大模數(shù)圓柱漸開線齒輪副變位系數(shù)的控制

李曉平，賁道春

（江蘇鵬飛集團股份有限公司，江蘇 海安 226623）

1 引言

傳統(tǒng)大模數(shù)齒輪設(shè)計中的變位系數(shù)計算都是以齒輪基本參數(shù)為設(shè)計依據(jù)，不考慮尺寸偏差對變位系數(shù)的影響，因而實際的滑動率與理論滑動率存在差異。從這一角度分析可知，即便設(shè)計十分完美，實際滑動率大小最終取決于尺寸偏差。對于中心距可適當(dāng)調(diào)整的大模數(shù)大型漸開線開式齒輪副，當(dāng)其中一個齒輪齒形加工超差面臨報廢將產(chǎn)生重大損失時，如何通過改變另一只齒輪的齒形參數(shù)，達到良好的嚙合性能，避免超差齒輪報廢，很少有人在這一方面進行研究。如何從設(shè)計和配對制造兩個角度對變位系數(shù)進行雙重控制，是值得研究的課題。

2 變位系數(shù)的設(shè)計控制

2.1 總變位系數(shù)的分配原則

變位系數(shù)是影響滑動率的重要因素[1]。按調(diào)整變位系數(shù)分配，均衡滑動率來分配變位系數(shù)[2]，盡可能使滑動率差趨近于0，這是齒輪設(shè)計的目標(biāo)和總變位系數(shù)的分配原則。通過多組變位系數(shù)分配的滑動率計算數(shù)據(jù)對比，找到最佳的總變位系數(shù)的分配方案，滿足滑動率差Δη趨近于0[3]167。

2.2 總變位系數(shù)分配和計算機輔助設(shè)計

表1 幾種齒輪副的變位系數(shù)分配Tab.1 Modification Coefficient Distribution of Kinds of Gear Pair（基于Δη≤0.0001，例x∑=1.3，β=6°）

達到滑動率差Δη趨近于0的計算過程繁瑣，原始的手工計算方法已經(jīng)不適應(yīng)現(xiàn)代設(shè)計要求，計算機輔助編程設(shè)計是最理想的方法。將獲得極小滑動率差的變位系數(shù)分配理念編入齒輪計算軟件，并能提高計算速度和數(shù)據(jù)的準確性，將滑動率差的目標(biāo)值作為迭代精度，并控制迭代精度不大于0.0001，即可求得要求精度的變位系數(shù)分配值?；讦う恰?.0001的幾種齒輪的xΣ分配數(shù)據(jù)（xΣ取1.3時），如表1所示。

2.3 尺寸偏差對Δη的影響及迭代精度分析

滑動率差Δη通常是基于齒形基本尺寸和參數(shù)的理論數(shù)據(jù)，理論滑動率差Δη與實際滑動率差Δη∑（即│η∑1-η∑2│）存在差異，這種差異因齒厚偏差等原因產(chǎn)生。受機床的精度限制，我們很難預(yù)知齒輪加工的最終齒形精確尺寸，即很難預(yù)知實際滑動率差Δη∑。實際滑動率η∑由理論滑動率和尺寸偏差產(chǎn)生的附加滑動率兩部分組成。如何確定理論滑動率差Δη的迭代精度，取決于機床精度和制造控制方法。計算機編程輔助設(shè)計具有極高的計算速度，極高的迭代精度雖然不增加設(shè)計難度和設(shè)計成本，但實際滑動率遠大于理論滑動率時，迭代精度再高也沒有意義。

加工過程中，公法線長度差值ΔWk與齒輪根圓半徑差值Δrf的關(guān)系為Δrf=0.5ΔWkctanαn。在大模數(shù)齒輪齒形加工中，一般根據(jù)該關(guān)系確定進刀深度得到最終加工尺寸（如壓力角αn為20°的齒輪最終徑向進刀深度（Δrf）為1.374ΔWk，壓力角αn為25°的齒輪最終徑向進刀深度為1.072ΔWk。）。則公法線長度的差值ΔWk與齒輪根圓直徑差值Δdf（即2Δrf）的關(guān)系為：

