五軸數(shù)控機床旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角定位誤差建模及補償

黃奕喬，馮文龍，沈牧文，楊建國

（上海交通大學(xué) 機械與動力工程學(xué)院，上海 200240）

1 引言

隨著現(xiàn)代制造業(yè)的不斷發(fā)展，對具有復(fù)雜幾何形狀的高精度機械零件的需求量大幅增加。由于五軸數(shù)控機床具有可加工各種曲面、裝夾簡便、生產(chǎn)高效、靈活性強等特點，越來越多的五軸數(shù)控機床被應(yīng)用于模具制造、航空部件制造等領(lǐng)域。然而，五軸數(shù)控機床的結(jié)構(gòu)復(fù)雜，剛度較低，精度低于傳統(tǒng)的三軸機床[1]。

目前，五軸數(shù)控機床平動軸的定位誤差已經(jīng)被廣泛研究[2]。ISO 230-3和ISO 1079-10給出了標(biāo)準(zhǔn)的旋轉(zhuǎn)軸變形測量與辨識方法。常見的旋轉(zhuǎn)軸誤差直接檢測法有激光干涉儀測量轉(zhuǎn)角定位誤差；常見的聯(lián)動檢測方法有球桿儀法[3]、平面光柵法[4]和R-test裝置法[5]。旋轉(zhuǎn)軸的各項誤差元素中，轉(zhuǎn)角定位誤差對加工精度的影響最大[6]。針對旋轉(zhuǎn)軸除轉(zhuǎn)角定位誤差之外的與位置相關(guān)誤差，文獻[7]提出了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型并補償，但轉(zhuǎn)角定位誤差建模與補償問題并未涉及。

對旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角定位誤差進行測量，對測量所得的誤差值，運用插值節(jié)點自適應(yīng)選擇的三次樣條插值進行建模，該模型具有擬合精度高、計算簡便直觀的優(yōu)點。建立基于數(shù)控系統(tǒng)外部坐標(biāo)原點偏置功能和以太網(wǎng)通訊的誤差實時補償系統(tǒng)，在VMC0656型五軸數(shù)控機床上進行補償實驗，驗證了模型的正確性和有效性，機床的轉(zhuǎn)角定位精度得到明顯提升。

2 基于三次樣條插值的轉(zhuǎn)角定位誤差建模

運用Renishaw激光干涉儀XR20-W對五軸機床VMC0656旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角定位誤差進行測量，其數(shù)據(jù)曲線，如圖1所示。轉(zhuǎn)角定位誤差曲線呈現(xiàn)非線性、變化波動大、正反向形狀不同的特點，需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，對其進行擬合。三次樣條曲線的光滑性好，通過插值節(jié)點的自適應(yīng)選擇，用較少的插值節(jié)點實現(xiàn)對非線性、波動大的誤差數(shù)據(jù)的高精度擬合。

圖1 C軸轉(zhuǎn)角定位誤差測量值Fig．1 Measured Rotary Positioning Error of C-Axis

2.1 三次樣條插值模型

在實際工程中，形狀曲線由一些離散的數(shù)據(jù)點來描述大致走向。為了進一步分析曲線，保證一定的光滑性要求，工程中普遍采用樣條插值擬合[8]。對曲線參數(shù)域［a，b］分段 Δu：a=u0＜u1＜…＜un=b，若實值函數(shù) s（u）滿足條件：

（1）每個小區(qū)間［ui，ui+1］（i=0，1，…，n-1）上是三次多項式；

則稱s（u）是f（u）的三次樣條插值函數(shù)。第i段三次多項式樣條插值函數(shù)表達式為：

式中：ui≤u≤ui+1，i=0，1，…，n-1；。將連續(xù)性條件：

代入三次多項式樣條插值函數(shù)，得：

式中：hi=ui+1-ui；gi=（Pi+1-Pi）/hi；Pi—第 i個插值節(jié)點函數(shù)值，Pi=f（ui）。

由式（3）、式（4）和式（5）可解得：

將自然邊界條件 s″（u0）=s″（un）=0 代入式（6），可解得三次樣條插值函數(shù)表達式。

2.2 插值節(jié)點自適應(yīng)選擇

運用樣條插值的方法進行數(shù)據(jù)處理時，要求在給定的逼近容差范圍內(nèi)，用盡可能少的插值節(jié)點逼近數(shù)字化數(shù)據(jù)描述的原始幾何，因此要求作為插值節(jié)點的數(shù)據(jù)點能很好地表達數(shù)據(jù)的幾何信息[9]。

對旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角定位誤差測量獲得的誤差數(shù)據(jù)點Pi（i=0，1，…，m）運用均勻參數(shù)化法進行參數(shù)化，獲得參數(shù)值ui，以及各數(shù)據(jù)點的曲率信息ki。三次樣條插值節(jié)點自適應(yīng)選擇算法選用兩個端點和局部最大曲率點作為插值根節(jié)點。局部最大曲率點[10]需要滿足要求：ki＞ki-1，且 ki＞ki+1。局部最大曲率點按照曲率 ki大小進行排序。兩個端點和曲率值最大的前n-1個局部最大曲率點作為n+1個插值節(jié)點，代入三次多項式樣條插值算法獲得初始插值函數(shù)s（u）。為了保證插值模型精度，令初始插值函數(shù)的預(yù)測殘差：

式中：i=0，1，…，m；s（ui）—模型預(yù)測誤差值；

Pi—誤差實際測量值；

ui—數(shù)據(jù)點Pi的參數(shù)化值；

ε—模型預(yù)測容許殘差。

若式（7）成立，即初始插值函數(shù)的預(yù)測殘差滿足容許殘差要求，則建模完成；若式（7）不成立，將殘差超過容許殘差的誤差數(shù)據(jù)點添加為新的插值節(jié)點，得到新的三次樣條插值模型，并根據(jù)式（7）對新模型進行精度判定。重復(fù)此過程直到模型殘差滿足精度要求，算法結(jié)束，獲得旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角定位誤差的三次樣條插值模型。三次樣條插值節(jié)點自適應(yīng)選擇算法流程圖，如圖2所示。

圖2 三次樣條插值節(jié)點自適應(yīng)選擇算法流程圖Fig．2 Algorithm Flow Chart of Cubic Spline Interpolation Nodes Adaptive Selection

2.3 正反雙向轉(zhuǎn)角定位誤差模型

由圖1可知，在旋轉(zhuǎn)運動方向不同時，正、反向轉(zhuǎn)角定位誤差曲線形狀相差較大，并存在交叉點，僅通過反向間隙補償效果不佳。需要對正、反向誤差曲線分別進行三次樣條插值建模，以此進行雙向補償。

圖3 正、反向轉(zhuǎn)角定位誤差模型預(yù)測值與測量值比較Fig．3 Comparison Between Measured and Predicted Rotary Positioning Error of Forward and Backward Direction

運用節(jié)點自適應(yīng)選擇的三次樣條插值算法對正、反向轉(zhuǎn)角定位誤差曲線進行建模。正、反向誤差曲線的預(yù)測誤差值、測量誤差值以及兩者相減所得的建模殘差，如圖3所示?？梢娬?、反向轉(zhuǎn)角定位誤差模型的擬合精度非常高，分別為1.2″和-0.86″。

3 補償實施及其結(jié)果

利用數(shù)控系統(tǒng)的外部坐標(biāo)原點偏置功能和以太網(wǎng)數(shù)據(jù)通訊功能，自主研發(fā)了誤差補償系統(tǒng)，并在雙轉(zhuǎn)臺五軸機床VMC0656上進行試驗，對轉(zhuǎn)角定位誤差進行補償，并將三次樣條插值模型與其他常見的誤差擬合模型進行了對比分析。

3.1 誤差補償系統(tǒng)

開發(fā)的誤差補償系統(tǒng)結(jié)構(gòu)，如圖4所示。補償系統(tǒng)的硬件平臺使用嵌入式計算機，通過數(shù)控機床以太網(wǎng)接口與Fanuc 31i數(shù)控系統(tǒng)進行通訊。數(shù)控系統(tǒng)可編程機床控制器（PMC）中的原點偏移功能將與實際誤差大小相等、方向相反的誤差補償值信號疊加到伺服控制信號中，實現(xiàn)誤差補償。一個補償循環(huán)可以在8ms之內(nèi)完成，F(xiàn)anuc 31i數(shù)控系統(tǒng)的以太網(wǎng)數(shù)據(jù)交互速度為100Mbps，可以滿足誤差誤差補償實時性的要求。補償系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，如圖8所示。

