基于動(dòng)態(tài)死亡率模型的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金研究

鄒小芃，楊芊芊，楊亞靜

（1.浙江越秀外國(guó)語(yǔ)學(xué)院，浙江紹興312002；2.浙江大學(xué)經(jīng)濟(jì)學(xué)院，杭州310027）

0 引言

自2000年步入老齡化社會(huì)以來(lái)，我國(guó)老年人口比例加速增長(zhǎng)。人口老齡化加速的直接原因包括出生率的下降和人均預(yù)期壽命的增長(zhǎng)兩方面。目前，我國(guó)的人均預(yù)期壽命表現(xiàn)出明顯的增長(zhǎng)趨勢(shì)，由2000年71.4歲上升至2015年的76.3歲。學(xué)界將人群未來(lái)的平均實(shí)際壽命高于預(yù)期壽命產(chǎn)生的風(fēng)險(xiǎn)定義為長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，如何發(fā)揮資本市場(chǎng)的作用應(yīng)對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，是亟待解決的一大問(wèn)題。

國(guó)內(nèi)外學(xué)者從年金產(chǎn)品設(shè)計(jì)的角度對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)管理進(jìn)行了理論研究，設(shè)計(jì)出多款年金產(chǎn)品，包括群體自助年金、長(zhǎng)壽指數(shù)終身年金、死亡率指數(shù)年金和高齡遞延年金等。然而，由于這些產(chǎn)品存在給付金額波動(dòng)較大，或給付開(kāi)始時(shí)間較晚等情況，對(duì)于年金購(gòu)買(mǎi)者的吸引力不大。文獻(xiàn)[4]結(jié)合長(zhǎng)壽指數(shù)終身年金和高齡遞延年金的特點(diǎn)，提出了長(zhǎng)壽指數(shù)延遲年金的設(shè)計(jì)思路，較好地平衡了年金提供者與年金購(gòu)買(mǎi)者的風(fēng)險(xiǎn)。

由于長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)來(lái)自于人群死亡率的非預(yù)期降低，因此對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的有效管理需要建立在對(duì)未來(lái)死亡率精確預(yù)測(cè)的基礎(chǔ)上。死亡率的預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)與未來(lái)實(shí)際死亡率越接近，相關(guān)金融工具的定價(jià)才越公平，利用其進(jìn)行長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)管理的效果越好。本文首先運(yùn)用動(dòng)態(tài)的Lee-Carter模型對(duì)我國(guó)死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)，構(gòu)建長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)來(lái)衡量系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的大小。然后在文獻(xiàn)[4]的基礎(chǔ)上，對(duì)動(dòng)態(tài)死亡率假設(shè)下的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金進(jìn)行定價(jià)，測(cè)算了一系列不同購(gòu)買(mǎi)時(shí)間、不同遞延期、不同利率、不同性別情況下的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金的價(jià)格和風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度。

1 死亡率預(yù)測(cè)

1.1 死亡率預(yù)測(cè)模型

國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者對(duì)死亡率預(yù)測(cè)模型進(jìn)行了探討，按照模型中是否考慮時(shí)間因素，可將死亡率模型分為靜態(tài)和動(dòng)態(tài)兩類(lèi)。前者假設(shè)死亡率只與個(gè)體的年齡有關(guān)，而與所處的日歷年無(wú)關(guān)。典型的靜態(tài)死亡率預(yù)測(cè)模型包括De Moivre模型、Gompertz模型、Makeham模型、Weibull模型等。靜態(tài)死亡率模型未考慮不同日歷年中死亡率的區(qū)別，不能反映出死亡率隨著時(shí)間推移逐漸降低的客觀趨勢(shì)，而動(dòng)態(tài)死亡率模型引入了時(shí)間因素，考慮到日歷年變化對(duì)死亡率的影響，能夠更準(zhǔn)確地對(duì)未來(lái)死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)。Lee和Carter在20世紀(jì)90年代提出經(jīng)典的Lee-Carter模型，在此模型中，死亡率的影響因素包括時(shí)間因素和年齡因素，而不包括社會(huì)因素、經(jīng)濟(jì)因素等較難量化的外界因素，因而計(jì)算過(guò)程較為簡(jiǎn)單且擬合情況較好，至今仍被廣泛使用。后續(xù)研究中，一些學(xué)者在經(jīng)典模型基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)，提出了RH隊(duì)列效應(yīng)模型、Currie模型、兩因素CBD模型等。由于中國(guó)人口死亡率數(shù)據(jù)的可得年份較短，而Lee-Carter模型對(duì)歷史數(shù)據(jù)的擬合效果較好，因此本文采用Lee-Carter模型對(duì)有限數(shù)據(jù)下的中國(guó)人口死亡率進(jìn)行擬合和預(yù)測(cè)，具體如下：