式中：Δdf—齒輪根圓直徑差值，mm；ΔWk—公法線長度差值，mm；αn—壓力角，°。

直齒輪根圓直徑差值Δdf與模數(shù)mn、變位系數(shù)極限差值Δxn的關(guān)系為：

式中：Δdf—齒輪根圓直徑差值，mm；mn—模數(shù)，mm；Δxn—變位系數(shù)極限差值。

根據(jù)式（1）和式（2）可以推導(dǎo)出變位系數(shù)差值Δxn、公法線長度差值ΔWk、模數(shù)mn和壓力角αn的關(guān)系為：

式中：Δxn—變位系數(shù)極限差值；ΔWk—公法線長度差值，mm；αn—壓力角，°；mn—模數(shù)，mm。

總變位系數(shù)差值 ΔxΣ為：ΔxΣ=Δx1+Δx2（4）

式中：ΔxΣ—總變位系數(shù)差值；Δx1—小齒輪變位系數(shù)極限差值；

Δx2—大齒輪變位系數(shù)極限差值。

根據(jù)式（3）和式（4）及有關(guān)滑動率計算公式推導(dǎo)出公法線長度極限偏差尺寸的滑動率η∑n：

式中：ηΣ1—小齒輪公法線長度極限偏差尺寸的滑動率；ηΣ2—大齒輪公法線長度極限偏差尺寸的滑動率；xΣ—原設(shè)計總變位系數(shù)；ΔxΣ—總變位系數(shù)差值；αn—壓力角，°。α′—嚙合角，°；αa1—小齒輪齒頂圓壓力角，°；αa2—大齒輪齒頂圓壓力角，°；z1—小齒輪齒數(shù)；z2—大齒輪齒數(shù)；zΣ—大小齒數(shù)和（z1+z2）。

表2 公法線長度極限偏差對滑動率的影響Tab.2 Influence of Base Tangent Length Limit Deviation to Sliding Rate（例：mn=36、z1/z2=23/202、αn=20°、β=0、xΣ=0.76、9-9-8HK/9-9-8KL、計算精度 1/1000000）

根據(jù)式（5）和式（6）可以計算出大小齒輪公法線長度上下偏差尺寸對應(yīng)的4個總滑動率數(shù)據(jù)。則齒輪副公法線長度上下偏差尺寸對應(yīng)4種滑動率差Δη∑（即│η∑1-η∑2│）數(shù)據(jù)。

以回轉(zhuǎn)窯等轉(zhuǎn)筒設(shè)備傳動齒輪副的直齒輪為例，進行滑動率差 Δη 的迭代精度需求分析：已知：mn=36，z1/z2=23/202、αn=20°、精度等級 9-9-8HK/9-9-8KL[4]6、[5]、6[6]5。公法線長度及其極限偏差為394.97--00..4720和2619.95--11..0450，如表2所示。根據(jù)式（3）得到大小齒輪的4種變位系數(shù)差Δxn分別為-0.016 027、-0.026 712和-0.040 067、-0.053423。再根據(jù)式（4）～式（10）得到公法線極限尺寸對應(yīng)的 4種滑動率差 Δη∑為 0.033 855、0.027 028 和 0.063 348、0.059 939，范圍為（0.027 028～0.063 348）。從表1 中可以看出，公法線長度處于極限值時ΔηΣ最小值約為0.027，計算精度0.01就能滿足設(shè)計要求。但是該例大小齒輪公法線長度變動公差只有0.08和0.17，遠小于公法線長度公差帶寬度0.28和0.35，分別約為29%和49%。齒輪副公法線長度變動公差范圍內(nèi)的滑動率差范圍是公法線長度極限偏差對應(yīng)的滑動率差范圍的較小區(qū)域，因此計算精度0.001就能滿足設(shè)計要求。如果齒輪副精度等級較高（如8-8-7級或7-7-6等更高等級），或采用高精度機床加工（如磨齒），實際滑動率差Δη∑就遠小于0.001；如果采用高精度機床加工，同時又通過改變加工工藝，在加工工程中進行變位系數(shù)的搭配控制，滑動率差Δη∑可能小于0.001，迭代精度取0.0001才能滿足要求。

3 變位系數(shù)的制造控制

3.1 制造尺寸偏差對滑動率差的影響

理論滑動率差Δη為0.000 014，如表1所示。而實際的滑動率差高達（0.027～0.063），相差數(shù)百倍，失去了原先高迭代精度設(shè)計控制滑動率差Δη的意義。因此，要達到滑動率差趨近于0，需要從制造角度進行控制。

3.2 搭配控制的概念

當(dāng)齒輪副其中一個齒輪加工完畢，即實際變位系數(shù)已經(jīng)明確的情況下，可以基于滑動率差的控制要求（如Δη≤0.0001），以該齒輪實際測量推算的變位系數(shù)為基礎(chǔ)數(shù)據(jù)“量身定制”另一個待加工齒輪，推算一個變位系數(shù)搭配值進行配對齒輪的加工。因此搭配控制設(shè)計是對一次設(shè)計的進一步完善。在回轉(zhuǎn)窯等轉(zhuǎn)筒設(shè)備大模數(shù)小批量大型齒輪的制造中應(yīng)用該技術(shù)，可以對加工超差齒輪配對制造以避免報廢造成巨大損失。大齒輪尺寸控制難度大于小齒輪，且小齒輪的公法線長度變動公差一般小于大齒輪變動公差。因此，為了減小搭配難度，節(jié)約加工時間，根據(jù)大齒輪的實際變位系數(shù)對小齒輪變位系數(shù)進行控制較為合理。

