近非齊次指數(shù)離散灰色直接模型的適用范圍及拓展

田念，魏勇

（西華師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川南充637000）

0 引言

GM（1,1）模型作為灰色系統(tǒng)理論核心內(nèi)容之一已經(jīng)廣泛應(yīng)用于社會、經(jīng)濟(jì)、科技等眾多領(lǐng)域中[1-3]。然而在使用的過程中，學(xué)者發(fā)現(xiàn)GM（1,1）模型對近似齊次指數(shù)序列有較高的精度，對近似非齊次指數(shù)序列的模擬效果不佳。為了解決此問題，許多學(xué)者又把目光轉(zhuǎn)向近似非齊次指數(shù)序列，對近似非齊次指數(shù)序列做了許多相應(yīng)的研究，余逗[4]提出了適用于原始序列為近似非齊次指數(shù)律的GM(1,1)X新模型：劉常麗[5]為消除模型誤差運用為近似非齊次指數(shù)序列GM(1，1)模型的背景值得到相應(yīng)的白化微分方程：陳芳[6]運用向前差商和向后差商的加權(quán)平均值λ [x(1)(k)-x(1)(k-1)]+(1-λ)[x(1)(k+1)-x(1)(k)]作為近非齊次指數(shù)序列GM(1,1)模型的灰導(dǎo)數(shù)來優(yōu)化模型；崔興凱[7]運用x(0)(k)的加權(quán)均值序列px(0)(k)+(1-p)x(0)(k-1)為近非齊次指數(shù)序列GM(1，1)的灰導(dǎo)數(shù)來對模型進(jìn)行優(yōu)化和應(yīng)用；崔杰等[8]根據(jù)經(jīng)典灰色模型的建模機理,構(gòu)建了一種基于近似非齊次指數(shù)離散函數(shù)的新灰色預(yù)測模型,利用最小二乘法和矩陣運算法推演出該新灰色模型參數(shù)的計算公式,并以微分方程為推理工具,求出了新灰色預(yù)測模型的模擬時間響應(yīng)序列函數(shù)，即新灰色NGM(1,1,K)模型；王正新等[9]提出一種更為合理的背景值計算公式,從而優(yōu)化了離散GM(1,1)模型,數(shù)據(jù)模擬和模型比較表明,優(yōu)化后的模型模擬和預(yù)測精度有顯著提高；謝乃明[10]針對非齊次指數(shù)增長規(guī)律的情況提出了NDGM（Non-Homogeneous Discrete Grey Model)離散模型，離散模型并不再與相應(yīng)的白化微分方程相聯(lián)系，直接從灰色方程x(1)(k+1)=β1x(1)(k)+β2k+β3角度來研究灰色預(yù)測模型；戰(zhàn)立青[11]提出了近似非齊次指數(shù)數(shù)據(jù)的灰色建模方法，同時運用最小二乘優(yōu)化了初始條件；姜愛平[12]針對現(xiàn)實中大量存在的非等間距近似非齊次指數(shù)序列，根據(jù)非等間距灰色模型建模機理，提出一個非等間距非齊次灰色模型，推導(dǎo)出模型參數(shù)的最小二乘估計及時間響應(yīng)函數(shù)表達(dá)式等；童明余等[13]從近似非齊次指數(shù)序列的GM(1,1)模型時間響應(yīng)函數(shù)出發(fā),推導(dǎo)累加序列間的函數(shù)遞推關(guān)系,并給出求解時間響應(yīng)函數(shù)參數(shù)值的直接估計方法，構(gòu)建一種能同時模擬近似齊次和近似非齊次指數(shù)序列的新NGM(1,1)模型；高明[14]從穆勇的研究成果背景值的一種優(yōu)化表達(dá)式(1-λ)x(1)(k-1)以及形如x(0)(k)=beak+c的近似非齊次指數(shù)序列出發(fā),發(fā)現(xiàn)x(0)(k)和x(1)(k)具有形如x(0)(k+1)=β1x(0)(k)+β2x(1)(k)+β3k+β4的關(guān)系式，得到一種適用于非齊次指數(shù)增長序列的直接型離散灰色模型；曾波[15]在文獻(xiàn)[16]的思想啟發(fā)下提出了DGM(1,1)直接建模法。因為傳統(tǒng)灰色預(yù)測模型是通過對原始數(shù)列進(jìn)行累加來找尋蘊含的灰指數(shù)規(guī)律，然而在原始數(shù)列為近似非齊次指數(shù)序列的前提下，若仍然對原始序列進(jìn)行累加生成，反而會破壞原始數(shù)列的近似非齊次指數(shù)特征，從而導(dǎo)致模型失真。因此，這種不必對原始序列進(jìn)行累加以及累減還原過程的建模方法，稱之為DGM(1,1)直接建模法，簡稱DDGM(1,1)模型；謝乃明等[17]研究了近非齊次指數(shù)序列離散灰色預(yù)測模型在區(qū)間灰數(shù)序列的預(yù)測等。