其中，lnmx,t表示在時(shí)間t時(shí)年齡為x歲的人群的中心死亡率自然對(duì)數(shù)值，參數(shù)αx表示各年齡段人群死亡率自然對(duì)數(shù)值的平均水平，kt表示t時(shí)中心死亡率整體水平的變化情況，系數(shù)βx描述對(duì)kt的敏感度，εx,j為隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)。

在模型參數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化處理的假定下，可以直接計(jì)算得到αx的估計(jì)值。經(jīng)典的Lee-Carter模型采用奇異值矩陣分解法（SVD）估計(jì)參數(shù)kt和βx，以往研究表明，利用SVD對(duì)美國(guó)等發(fā)達(dá)國(guó)家死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)的結(jié)果較為理想。然而，對(duì)時(shí)間序列kt做出準(zhǔn)確預(yù)測(cè)至少需要連續(xù)20年的死亡率數(shù)據(jù)，考慮到我國(guó)對(duì)死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行連續(xù)統(tǒng)計(jì)的年份不足20年，所以直接采用SVD對(duì)我國(guó)有限的死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測(cè)容易出現(xiàn)失誤。根據(jù)文獻(xiàn)[5]對(duì)多種參數(shù)估計(jì)方法的比較，本文采用加權(quán)最小二乘法（WLS）進(jìn)行估計(jì)，將死亡人數(shù)作為殘差平方和的權(quán)重，對(duì)參數(shù)kt和βx進(jìn)行估計(jì)。而后，運(yùn)用ARIMA模型推算出未來(lái)kt的預(yù)測(cè)值，再利用kt的預(yù)測(cè)值和、計(jì)算出死亡率的預(yù)測(cè)值。

1.2 數(shù)據(jù)采集與死亡率預(yù)測(cè)

本文選取1994—2012年共19年的全國(guó)人口分性別、分年齡的死亡率數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)的來(lái)源和調(diào)查樣本并不完全一致，其中1994年、1996—1999年、2001—2004年的死亡率數(shù)據(jù)來(lái)自于《中國(guó)人口統(tǒng)計(jì)年鑒》，2006—2009年、2011—2012年的數(shù)據(jù)來(lái)自于《中國(guó)人口與就業(yè)統(tǒng)計(jì)年鑒》，1995年和2005年的數(shù)據(jù)來(lái)自于全國(guó)1%的人口抽樣調(diào)查數(shù)據(jù)，2000年和2010年的數(shù)據(jù)來(lái)自于全國(guó)人口普查資料。為研究便利，本文假設(shè)百分之一的人口抽樣和全國(guó)人口變動(dòng)抽樣與全國(guó)人口普查數(shù)據(jù)具有同等質(zhì)量，并將死亡率數(shù)據(jù)的口徑統(tǒng)一為每千人中的死亡人數(shù)。不同于以往的死亡率預(yù)測(cè)研究以每5歲為一個(gè)年齡組的分組方法，本文發(fā)現(xiàn)同一年齡組內(nèi)各年齡的死亡率可能存在較大差別，例如，0～4歲年齡組內(nèi)0歲的死亡率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于1～4歲的死亡率，因此本文直接采用每一個(gè)年齡的死亡率數(shù)據(jù)進(jìn)行模型估計(jì)與預(yù)測(cè)。另外，在一般情況下，當(dāng)其他條件一致時(shí)，女性的死亡率往往低于男性的死亡率，因此本文分別對(duì)不同性別人口的死亡率進(jìn)行研究。