圖4 補償系統(tǒng)結(jié)構(gòu)框架圖Fig.4 Schematic Diagram of Compensation System

補償流程為：

（1）將測量儀器獲得的誤差測量文件導(dǎo)入補償軟件；

（2）補償軟件通過以太網(wǎng)交互方式讀取PMC中的機床旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)值和伺服運動方向信息；

（3）誤差預(yù)測模型以誤差測量值、機床坐標(biāo)值和伺服運動方向作為輸入，輸出誤差預(yù)測值；

（4）通過以太網(wǎng)交互方式向PMC輸出誤差預(yù)測值；（5）PMC模塊通過外部坐標(biāo)系原點偏移功能將誤差補償值與NC程序疊加，誤差補償值與誤差預(yù)測值大小相等、方向相反。PMC將原點偏移疊加后的NC程序輸出到伺服控制器中，實現(xiàn)旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角定位誤差的正反向?qū)崟r補償。

3.2 實驗驗證與模型對比

在VMC0656型五軸數(shù)控機床上進行了誤差補償實驗。目前數(shù)控系統(tǒng)自帶的螺距誤差補償功能可實現(xiàn)平動軸和旋轉(zhuǎn)軸的定位誤差補償，輸入測量點的測量誤差值即可實現(xiàn)補償；但由于旋轉(zhuǎn)軸正、反向轉(zhuǎn)角定位誤差曲線形狀差異較大，并存在交叉點，螺距誤差補償功能無法實現(xiàn)對正、反向轉(zhuǎn)角誤差分別進行誤差補償值輸入，因此補償效果較差。使用開發(fā)的誤差補償系統(tǒng)進行實驗，安裝，如圖5所示。為了比較三次樣條插值建模方法和其他常用誤差建模方法的差異，分別使用六次多項式模型、斜線插值模型、非均勻有理B樣條（NURBS）插值模型和三次樣條插值模型進行補償，四種模型的補償結(jié)果，如圖10、表1所示。其中三次樣條插值和非均勻有理B樣條插值模型的補償精度最高，斜線插值模型和六次多項式模型補償效果較差。

圖5 誤差補償系統(tǒng)安裝圖Fig.5 Installation of Compensation System

圖6 不同模型轉(zhuǎn)角定位誤差補償前后對比Fig.6 Comparison of Rotary Errors with and without Compensation by Different Models

表1 不同模型補償前后轉(zhuǎn)角定位誤差值Tab.1 Rotary Errors with and without Compensation by Different Models

多項式模型通過最小二乘法對誤差數(shù)據(jù)進行擬合，其優(yōu)點是可以保證轉(zhuǎn)角定位誤差擬合曲線二階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性，避免速度和加速度突變；但多項式模型的擬合精度較低，并存在高階過擬合現(xiàn)象，不易獲得較高的補償精度。

斜線插值使用各測量點的測量誤差值進行補償，各測量點之間使用直線連接，插值曲線在插值點處導(dǎo)數(shù)不連續(xù)，補償時會導(dǎo)致速度和加速度的突變，影響補償效果。

NURBS插值模型使用B曲線作為基函數(shù)進行分段插值，其優(yōu)點是插值點處可以保證誤差擬合曲線二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，避免速度加速度突變，補償效果好；但其求解過程復(fù)雜，計算量較大。

三次樣條插值模型可以保證誤差曲線的二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，避免速度和加速度突變；每段插值曲線為三次多項式，表達式簡潔直觀；通過自適應(yīng)插值節(jié)點的選取，在滿足插值精度的前提下，盡可能減少插值節(jié)點數(shù)，減少了計算量；結(jié)合旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動方向進行雙向補償，解決了正、反向誤差曲線差異大、有交叉的問題。通過補償實驗驗證，轉(zhuǎn)角定位誤差降低了94%，補償效果很好。

4 結(jié)論

（1）建立了基于Fanuc數(shù)控系統(tǒng)外部坐標(biāo)原點偏移功能和以太網(wǎng)通訊的誤差實時補償系統(tǒng)，結(jié)合三次樣條插值誤差預(yù)測模型對五軸數(shù)控機床旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角定位誤差進行了補償。

（2）建立了基于三次樣條插值的旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)角定位誤差預(yù)測模型，通過插值節(jié)點的自適應(yīng)選擇，保證模型擬合精度和計算速度；

（3）結(jié)合旋轉(zhuǎn)軸運動方向，對轉(zhuǎn)角定位誤差進行正反雙向建模與補償，補償結(jié)果表明：轉(zhuǎn)角誤差降低了94%。

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