以上文獻(xiàn)都是針對近齊次指數(shù)序列和近非齊次指數(shù)序列等指數(shù)序列而言的，然而在生活中,并不是所有的序列都是近齊次指數(shù)序列或近非齊指數(shù)序列。比如線性增減序列及其與指數(shù)增減的組合序列，拋物型增減序列等都既不是近齊次，又不是近非齊次,甚至可能不單調(diào)；自然前面所討論的各種模型模擬效果都不會很理想。為解決此問題，本文將文獻(xiàn)[10]研究的遞推關(guān)系近似為x(1)(k+1)=β1+β2k+β3x(1)(k)通過直接建模轉(zhuǎn)化成研究遞推關(guān)系近似為x(0)(k+1)=β1+β2k+β3x(0)(k)的建模，然后在由遞推關(guān)系推導(dǎo)擬預(yù)測公式通項后發(fā)現(xiàn)適用范圍除了近非齊次指數(shù)序列外，還有線性增減以及他們的組合序列，甚至還有拋物型序列，給出了近似這些特殊序列建模的參數(shù)估計方法；并證明了模型對這些特殊序列具有白化指數(shù)重合性、白化系數(shù)重合性，即(0)(k)=x(0)(k)，然后通過優(yōu)化初始條件,使得本文模型的模擬預(yù)測精度再次得到提高。

1 近似非齊次指數(shù)序列的灰色離散GM(1,1,β)模型

定義1[10]：設(shè)非負(fù)原始序列X（0）=(x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n))，X(1)為X(0)的一次累加序列X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),...,x(1)(n))，其中，稱式（1）為近似非齊次指數(shù)序列GM(1,1,β)模型的離散形式。

適用范圍是一次累加近似滿足x(1)(k+1)=β1+β2k+β3x(1)(k)的序列，由遞推公式和累減還原可推得原始序列適用范圍為非齊次指數(shù)形式：x(0)(k)=pβ3k+q,k=2,3,...,n,其中

2 近非齊次指數(shù)離散灰色模型直接建模

2.1 模型構(gòu)造

定義2：設(shè)非負(fù)原始序列X（0）=（x(0)(1),x(0)(2),...,x(0)(n))，稱式（2）為近似非齊次指數(shù)序列離散形式的GM(1,1,β)的直接建模模型。

這里

證明：分別取式（1）中k=2,3,...,n,可以得到：

把y(i)依次帶入y(i+1),i=2,3,....,k,可得到：

當(dāng)β3=0時，x(0)(k+1)=β1+kβ2,k=1,2,3,...,n-1。

當(dāng)β3≠0,1時，由等比數(shù)列求和公式得β1[1+β3+…+，又由初等數(shù)學(xué)技巧不難得到：于是k=1,2,...,n-1。則綜合可知：

進(jìn)一步歸納總結(jié)可知：

證畢。

2.2 模型解的兩大基本類型及適用范圍

通過由定理1公式（3）可將解分為兩大基本類型：

（1）若β3=1，令，則x(0)(k)=Ek2+Fk+G。我們稱這種形式的序列為拋物型序列。特別地，若β3=1，且β2=0，則拋物型序列退化為線性型序列。

若β3=0，令M=β2,N=β1-β2,則x(0)(k)=Mk+N。我們稱這種形式的序列為線性型序列。

（2）若β3≠0,1，令

這種指數(shù)型與線性型組合序列實際上有以下三種特殊情形的組合：

當(dāng)初始條件x(0)(1)=0時，有A=0，x(0)(k)=Bk+C為線性型序列。

當(dāng)β2=0時，有B=0，x(0)(k)=Aβ3k+C為熟知的非齊次指數(shù)序列。

當(dāng)β1=β2=0時，有B=C=0，x(0)(k)=Aβ3k為熟知的齊次指數(shù)序列。

從以上可以看出：通項同為x(0)(k)=Bk+C線性型序列，其遞推關(guān)系式卻有三種不同表達(dá)式，分別假定β3=1，β3=0，β3≠0,1都有與之對應(yīng)的β1,β2,β3組成遞推公式x(0)(k+1)=β1+β2k+β3x(0)(k)。