死亡率模型中αx表示各年齡人口死亡率的平均水平，圖1和圖2分別給出了不同年齡男性和女性人口死亡率模型中參數(shù)αx的估計(jì)值。由圖1和圖2可以看出，男性人口和女性人口的αx圖線(xiàn)相似度較高，均呈現(xiàn)對(duì)勾形，αx的取值在低齡段和高齡段較大，這說(shuō)明無(wú)論對(duì)于男性還是對(duì)于女性，其死亡率很大程度上與年齡有關(guān)。當(dāng)年齡小于10歲時(shí)，死亡率水平隨著年齡的增長(zhǎng)而下降；當(dāng)年齡在10—25歲時(shí)，死亡率水平在波動(dòng)中逐漸提高，波動(dòng)幅度較大；而在25歲之后，平均死亡率水平隨著年齡的增加而逐漸增加，男性人口到61歲時(shí)，平均死亡率水平數(shù)值已經(jīng)超過(guò)了0歲新生兒的死亡率，并繼續(xù)保持高速增長(zhǎng)，而女性人口的這一數(shù)值為77歲。

圖1 不同年齡男性人口的αx估計(jì)值

圖2 不同年齡女性人口的αx估計(jì)值

年齡因子βx反映了各年齡組死亡率自然對(duì)數(shù)值相對(duì)于kt而言上升或下降的速度，圖3和圖4分別展示了不同年齡男性人口和女性人口死亡率模型中參數(shù)βx的估計(jì)值。男性人口與女性人口的βx估計(jì)值圖線(xiàn)的走勢(shì)一致，即都是隨著年齡的增加而波動(dòng)下降，但不同年齡段、不同性別的波動(dòng)幅度并不相同。分年齡段來(lái)看，在10～30歲期間，βx的波動(dòng)幅度較大，且數(shù)值相對(duì)較大；而高齡段的βx數(shù)值波動(dòng)性較小，說(shuō)明高齡段的死亡率隨時(shí)間的變化程度不大。分性別來(lái)看，女性人口βx估計(jì)值普遍大于男性人口的βx值，說(shuō)明女性人口的死亡率自然對(duì)數(shù)值相對(duì)于kt而言上升或下降的速度更快。男性人口參數(shù)βx的最大值為0歲對(duì)應(yīng)的0.035，而對(duì)于女性人口而言，雖然0～1歲年齡段對(duì)應(yīng)的βx值也較高，但其峰值出現(xiàn)在25歲前后。另外，女性人口βx的波動(dòng)性也大于男性人口的情況，尤其在10～30歲期間，女性人口βx的最大值和最小值之間相差0.12，而男性人口的這一差值僅為0.02，這說(shuō)明相對(duì)男性而言，女性人口死亡率對(duì)時(shí)間的變化更為敏感。

圖3 不同年齡男性人口的βx估計(jì)值

圖4 不同年齡女性人口的βx估計(jì)值

根據(jù)AIC、BIC信息準(zhǔn)則，利用ARIMA（0,1,0）模型對(duì)1994—2012年期間的時(shí)間序列kt進(jìn)行擬合和估計(jì)，男性和女性的擬合情況分布如5和圖6所示，用該模型對(duì)2013—2042年期間的kt進(jìn)行預(yù)測(cè)。預(yù)測(cè)結(jié)果顯示，kt總體上呈現(xiàn)逐漸下降的趨勢(shì)，這表明隨著時(shí)間的推移，死亡率水平在不斷地減小，這與歷年死亡率逐漸降低的趨勢(shì)相吻合；各年份女性人口死亡率的kt預(yù)測(cè)值普遍低于男性人口的預(yù)測(cè)值，主要原因是同年齡段的女性死亡率往往低于男性。

圖5 男性人口的kt估計(jì)值擬合情況

圖6 女性人口的kt估計(jì)值擬合情況

利用上述的估計(jì)值以及kt的預(yù)測(cè)值，計(jì)算得到不同日歷年中各年齡段的死亡率數(shù)值，由于養(yǎng)老年金產(chǎn)品主要涉及退休人群的死亡率數(shù)據(jù)，因此本文主要針對(duì)高齡人群的死亡率進(jìn)行分析。下頁(yè)圖7和圖8分別為60歲、70歲、80歲、90歲及以上這四個(gè)年齡段不同性別人口在不同年份的死亡率的變化趨勢(shì)，從圖中可以看出，死亡率水平隨著年齡的增大而提高，且90歲以上這一人群的死亡率遠(yuǎn)高于其他三個(gè)年齡段的死亡率；同一年齡段的死亡率隨著時(shí)間的推移逐漸下降，這也與社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展規(guī)律相吻合。對(duì)比不同性別的死亡率水平，可以發(fā)現(xiàn)同一年齡段的男性人口的死亡率普遍高于女性人口的死亡率。

圖7 不同年齡男性人口的死亡率變化情況

圖8 不同年齡女性人口的死亡率變化情況

2 長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金

2.1 動(dòng)態(tài)死亡率假設(shè)下的遞延年金定價(jià)

