統(tǒng)的伺服剛度和機(jī)械剛度是兩個(gè)不同的概念。伺服剛度是指當(dāng)存在擾動(dòng)誤差時(shí)整個(gè)伺服系統(tǒng)，從控制系統(tǒng)到滾刀軸所表現(xiàn)出來的抵抗外力而不產(chǎn)生位置偏差的能力。伺服剛度即為當(dāng)系統(tǒng)輸入信號(hào)為0時(shí)，干擾信號(hào)與其產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差值的比值。為了更好的分析伺服剛度，將圖2簡(jiǎn)化變形成方框，如圖4所示。

圖4 干擾模型傳遞函數(shù)方框圖Fig．4 Block Diagram of Interference Model

式中：k2—速度環(huán)比例增益—速度環(huán)積分增益；T—電機(jī)時(shí)

m間常數(shù)。

圖4中的反饋通道函數(shù)即為擾動(dòng)點(diǎn)前傳遞函數(shù)G前（S）可得：

由上式可知，系統(tǒng)由干擾產(chǎn)生的穩(wěn)態(tài)誤差與干擾信號(hào)的形式和大小有關(guān)。而且與擾動(dòng)作用點(diǎn)前的傳遞函數(shù)的放大倍數(shù)成反比。即伺服剛度由擾動(dòng)點(diǎn)前的傳遞函數(shù)所決定。所以我們只考慮擾動(dòng)前傳遞函數(shù)的增益值。

G前（S）的增益值為k1k2k3km，所以增大位置環(huán)增益k1，增大速度環(huán)增益k2k3，或者選用力矩系數(shù)大的伺服電機(jī)都可以提高Ks。

3 仿真分析

應(yīng)用Matlab／Simulink對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行仿真，根據(jù)系統(tǒng)傳遞函數(shù)結(jié)構(gòu)框圖從simulink模塊庫窗口依次選取單元模型，連接后得到系統(tǒng)模型，如圖5所示。仿真參數(shù)，如表2所示。信號(hào)源為單位階躍信號(hào)，從輸出模塊組中選取示波器模塊作為顯示器來觀察系統(tǒng)階躍響應(yīng)。

圖5 系統(tǒng)的simulink模型Fig．5 System Simulation

表2 仿真參數(shù)Tab.2 Simulation Parameters

運(yùn)行仿真模型，得到的系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性曲線，如圖6實(shí)線所示。由仿真分析結(jié)果可知，該系統(tǒng)的響應(yīng)時(shí)間為3．1s超調(diào)量為15%，動(dòng)態(tài)性能較好。同時(shí)也說明了所建模型的正確性。

圖6 系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)Fig．6 Unit-step Response of System

通過改變機(jī)械剛度的值來觀察機(jī)械剛度對(duì)系統(tǒng)性能的影響，通過對(duì)比分析可得，隨著機(jī)械剛度的提升，系統(tǒng)的超調(diào)量從30%下降到10%，響應(yīng)時(shí)間從4．2s上升到5．1s。而且系統(tǒng)的平滑性變差。由2．2節(jié)機(jī)械剛度的數(shù)學(xué)模型可以找出傳動(dòng)鏈剛度的薄弱環(huán)節(jié)，有效的增強(qiáng)系統(tǒng)的抗振性能，提高機(jī)械剛度，減小彈性變形產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角誤差，提高傳動(dòng)精度。從系統(tǒng)的仿真分析中可以發(fā)現(xiàn)適當(dāng)提高機(jī)械剛度可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，但過大的機(jī)械剛度會(huì)使系統(tǒng)響應(yīng)變慢。應(yīng)綜合考慮剛度與系統(tǒng)匹配關(guān)系，選取合適的剛度值。在系統(tǒng)的simulink模型上按圖4所示加入單位階躍干擾并令輸入信號(hào)為0，運(yùn)行仿真模型，如圖7所示。然后改變系統(tǒng)伺服剛度來觀察伺服剛度對(duì)系統(tǒng)性能的影響。通過對(duì)比結(jié)果可知，提升系統(tǒng)的伺服剛度，其位置偏差從0．018下降到0．004。極大的增強(qiáng)了系統(tǒng)的抗干擾能力。

圖7 系統(tǒng)在干擾下的響應(yīng)Fig．7 Response of Interference System

另一方面，由于速度誤差δv（指令速度V與kv的比值）的存在會(huì)影響伺服系統(tǒng)的跟蹤精度。

式中：G（S）—系統(tǒng)的前向通道傳遞函數(shù)。

kv和KS是由控制參數(shù)決定的，所以kv和KS不能無限增大，當(dāng)位置環(huán)增益增大到一定值后，系統(tǒng)就變得不穩(wěn)定了。kv和KS同時(shí)又受到機(jī)械剛度的限制。其匹配條件是：ω＞12ωc。ω是機(jī)械裝置的諧振頻率

4 結(jié)論

（1）針對(duì)某型滾齒機(jī)刀架傳動(dòng)系統(tǒng)，建立了該系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。（2）基于靜力平衡條件，建立了計(jì)及齒輪副嚙合剛度、傳動(dòng)軸扭轉(zhuǎn)剛度的傳動(dòng)鏈等效機(jī)械剛度數(shù)學(xué)模型。得出了傳動(dòng)鏈每個(gè)元件剛度對(duì)整體機(jī)械剛度的影響因子。（3）運(yùn)用Matlab／Simulink對(duì)系統(tǒng)模型進(jìn)行了仿真研究，仿真分析了系統(tǒng)的機(jī)械剛度對(duì)系統(tǒng)的影響。仿真結(jié)果表明：機(jī)械剛度的提升可以降低系統(tǒng)的超調(diào)量但會(huì)犧牲一定的響應(yīng)時(shí)間，而且也會(huì)令系統(tǒng)的平滑性變差。（4）最后分析了機(jī)械剛度、系統(tǒng)伺服剛度及速度誤差與系統(tǒng)閉環(huán)控制參數(shù)之間的匹配關(guān)系。得出了參數(shù)的限制條件和取值范圍。系統(tǒng)在干擾下的仿真結(jié)果表明：提高系統(tǒng)的伺服剛度可以增強(qiáng)系統(tǒng)抗干擾能力。

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