2.3 模型解的性質(zhì)

既然模型的解只有這兩種基本形式，顯然只有對近似于這兩類基本形式的原始序列才可能有較好的模擬效果，現(xiàn)在本文證明在原始序列已經(jīng)是這兩類基本類型的情形，模擬值將與原始值完全重合。

定理2：若原始序列為形如x(0)(k)=c1+c2k+qkc3,k=1,2,3,...,n 的指數(shù)型和線性型的組合序列，則(0)(k)=x(0)(k)，即本文模型對指數(shù)和線性組合形式序列具有白化指數(shù)重合性、白化系數(shù)重合性。

證明：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為形如x(0)(k)=c1+c2k+qkc3,k=1,2,3,...,n ，根據(jù)定義2可得：

即對形如x(0)(k)=c1+c2k+qkc3的序列，模擬值與實際值完全相同，換句話說只有計算誤差，從而對近似于這些類型的序列都有較高的模擬預(yù)測精度。

定理3：若原始序列為形如x(0)(k)=m3k2+m2k+m1，k=1,2,3,...,n 拋物型序列，則(0)(k)=x(0)(k)，即本文模型對拋物型序列（m3≠0）和線性型序列（m3=0）均具有白化系數(shù)重合性。

證明：設(shè)原始數(shù)據(jù)序列為形如x(0)(k)=m3k2+m2k+m1，k=1,2,3,...,n 的拋物序列，根據(jù)定義2可知：

即本文模型對形如x(0)(k)=m3k2+m2k+m1的拋物型序列而言，模擬值與實際值完全相同，換句話說只有計算誤差，沒有模型誤差。

除了嚴(yán)格滿足這三種基本類型的序列沒有誤差外，近似滿足這兩種基本類型的序列也應(yīng)有較高的模擬預(yù)測精度，這就是本模型的適用范圍。

2.4 模型初始條件的優(yōu)化

模型建模通常是選取實際初始值作為灰色模型的初始條件，也即指數(shù)曲線通過第一個點，但總體規(guī)律不一定過這個點。當(dāng)實際初始值偏離整體規(guī)律時，這樣建立的模型也會偏離整體規(guī)律，得到的模型會有較大的誤差。所以為了減少誤差，本文運用模擬值和原始值的誤差平方和最小確定最優(yōu)初始條件。設(shè)初始條件為(0)(1)=c,選取c使得原始序列與其模擬值的誤差平方和最小。即可得：

3 模型建模精度比較

3.1 理論數(shù)據(jù)建模比較

例1：為了模擬指數(shù)增減和線性增減序列組合灰色預(yù)測模型，本文引用文獻(xiàn)[15]中的4組不同形狀的數(shù)據(jù)建模,而本文在此基礎(chǔ)上構(gòu)建5組新的數(shù)據(jù)X5-X9序列。其中X1={1.2,2.9,4.2,5.1,5.8}為上升指數(shù)序列，X2={5.8,5.1,4.2,2.9,1.2}為下降指數(shù)序列，X3={5,11,29,83,245}為嚴(yán)格非齊次指數(shù)函數(shù)序列，X4={1.4,2.0,2.8,3.9,5.4}為近似非齊次指數(shù)函數(shù)序列，X5={5，16，45，128，373}為嚴(yán)格的指數(shù)和線性的組合序列，X6={1.4,3.4,6.2,10.1,15.5}為近似指數(shù)增長和線性增長序列，X7={-15.2817,-30.6109,-37.9145,-23.4018,50.4132}為嚴(yán)格指數(shù)增和線性減組合波動序列，X8={13.2817,23.6109,25.9145,6.4018,-72.4132}為嚴(yán)格指數(shù)減和線性增的組合波動序列波動序列，X9={4,11,22,37,56}為嚴(yán)格拋物序列。并將本文提出的模型與文獻(xiàn)[15]提出的兩種直接建模模型進(jìn)行比較，其中模型1為文獻(xiàn)[15]中的DGM(1，1)模型，模型2為文獻(xiàn)[16]中的DDGM（1,1）模型，本文模型沒有優(yōu)化初始值的模型為模型3；本文優(yōu)化了初始值的模型為模型4。通過表1進(jìn)行相應(yīng)的比較，分析模擬結(jié)果并比較模擬精度。