遞延年金與即期年金的主要區(qū)別在于年金開(kāi)始給付的時(shí)間不同，遞延年金存在一個(gè)基金的累積期，在x0歲時(shí)一次性繳費(fèi)購(gòu)買(mǎi)后不立即給付，而是等到指定年齡x0+τ后才開(kāi)始給付。年齡為x0歲的投保人購(gòu)買(mǎi)的每期支付額為1元的遞延年金的價(jià)格為：

其中，DA(x0,r,τ)為遞延年金的價(jià)格，IA(x0+r)為即期年金的價(jià)格，ω表示最終壽命，ω-x0表示x0歲的人的預(yù)期余命，tPx0=Px0*px0+1*Px0+2*…Px0+t-1，表示年齡為x0歲的人至少還能活t年的概率，r為利率。

式（2）為文獻(xiàn)[4]中提出的傳統(tǒng)精算定價(jià)模型，建立在同一年齡段的死亡率不隨時(shí)間變化的假設(shè)之上。但是由前面的死亡率估計(jì)結(jié)果可知，死亡率會(huì)隨著時(shí)間的推移不斷改善，如果一直采用傳統(tǒng)精算定價(jià)模型中的靜態(tài)死亡率假設(shè)，會(huì)導(dǎo)致年金產(chǎn)品定價(jià)偏低，且這一偏差是不能通過(guò)大數(shù)法則加以分散的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。因此，有必要在年金精算定價(jià)模型中引入動(dòng)態(tài)死亡率的假設(shè)。本文對(duì)定價(jià)模型進(jìn)行調(diào)整，考慮了相同年齡段人口在不同日歷年中的死亡率差異。

考慮時(shí)間因素后，年齡為x0歲的投保人在日歷年t0購(gòu)買(mǎi)的每期支付額為1元的即期年金的價(jià)格為：

其中，x0歲的人的預(yù)期余命ω-x0由生存概率決定，后者表示在t0時(shí)刻年齡為x0歲的人至少還能活t年的概率。

考慮時(shí)間因素后，年齡為x0歲的投保人在日歷年t0購(gòu)買(mǎi)的每期支付額為1元的遞延年金的價(jià)格為：

2.2 長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金設(shè)計(jì)

長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金通過(guò)在定價(jià)模型中引入長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)，將年金產(chǎn)品的每期給付與長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)掛鉤，進(jìn)而調(diào)節(jié)實(shí)際死亡率非預(yù)期性變動(dòng)所帶來(lái)的系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)是衡量系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的有效指標(biāo)，年金提供者在日歷年t0+t所面臨的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)L計(jì)算方法如式（5）所示：

當(dāng)死亡率非預(yù)期性下降，真實(shí)存活率不斷上升時(shí)，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)增大，說(shuō)明年金提供者所面臨的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)增加；反之，當(dāng)死亡率提高，真實(shí)存活率降低時(shí)，年金提供者需要支出的年金給付額低于預(yù)期值，其所面臨的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)也隨之降低。因此，可以用長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)來(lái)衡量年金提供者所面臨的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)大小。

通過(guò)在年金產(chǎn)品定價(jià)模型中引入長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)，可以將年金產(chǎn)品的每期給付與系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)掛鉤，例如將每期給付設(shè)定為1/Lt0+t，當(dāng)真實(shí)存活率上升，人口平均壽命延長(zhǎng)時(shí)，年金提供者所面臨的系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)增大，每期給付降低，由此可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)在年金提供者和購(gòu)買(mǎi)者之間的分擔(dān)。

2.3 長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金定價(jià)

考慮時(shí)間因素，年齡為x0歲的投保人在日歷年t0購(gòu)買(mǎi)的每期支付額為1/Lt0+t元的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)即期年金的價(jià)格為：

在長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)即期年金的基礎(chǔ)上，如果年金的給付不是從即期開(kāi)始，而是當(dāng)退休人員達(dá)到指定年齡x0+τ后才開(kāi)始給付，就形成了本文所研究的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金。年金提供者所面臨的風(fēng)險(xiǎn)包括實(shí)際利率波動(dòng)的風(fēng)險(xiǎn)、非系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)以及實(shí)際死亡率非預(yù)期性降低造成的系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)等多項(xiàng)風(fēng)險(xiǎn)。本文假設(shè)：（1）年金不存在利率風(fēng)險(xiǎn)，在年金存續(xù)期間內(nèi)利率是固定值r；（2）只考慮退休人員在x0歲時(shí)以躉繳方式購(gòu)買(mǎi)年金的情況?；谝陨霞僭O(shè)，在日歷年t0時(shí)年齡為x0歲的退休人員購(gòu)買(mǎi)、到x0+τ歲開(kāi)始給付、每期給付額為1/Lt0+t的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金的價(jià)格為：