3.3 搭配控制計算方法

已加工大齒輪的實際變位系數(shù)是控制小齒輪變位系數(shù)已知條件。根據(jù)大齒輪實際變位系數(shù)對小齒輪原先設(shè)計的變位系數(shù)x1進行微調(diào)，找出Δη趨近于0的x1。為了節(jié)約計算時間，需比較原先設(shè)計的x2和實際值的大小，作為x1微調(diào)增減的依據(jù)，如表3所示。從表3分析可知，基于Δη=0的齒輪副隨著總變位系數(shù)xΣ變化分配后x1和x2同時增減。因此變位系數(shù)微調(diào)規(guī)律為同時增減。x1微調(diào)達到滑動率差Δη趨近于0的手工計算過程同樣繁瑣。將η1=η2編入齒輪計算軟件，x2作為已知條件，迭代精度取0.0001求得x1，可節(jié)省大量計算時間和提高計算數(shù)據(jù)的準確性。

表3 不同xΣ的齒輪副變位系數(shù)變化規(guī)律Tab.3 Modification Coefficient Change Rule of Gear Pairs with Different xΣ（例：mn/αn=30/20°、z1/z2=32/216、Δη＜0.0001）

3.4 搭配控制的應(yīng)用前景

搭配控制設(shè)計前后滑動率差比較，如表4所示。搭配控制可以消除變位系數(shù)的控制“盲區(qū)”，能最大限度減小滑動率差。從變位系數(shù)搭配控制角度分析，原先的變位系數(shù)分配是預(yù)設(shè)計，可以適當(dāng)降低迭代計算精度；加工過程中的變位系數(shù)搭配設(shè)計控制是最終的控制，需要較高的迭代計算精度。特別對于批量小的大型齒輪制造更能顯示出搭配控制的優(yōu)點。用搭配控制法加工齒輪可以增加配對驗收項目。

表4 搭配控制設(shè)計前后滑動率差比較Tab.4 Comparison of Sliding Rate Difference Before and After Matching Control Design（例：mn=36、z1/z2=23/202、αn=20°、β=0、9-9-8HK/9-9-8KL、計算精度 1/1 000 000、xΣ=0.76）

3.5 搭配控制達到的效果

表4是基于基本尺寸設(shè)計和滾切加工搭配控制的滑動率的舉例比較。從數(shù)據(jù)分析可以看出，基于基本尺寸設(shè)計的變位系數(shù)分配值不考慮尺寸偏差的影響，相當(dāng)于變位系數(shù)存在負值偏差（即0.420 3；搭配控制設(shè)計是以公法線長度變動公差對應(yīng)的變位系數(shù)變化量作為正負對稱公差（即0.415 634±0.005 342和0.293 466±0.006 6779）為依據(jù)的計算值。因此搭配控制的變位系數(shù)更接近目標(biāo)數(shù)值。曾經(jīng)有人利用優(yōu)化設(shè)計思想實現(xiàn)了變位系數(shù)的計算機取值［[7］；有人提出過齒輪副綜合誤差的類似概念，介紹用齒輪配對磨削法和齒形選配法[8]來降低齒輪副齒形綜合誤差；還有人提出過高精度齒輪的精密配對磨齒[9]。但沒有人提出過齒輪參數(shù)加工搭配法。搭配控制設(shè)計方法能盡量排除不定因素影響。搭配控制設(shè)計能將基于基本尺寸設(shè)計的滑動率差值可能的范圍（0.027～0.063）控制到（0～0.018）較小值范圍，滑動率差的控制范圍縮小70%以上。如果采用高精度機床加工（如磨齒加工），效果更加明顯，真正達到精確控制的目的。

4 結(jié)論

（1）通過計算機編程計算，可求得總變位系數(shù)xΣ分配的優(yōu)化值，理論滑動率趨近于0，使理論滑動磨損降低。（2）加工過程中采用變位系數(shù)搭配控制方法可彌補尺寸偏差對滑動率有較大影響的不足；或者可以對加工超差齒輪的配對制造避免報廢。通過計算機編程計算，可求得基于η1=η2的x2的理想搭配值x1。變位系數(shù)搭配控制保證實際滑動率差Δη趨近于0的效果比較明顯。（3）采用變位系數(shù)搭配控制方法制造齒輪副，可增加參數(shù)配對檢驗項目。

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［2］丁江.多面體螺旋曲線嚙合齒輪變速器幾何學(xué)設(shè)計理論研究［D］.廣州：華南理工大學(xué)，2014.（Ding Jiang.Study on geometrical design theory of polyhedral helix curve meshing wheel reducer［D］.Guangzhou：South China University of Technology，2014.）

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