根據(jù)文獻(xiàn)[15]知，模型1的最終表現(xiàn)形式是離散齊次指數(shù)函數(shù)，模型2的表現(xiàn)形式是近非齊次指數(shù)函數(shù)，故根據(jù)模型的這一特征可知模型1適用于齊次指數(shù)序列，模型2適用于齊次或非齊次指數(shù)序列，而本文的模型既適用于齊次或非齊次指數(shù)序列又適用于波動序列、拋物序列等。由于X1和X2都是近齊次指數(shù)序列，故模型1和模型2與本文兩種模型對X1和X2都有很好的效果，模擬精度（此處規(guī)定為：1-平均相對誤差）相差不大；X3序列是高增長但為嚴(yán)格非齊次指數(shù)序列，而模型2和本文模型對這類序列都有指數(shù)重合性，故都沒有誤差；且根據(jù)序列X1-X9的模擬數(shù)據(jù)可以看出，本文的模型3和模型4的模擬精度均高于文獻(xiàn)[15]的模型1和模型2，說明本文模型無論是對指數(shù)增減和線性增減的組合序列，還是對拋物增減序列，無論是單調(diào)遞增、單調(diào)遞減序列，還是波動序列，都有較好的效果。本文不僅在原有模型基礎(chǔ)上大幅度提高了模擬預(yù)測精度，而且相對于近期優(yōu)化模型也是再次提高。（其實文獻(xiàn)分成凸凹形狀的所有數(shù)據(jù)本文都逐一驗證過有類似結(jié)果，因篇幅所限不一一列出）由此可知本文不只局限于單調(diào)的序列，也不只是針對指數(shù)和近指數(shù)序列，故本文在以前文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上擴大了模型的適應(yīng)范圍，如拋物、線性，以及他們與非齊此指數(shù)序列所有可能的加減組合都是本文新增適應(yīng)范圍。同時針對嚴(yán)格嚴(yán)格非齊次、嚴(yán)格指數(shù)增長和線性增長組合序列、嚴(yán)格指數(shù)增和線性減組合波動序列、嚴(yán)格拋物序列等嚴(yán)格序列能夠完全模擬，換句話說，對于前面討論的嚴(yán)格序列只有計算誤差，沒有模型誤差。

表1 模擬值及模擬精度

3.2 應(yīng)用實例比較

例2：本文以文獻(xiàn)[14]中2003—2008年西安市第三產(chǎn)業(yè)生產(chǎn)總值（數(shù)據(jù)來源于《西安統(tǒng)計年鑒2009》中綜合類）為原始數(shù)據(jù),X=[488.56,565.26,664.52,764.03,908.71,1098.89],文獻(xiàn)[10]模型稱為模型1，文獻(xiàn)[14]模型稱為模型2，本文模型沒有優(yōu)化初始值的模型為模型3。本文優(yōu)化了初始值的模型為模型4，建模結(jié)果及數(shù)據(jù)分析見表2。

表2 三種不同的模型的誤差比較

文獻(xiàn)[14]中模型1和模型2都比原始模型更優(yōu)（由于篇幅所限，沒有列出原始模型），而從表2中的結(jié)果可以看到，本文的建模結(jié)果，不論是平均相對誤差還是絕對誤差平方和都明顯優(yōu)于文獻(xiàn)[14]。由此可知本文近非齊次指數(shù)離散灰色模型直接建模不僅提高了擬合精度，還擴大了模型適用范圍。

4 結(jié)束語

本文通過離散化思想和直接建模思想，對原始序列直接建模得到非齊次指數(shù)離散灰色預(yù)測新模型。以指數(shù)增減序列和線性增減序列的組合序列、拋物線增減序列建模突破傳統(tǒng)齊次、非齊次序列建模的范圍。其中離散化思想使模型不再與相應(yīng)的白化微分方程相聯(lián)系,直接從離散的角度來研究灰色模型;直接建模思想則不必對原始序列進(jìn)行累加建模以及累減還原，直接得到原始序列的模擬值和預(yù)測值，使計算更加簡單，從而減少了相應(yīng)的誤差。本文同時將適用范圍拓展到近似非齊次指數(shù)增減序列與線性增減序列的組合序列、拋物線增減序列等情形，推導(dǎo)了待定系數(shù)的求解公式，從理論上證明了新模型對嚴(yán)格非齊次指數(shù)增減序列與線性增減序列的組合序列、拋物線增減序列具有白化指數(shù)、系數(shù)重合性；利用誤差平方和最小對新模型的初始條件進(jìn)行優(yōu)化,使得本文模型的模擬預(yù)測精度再次得到提高；最后通過實例驗證了所述結(jié)論，說明了本文方法的有效性和可行性，具有一定的理論價值和應(yīng)用價值。

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