長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金的設(shè)計(jì)理念本質(zhì)上是一種利益共享與風(fēng)險(xiǎn)共擔(dān)的機(jī)制：通過(guò)將每期給付與長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)掛鉤，可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)在年金提供者和年金購(gòu)買(mǎi)者之間的分擔(dān)，如果真實(shí)存活率非預(yù)期性下降，那么雙方可以共享收益，反之，如果真實(shí)存活率非預(yù)期性上升，則雙方共同承擔(dān)損失。雙方對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的具體承擔(dān)比例可以在年金設(shè)計(jì)中進(jìn)行規(guī)定，如果系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)完全由年金購(gòu)買(mǎi)者承擔(dān)，可能出現(xiàn)在死亡率非預(yù)期性大幅下降的情況下，在年金給付額極低的情況，這種現(xiàn)象會(huì)嚴(yán)重影響年金購(gòu)買(mǎi)者當(dāng)年的生活水平，違背了年金購(gòu)買(mǎi)者保障退休后生活質(zhì)量的初衷。

鑒于退休人員的風(fēng)險(xiǎn)厭惡程度通常較高，一般不愿意承擔(dān)全部系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，年金提供者可以通過(guò)改變每期給付與長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)的掛鉤程度來(lái)限制每期給付的波動(dòng)幅度。假設(shè)規(guī)定每期給付的波動(dòng)上限和下限分別為cap和floor(0＜floor＜1＜cap)，例如當(dāng)cap=1.2，floor=0.8時(shí)，可將每期給付的波動(dòng)幅度限制在20%以?xún)?nèi)。設(shè)定上下限后的每期給付表達(dá)式為：

相應(yīng)的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金的定價(jià)模型為：

本文利用數(shù)值法，針對(duì)在不同日歷年t0時(shí)年齡為60歲的退休人員，計(jì)算他們購(gòu)買(mǎi)每期給付上下限分別為0.8和1.2的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金的價(jià)格，并提供了一系列不同利率及不同遞延期情況下的年金價(jià)格，部分結(jié)果如表1和表2所示。

以60歲女性人口購(gòu)買(mǎi)年金產(chǎn)品為例，分產(chǎn)品來(lái)看，當(dāng)其他因素不變時(shí)，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金的價(jià)格低于長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)即期年金的價(jià)格，而后者的價(jià)格低于普通即期年金的價(jià)格，例如，假設(shè)t0=2004，r=3%保持不變，普通即期年金、長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)即期年金及τ=5的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金的價(jià)格分別為16.841元、16.184元和10.635元，說(shuō)明長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金相比普通的即期年金具有價(jià)格上的優(yōu)勢(shì)。

從總體上來(lái)看，年金的價(jià)格與性別、購(gòu)買(mǎi)年份、遞延期的長(zhǎng)度以及利率的高低這四個(gè)因素都有關(guān)系，對(duì)于同一購(gòu)買(mǎi)時(shí)間購(gòu)買(mǎi)的具有相同遞延期和利率的年金產(chǎn)品而言，男性人口的年金價(jià)格低于女性人口的年金價(jià)格，這是由于女性的存活率高于男性的存活率；當(dāng)性別相同時(shí)，年金價(jià)格隨著購(gòu)買(mǎi)年份的推遲、遞延期的延長(zhǎng)、利率的增大而降低，例如一位在2014年達(dá)到60歲的男性只需要花0.122元，即可購(gòu)買(mǎi)一份遞延期為25年、利率為5%的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金，而后在85歲至去世前的每一年獲得每期0.8～1.2元的年金給付。

表1 60歲男性人口購(gòu)買(mǎi)IA、LRIIA、LRIDA的價(jià)格

表2 60歲女性人口購(gòu)買(mǎi)IA、LRIIA、LRIDA的價(jià)格

從單個(gè)因素來(lái)看，購(gòu)買(mǎi)年份對(duì)年金價(jià)格的影響較小，這表明：雖然近年來(lái)人口死亡率隨著時(shí)間的推移而降低，但下降幅度較小。例如，保持遞延期τ=5和利率r=3%不變，在2004年、2009年和2014年達(dá)到60歲的男性購(gòu)買(mǎi)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金的價(jià)格分別為9.082元、9.078元和9.071元。利率因素和遞延期限對(duì)年金價(jià)格的影響較大。從遞延期限來(lái)看，同樣是在2004年購(gòu)買(mǎi)的利率為5%的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金，遞延期為5年的年金價(jià)格為6.3元，而遞延期為25年的年金價(jià)格僅為0.122元。這表明遞延期越長(zhǎng)，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金的價(jià)格優(yōu)勢(shì)越明顯。從利率因素來(lái)看，保持購(gòu)買(mǎi)時(shí)間和遞延期不變，年金的價(jià)格隨著利率的提高而降低，這主要是由于利率越高，投資者要求的必要報(bào)酬率越高，則年金的價(jià)格越低。利率對(duì)價(jià)格的影響程度受遞延期的影響較大，遞延期越長(zhǎng)，年金未來(lái)現(xiàn)金流的折現(xiàn)期數(shù)越多，利率變動(dòng)對(duì)年金價(jià)格的影響程度越大。

2.4 系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度的測(cè)量

參照以往研究，本文以長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金相對(duì)于普通即期年金在價(jià)格上的差異程度作為衡量系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度的指標(biāo)。以男性人口的情況為例，圖9和圖10分別為t0=2004和t0=2014時(shí)不同遞延期（τ=0表示LRIIA）、不同利率所對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度。對(duì)比圖9和圖10可以發(fā)現(xiàn)，日歷年t0對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度的影響不大，且隨著遞延期的延長(zhǎng)，其影響逐漸減小。當(dāng)遞延期為0，r=3%時(shí)，t0=2004和t0=2014情況下長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移程度分別為3.28%和7.16%；而遞延期為25年，r=5%時(shí)，t0=2004和t0=2014情況下長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移程度均為99.01%，這時(shí)不同的日歷年對(duì)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度已沒(méi)有影響。另外，當(dāng)遞延期和日歷年不變時(shí)，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度隨著利率的增大而提高。長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度對(duì)遞延期的變化最為敏感，遞延期越長(zhǎng)，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度越大。當(dāng)τ=0時(shí)，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度均低于10%，而當(dāng)τ=25時(shí)，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度達(dá)到了99%。從數(shù)值上來(lái)看，長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)即期年金的風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度不足10%，而長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金的長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度在40%～99%不等，達(dá)到了由年金提供者與購(gòu)買(mǎi)者共同承擔(dān)長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)的目的。

圖9 系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度（t0=2004）

圖10 系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移程度（t0=2014）

3 結(jié)論

本文的結(jié)果表明：死亡率會(huì)隨著時(shí)間的推移不斷改善，如果采用傳統(tǒng)精算定價(jià)模型中的靜態(tài)死亡率假設(shè)，會(huì)導(dǎo)致年金產(chǎn)品定價(jià)偏低，且這一偏差不能通過(guò)大數(shù)法則加以分散，屬于系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)。因此，有必要在年金精算定價(jià)模型中引入動(dòng)態(tài)死亡率的假設(shè)，考慮不同日歷年中死亡率的差異。

長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)遞延年金通過(guò)將每期給付與長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)掛鉤，能夠?qū)崿F(xiàn)部分系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)從年金提供者向年金購(gòu)買(mǎi)者的轉(zhuǎn)移。對(duì)于年金提供者而言，該年金產(chǎn)品幫助其分擔(dān)了部分系統(tǒng)性長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，提高了機(jī)構(gòu)經(jīng)營(yíng)的穩(wěn)定性；對(duì)于年金購(gòu)買(mǎi)者而言，可以在自身風(fēng)險(xiǎn)承受范圍內(nèi)選擇相應(yīng)的年金產(chǎn)品，從而有效地規(guī)避自身實(shí)際壽命超出預(yù)期的個(gè)體長(zhǎng)壽風(fēng)險(xiǎn)，同時(shí)由于承擔(dān)了部分系統(tǒng)性風(fēng)險(xiǎn)，可以享受年金產(chǎn)品價(jià)格的優(yōu)惠，以較低的價(jià)格獲得較高的風(fēng)險(xiǎn)覆蓋程度。

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